初探證明

張文婧

在初中數學學習中，幾何圖形的證明需要學生重點學習和掌握。在學習證明前，對于什么是證明，證明的重要性以及如何證明，都需要學生深入了解和系統學習。

本課例選自蘇科版數學教材七年級下冊第十二章第二節“證明”的第二課時。在本節課中，首先，讓學生了解證明的定義、基本步驟和書寫格式;其次，引導學生經歷證明命題的過程，初步樹立言之有理、落筆有據的推理意識;最后，讓學生在證明過程中感受歐幾里得的演繹體系對數學的貢獻。

一、引入數學文化

在學習新知識之前，為了引導學生盡快融入課堂，先介紹由歐幾里得編著的數學巨著——《幾何原本》。在這本巨著中，歐幾里得將前人在數學上的成果進行了系統的梳理，將公認的真命題定為公理，并在此基礎上通過推理證實了許多命題。

設計思路：引入數學文化，既能幫助學生了解和感受歐幾里得的演繹體系對數學發展和人類文明的價值，又能提升學生對數學證明的興趣。

二、新知探索

在本環節中，先了解證明和定理的定義，在此基礎上引導學生經歷證明命題的過程。

在經歷證明命題的過程中，首先引導學生回憶學過的一些基本事實，并展示初中階段還會學到的部分基本事實;再引導學生理解數學問題的正確性需要說理證明，讓學生回憶學過的兩個命題，說明它們是否正確，從“同位角相等，兩直線平行”通過說理得到“內錯角相等，兩直線平行”，在說理的過程中，教師要引導學生做到有理有據。

在引導學生經歷說理的基礎上，進一步引導學生經歷證明命題的過程，感受數學推理的嚴謹性。仍從基本事實出發，證明“垂直于同一條直線的兩條直線平行”。在證明的過程中，要滲透以下四個步驟：

（1）根據題意，畫出圖形;

（2）根據命題的條件，結合圖形，寫出已知;

（3）根據命題的結論，結合圖形，寫出求證;

（4）寫出證明過程。

在教學中特別要注意的是，在首次證明命題的過程中，教師可以帶領學生根據以上步驟，逐步解決問題。首先，分析命題，根據題意，嘗試畫出圖形;其次，在已有圖形的基礎上，根據命題，用數學符號語言寫出已知和求證;最后，完成證明過程。

在以上環節中，第一環節注意畫圖的規范性（圖1）。學生在畫圖時易粗心或不規范，這也是以后在高年級會出現的問題，因此，在七年級教學時就可以多做強調，為學生以后學習證明打好基礎。第二環節中，學生用符號語言表示已知和求證常常會出現語言不夠精練的問題。例如在證明本命題時，已知：如圖1，在直線a、b、c中，a⊥c，b⊥c。雖然看似簡單，但是學生在書寫時常常會遺漏“在直線a、b、c中”，因此，在教學中，筆者會在做題的同時教會學生準確地整理出已知和求證的方法。最后一個環節，也是最重要的部分。本節課的教學重點是學會證明命題，能規范寫出證明過程，因此在這一環節中，筆者要求學生每一步推理都要做到有理有據，完成嚴謹的數學推理過程，為以后證明更為復雜的過程夯實基礎。在全部環節結束后，給學生再次總結在證明與圖形有關的命題時所需的步驟，呼應起始環節。

設計思路：嘗試將文字語言轉化成幾何圖形和數學符號語言，包括圖形、已知和求證三個部分。在教學中，可增加小組合作時問，組內學生互相幫助，完成轉換，進入下一證明環節。轉化文字語言為符號語言并證明基本事實，是本節課的重點，要求學生會證明命題，能規范寫出證明過程。特別要注意的是，在證明過程中務必要求學生每一步推理都有理有據。

在學生完成一個完整的證明后，需及時進行鞏固。

1.已知：如圖2，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，EH平分∠AEF，FG平分∠EFD。 求證：EH∥FG。

2.已知：如圖3，直線AB、CD被直線EF所截 ，AB∥CD ， EP平分∠FEB ， FP平分∠EFD 。

求證 ： EP⊥FP 。

以上題目均可安排兩種練習，分別是證明過程的練習和將已知求證轉化成文字語言的練習，幫助學生及時鞏同復習。

設計思路：經過學習后，可寫出完整的證明過程，并且嘗試用一句話概括這個問題的條件和結論，引導學生將數學符號語言轉化成精練的文字語言;這一環節中，題目難度略有上升，既可以幫助學生鞏固所學，又可以引導學生做適當提升。

三、隨堂練習與檢測

題目可以從教材中選擇，注意由淺入深，既能幫助學生增強學習新知識的信心，又能提升學習效果。

設計思路：練習與檢測設置多種題型的題目，注意難度有梯度。關注學生規范寫出證明的過程，且在證明過程中，能做到推理嚴謹、書寫規范。

四、課堂小結

小結的形式可多樣，要包含的內容有：

（1）陳述證明、推理、事實依據的概念;

（2）引導學生在證明時做到：注意前因后果，做到言“形”一致;

（3）強調言之有理，落筆有據。

筆者會再次強調說理的重要性，在數學學習中，既可以利用反例來說明一個結論是錯誤的，也可以借助已有的知識和方法從正面說明一個結論是正確的。“說理”是確認一個數學結論是否正確的有力工具。