聚焦空間觀念 培養核心素養

摘要

空間觀念是空間想象力發展的基礎，是我國義務教育階段數學課程的主要目標之一。基于對空間觀念內涵的理解，綜合多版本教材分析，呈現教學設計，闡述教學立意，指出應在“圖形與幾何”的開篇教學中聚焦空間觀念的培育，幫助學生明晰圖形研究“三要素”，傳遞圖形研究“套路”，培養數學核心素養。

關鍵詞

空間觀念 圖形世界 研究套路 核心素養

“豐富的圖形世界”是蘇科版初中數學教材“圖形與幾何”領域的起始課。本節課是讓學生在基本平面圖形和常見立體圖形的學習基礎上，認識棱、錐兩種幾何體的下位概念（棱柱、棱錐）。大部分教師對這節課的認知僅僅停留在幾何概念教學上，認為教學重點是數學概念——棱柱、棱錐。近期，筆者準備在蘇州市初中數學課改活動中展示課例“豐富的圖形世界”，在第一次磨課后的研討交流中，有教師認為這節課的重點應放在棱柱和棱錐兩個數學概念的教學上，而筆者并不認同。基于對課程標準的理解，研讀蘇科版、北師大版和人教版教材同一教學內容的編寫意圖，筆者認為蘇科版“豐富的圖形世界”作為初中學段“圖形與幾何”領域的起始課，教學的重點應聚焦在學生空間觀念的培育上。課堂教學重心應放在讓學生經歷從觀察生活實物到觀察幾何模型，由幾何模型抽象出幾何圖形，再對幾何圖形進行表達和思考上，即經歷圖形抽象、表達、思考的完整過程，明確“圖形與幾何”領域的研究內容、構成元素（基本圖形）、研究路徑等，在同化中獲得數學概念，培育學生的空間觀念。

一、空間觀念的內涵

2011年版《義務教育數學課程標準》中指出：空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關系;描述圖形的運動和變化;依據語言的描述畫出圖形等。良好的空間觀念體現在以下幾個方面：由簡單的實物抽象出幾何圖形;由幾何圖形想象出實物;從復雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形;從基本的圖形中獲得基本元素及其關系;由文字或符號信息畫出圖形。2017年版《高中數學課程標準》提出了數學六大核心素養，直觀想象就是其中之一。那么，直觀想象與空間觀念之間有什么關系呢？所謂直觀想象，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。從能力維度來看，直觀想象包含兩個二級指標，即空問觀念和幾何直觀。

顯然，空間觀念形成于學生的觀察、想象、比較、綜合、抽象、分析等數學活動過程中，貫穿于“圖形與幾何”學習的全過程。由物體抽象出幾何圖形或由幾何圖形聯想物體，其本質是三維圖形（立體圖形）與二維圖形（平面圖形）的相互轉換的過程。學生在觀察的基礎上，運用空間想象認識事物，將獲取的信息在頭腦中加工，把表象抽象后并描述出來，使得空間觀念水平不斷提高。

二、教材分析與教學立意

“豐富的圖形世界”是學生進入初中以來，從“數與代數”領域的學習轉向“圖形與幾何”領域的探索，由關注“數”的世界到關注“形”的世界。蘇科版數學教材在本課時的情境創設環節提供了以建筑為主要背景的圖片素材，內容稍顯單一。結合人教版、北師大版教材的研讀，為凸顯“豐富的圖形世界”的主題，教師應在課上展現豐富的生活圖片，引導學生用數學的眼光觀察并獲得基本的幾何體模型：柱體、錐體和球體。學生在觀察、想象、抽象、表達等活動中明確幾何研究內容是物體的形狀、大小和位置關系。就本節課而言，整節課偏重于物體的形狀探索，以熟悉的長方體模型為例，喚醒學生已有的學習經驗，明確點、線、面是幾何圖形的基本圖形，幾何圖形是由點、線、面組成的。以此為基礎，再由實物模型抽象出棱柱、棱錐的幾何圖形，引出新概念。這樣的設計遵循了奧蘇貝爾的“先行組織者”教學理論，有助于促進學生主動學習遷移，建立新舊知識間的聯系，理解數學知識，形成新的認知結構。在引入新概念后，通過做、思、說等活動，學生能更深刻地理解數學概念的內涵和外延，學會從基本圖形的視角，用數學的語言描述物體特征、用數學的思維思考圖形特征，傳遞幾何圖形研究的“套路”。

三、教學設計

1.情境創設。

千姿百態的圖形美化了我們的生活，也給我們帶來很多問題。怎樣畫一個五角星？怎樣設計一個產品的包裝盒？怎樣繪制學校的局部平面圖？不同的圖形有什么特征和性質？這些都需要我們了解更多的圖形知識。

活動1 欣賞圖片、觀察生活。

問題1 觀察圖1，說說你看到了什么，想到了什么。

設計意圖學生欣賞圖片并描述觀察到的物體。比如學生說出高樓大廈、上海東方明珠電視塔等信息，教師適時地把這些信息歸納為生活眼光下的觀察;又如學生說出球、圓柱、高低、左右等信息，此時應肯定他們能用數學的眼光觀察世界，并分別歸納為物體的形狀、大小和位置關系，指明這些是我們幾何研究的主要內容。

問題2 在圖2中，你能找到哪些常見的幾何體？

問題3 如何從常見幾何體中抽象出幾何圖形？

設計意圖 引導學生根據實物圖片，分別抽象出長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等熟悉的幾何圖形，感受圖形世界的多姿多彩。生活中存在多種多樣的幾何體，豐富的圖形美化了我們的生活。通過觀察獲得三個常見的幾何體模型：柱體、錐體、球體，獲得本課數學概念的上位概念。

2.探索圖形。

活動2 觀察長方體模型（如圖3），認識圖形。

問題4 說一說你對長方體有哪些認識。

設計意圖 學生通過長方體實物模型，激活已有認知經驗。學生在介紹熟悉的幾何圖形（長方體）的過程中，喚醒幾何圖形的相關知識，從點、線、面等元素角度描述這些常見的幾何體，為棱錐、棱柱的學習作鋪墊。

活動3 探索新圖形。

問題5 （1）想一想，從圖4的物體中能抽象出怎樣的幾何圖形？

（2）請大家根據蘇科版數學實驗手冊七年級上冊附錄2、附錄3制作幾何體。你有什么發現？

（3）描述圖5中幾何體的特征。

設計意圖 學生通過對實物的觀察、交流，先想象，再抽象出幾何圖形，生成數學研究對象。學生使用蘇科版數學實驗手冊上的材料動手制作棱柱、棱錐，以達到認識棱柱、棱錐的特征，經歷研究幾何圖形的一般路徑，感悟平面圖形與立體圖形的關系的目的。

在此環節，教師給出底面、側面、棱、側棱、頂點等數學概念，然后引導學生描述幾何圖形的特征，使學生學會從面、線、點的視角用數學語言描述，并借助實物幫助學生理解數學概念。

練一練 1（1）圍成下列幾何體的各個面中（如圖6），哪些面是平的？哪些面是曲的？

（2）將下列幾何體分類，并說明理由。

2.判斷下列說法是否正確。

（1）圓柱和圓錐的底面都是圓;

（2）正方體的各條棱長都相等;

（3）棱柱的各條棱都相等;

（4）棱柱的上、下兩個底面形狀相同、大小相等;

（5）棱柱的側面可以是三角形;

（6）直棱柱的側面都是長方形;

（7）正方體、長方體也是棱柱。

3.觀察、抽象、表達圖7中的幾何圖形。

設計意圖學生通過分類、辨析、觀察、表達，強化對數學概念的理解與應用，結合現實情境，發展空間觀念。

3.描述圖形。

活動4 用數學語言描述物體，交流互動。

（1）用數學語言描述實物的特征：

一名學生雙手在紙箱內摸幾何體并用數學語言描述其特征，其他學生根據他的描述說出幾何體的名稱。描述的人不能說出幾何體的名稱，只能從點、線、面三個方面分別描述三個特點。

（2）用數學語言描述幾何圖形：

一名學生面朝黑板，用數學語言描述指定的幾何圖形特征，另一名學生背向黑板說出幾何體名稱。

活動5利用今天所學的數學知識，介紹虎丘塔（如圖8）。

設計意圖 學生經歷想一想——辨一辨——看一看的過程，學會用數學語言表達世界。

4.思考展望。

問題6 我們后續將研究圖形的哪些知識？怎樣研究？

設計意圖學生思考和猜想后續研究的內容及方法，學會用數學的思維思考世界。

四、教學思考

1.明晰圖形研究“三要素”。

通過本節課的學習，學生應明晰圖形研究的“三要素”：研究內容、構成元素（基本圖形）、研究路徑。幾何圖形的研究內容是圖形的形狀、大小、位置關系。幾何圖形是由點、線、面等元素構成的，這就決定了研究幾何圖形的切入點是基本圖形（點、線、面）。比如在研究幾何圖形的位置關系時，應從基本圖形的視角研究點與點、點與線、點與面、線與線、線與面甚至面與面的位置關系，進一步引導學生發現位置關系中必然蘊含著數量關系。就本節課而言，研究內容和研究路徑是：實物觀察→ 模型抽象→幾何圖形分析→表達思考→推理。這也為學生后續研究幾何圖形提供了基本范式。

2.傳遞圖形研究“套路”。

理解教材、理解學生、找準教學起點、明確教學終點是有效教學的基礎，依據奧蘇貝爾的“先行組織者”策略和逐漸分化原則，選擇先整體后局部、先上位后下位的教學路徑，以實現從教學起點到達教學終點的目的。章建躍博士指出，在“開篇”教學中，應發揮“先行組織者”的作用，要充分重視構建整章基本研究思路的教學，為整章學習做好準備。筆者對本節課的各個教學環節進行了統領設置，加強前后教學活動之間的關聯，既有知識體系上的前后一致，又有研究方法上的“基本套路”的強化。在生活圖形的呈現順序上采用先整體后局部的方式;在知識體系上遵循了先上位后下位的教學原則，比如先認識錐，再認識圓錐、棱錐;在研究方法上，遵循逐漸分化原則，從圖形的構成元素（基本圖形）上進行分析表達，最后在教學中潛移默化地向學生傳遞幾何圖形研究“套路”。比如幾何圖形教學中引導學生經歷抽象→定義→分類→性質→特例→應用的研究過程，滲透研究幾何圖形的一般觀念，為后續幾何圖形的研究提供范式。

3.培養數學核心素養。

課堂教學設計以大量豐富的生活圖片為起點，讓學生充分體悟豐富的圖形世界，經歷從現實世界到圖形世界的抽象過程，先經歷從生活實物到幾何模型的第一次抽象，再經歷從幾何模型到幾何圖形的第二次抽象，以此發展學生的數學抽象素養。通過對幾何圖形（主要指立體圖形）基本組成元素的分析，感悟點、線、面之間的關系，或者建立發展空間觀念。結合具體幾何圖形（棱錐、棱柱）的結構分析，用數學的語言表達圖形特征，發展數學交流素養、直觀想象素養。整節課學生經歷了用數學眼光觀察世界、用數學語言表達世界、用數學思維思考世界的完整過程，促進了數學抽象、數學建模、邏輯推理和直觀想象等數學核心素養的培養。

（作者單位：江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校）

本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點自籌課題“初中生數學建模能力培養與評價的實踐研究”（課題編號為B-b/2020/02/104）、江蘇省中小學教學研究課題“指向學科核心素養的數學‘后建構課堂設計研究”（課題編號為2019JK13-ZB16）階段性研究成果。

【參考文獻】

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