“三角函數”與“圓”的不解之緣

陸乘軍

三角函數與三角形有著密不可分的聯系，可你知道三角學與圓之間也有著非同一般的關系嗎？下面我們就一起來了解它們的“緣分”。

“三角學”一詞源于希臘文“三角形”和“測量”兩詞的組合，原意為三角形的測量（或解三角形），以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關系為基礎，達到測量上的應用為目的。早期人們研究三角學是為了確定航海路線和天文觀測等，所以最先發展的其實是球面三角形的理論，通常借助圓來研究，將三角函數定義為圓內某一線段的長。到了18世紀后半葉，著名數學家歐拉令圓的半徑為單位1，將三角函數定義為相應線段與圓半徑之比，這使得三角學在理論和實際應用方面大大前進了一步。如在圖1所示單位圓（以原點為圓心，單位長為半徑的圓）中，∠α的兩邊交⊙O 于A、P 兩點，AD、BP 均與x 軸垂直，PC 與y 軸垂直，則sinα為BP1 =BP，也就是圓中一條弦的一半，曾譯為“正半弦”，后稱“正弦”。類似的，cosα 為OB，而OB=CP，故也可將cosα視為∠COP 的正弦值，也就是∠α的余角的正弦值，稱之為余弦。tanα則為與圓相切的AD，稱為“正切”。正因為三角函數的研究曾長期在圓內進行，所以三角函數也叫作圓函數。事實上，三角函數還有很多種，只不過初中階段我們只研究最常用的三種。

除了在定義方面與圓有著不解之緣，三角函數還有很多與圓有關的性質。我們繼續來研究。

如圖1，可得cosα =OB=CP=sin∠COP=sin（90°-α），即一個銳角的余弦等于這個角的余角的正弦。類似的，sinα=cos（90°-α），即一個銳角的正弦等于這個角的余角的余弦。

如圖2，若△ABC 外接圓O 的半徑為R，∠A、∠B、∠C 所對的邊分別為a、b、c，則有

，這是高中階段會學到的正弦定理。

（作者單位：江蘇省泰州市大泗學校）