方格紙中暗藏的奧妙

蔣亦璇

在學完“銳角三角函數”這一章后，我感受到了發散思維對數學學習的重要性。從那以后，我在解決數學問題時開始嘗試從不同的角度去思考，后來發現這些不同方法的背后往往又有一些相通之處，所以比較這些解法的相同與不同便是我學習數學的一大樂趣。因為銳角三角函數本身就是用邊長的比值刻畫了一類相等角的共同點，所以這類角無論在怎樣的直角三角形中都能體現出邊與邊的比值不變這一特性，而這變化中的不變正是我思維發散的源泉。記得有一類方格紙問題給我留下的印象最為深刻，那道題我嘗試用了兩種不同的方法去解決，至今還記憶猶新。題目是這樣的：

在如圖1 的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D 都在格點處，AB 與CD 相交于點O，則tan∠BOD 的值等于。

當我看到這道題的時候，首先對∠BOD 的位置不是很滿意。因為在方格紙中研究問題，我希望圖形的頂點盡可能在格點上，這樣既便于研究，也利于計算。但本題要研究的∠BOD 的頂點并不在格點上，于是我萌生了一個想法，對其中一條線作平移。于是，我將線段CD 平移到C′D′的位置，交AB 于點O′，如圖2 所示，則∠BO′D′=∠BOD。設每個小正方形的邊長為a，則O′B= 5 a，O′D′=2 2 a，BD′=3a，此時發現雖然角的頂點在格點上了，但是這個角并不在直角三角形中，依然求不出其三角函數值。于是我又作BE⊥O′D′于點E，構造了一個關于∠BO′D′的直角三角形，發現BE 作為一條垂線段可以視為△BO′E 的高，我便用面積法求出了BE 的長，BE=

，最終求得tan∠BOD=tan∠BO′E=

。

我雖然做出了答案，但是感覺步驟略顯繁瑣。于是我又開始了第二次嘗試，能不能通過平移，既讓頂點在格點上，同時∠BOD 又在直角三角形中呢？我連接了AE、EF，如圖3 所示。因為AE∥CD，所以∠FAE= ∠BOD，則AE= 2 a，AF=2 5 a，EF=3 2 a，由于AE2+FE2=AF2，所以△FAE是直角三角形，則tan∠BOD=tan∠FAE=

。

初中階段的數學學習是有緊迫感的，但對于我來說，快樂更多一些，因為我將解題視為鍛煉思維的試金石，將自己定位于一個研究者，在不同解法的對比與優化中實現自己思維能力的提升。就像上題中的方格紙一樣，在不同的格點組合中碰撞出了智慧的火花，看似普通卻奧妙無窮。數學之大，永無止境。

教師點評

蔣同學在學習了這一章后，領悟到數學是一門需要研究的學科，嘗試著在變化中探索不變的規律，并將這種理念運用到解題中去。她在解決方格紙內求一個角的三角函數值時，抓住了等角的三角函數值不變這一特征，發散地對圖形進行平移與改造，致力于讓圖形呈現出最理想的狀態，并在尋求不同的解法中不斷地優化與突破，感受到了數學學習的樂趣，展現出了“樂學”“好學”的良好精神風貌。

（指導教師：周煉）