“隱身”的助手，萬能的鑰匙

陳平

學習了三角函數和解直角三角形后，許多實際測量問題都可以用三角函數知識解決。從更廣的視角來看，三角函數就是一種數學工具。在許多圖形中，就隱藏了三角函數，讓三角函數現身，可以使與圖形有關的計算或證明更加方便快捷，起到出其不意的效果。將三角函數的方法應用于其他領域，也屢試不爽。可以說，三角函數就是數學解題“隱身”的助手、萬能的鑰匙。

一、換個角度試一試

例1 如圖1，正方形ABCD 的邊長為6，將正方形對折，使邊AB 與CD 重合，得折痕EF。展開此正方形，再將∠C 折疊，使點C 落在折痕EF 上，且第二次的折痕經過點B，與CD相交于點P。求折痕BP 的長。

該題常規解法是：如圖2，連接GC，證明三角形BCG 為等邊三角形，從而∠GBP=30° 。設PG=x，則BP=2x。在Rt△BPG 中，由勾股定理得62+x2=（2x）2，從而求出x=2 3，故BP=4 3。

如果“請出”三角函數，那么在Rt△BEG中，cos∠GBE==12，所以∠GBE=60°，所以∠GBP=30°。在Rt△BGP 中，cos∠GBP=

，所以BP=BGcos∠GBP=

=4 3。

由此可見，我們在解決數學問題時，換一個角度思考，可以使思路豁然開朗、柳暗花明。

二、隱身助手來幫忙

例2 （2019·陜西）如圖3，AC 是⊙O 的一條弦，AP 是⊙O 的切線。作BM=AB 并與AP交于點M，延長MB 交AC 于點E，交⊙O 于點D，連接AD。

（1）求證：AB=BE;

（2）若⊙ O 的半徑R=5，AB=6，求AD的長。

（1）證明（略）。

（2）解：連接BC，易證∠ABC=90° ，由勾股定理求出BC=8，進而得EM=12。由（1）易證△ABC∽△EAM，得

，即1210=AM8 ，所以AM= 485 ，故AD=AM= 485 。

這里是通過證明Rt△ABC∽Rt△EAM，再列出比例式求得線段的長。我們換個角度，將比例式

改為

，這里的本質是：是Rt△ABC 中∠BAC 的正弦，而

則是Rt△EAM 中∠AEM 的正弦。因此，我們考慮可否避開三角形相似，而用三角函數解決呢？答案是肯定的！在Rt△ABC 中，sin∠BAC=

。在Rt△EAM 中，sin∠AEM=

。因為AB=BE，所以∠BAC= ∠AEM，所以

，故問題得解。

我們知道，初中銳角三角函數的本質是直角三角形中兩邊的比。因此，涉及直角三角形相似得成比例線段的問題，一般都可以利用三角函數解決。這里，沒有誰提醒可用三角函數解決，但此時的三角函數就是解決幾何問題的“隱身”助手。

三、萬能鑰匙來開鎖

在數學中，三角函數既是一種知識，也是一種工具，更是一種方法。它像一把萬能鑰匙，能打開許多圖形問題之鎖。

例3 （2018·江蘇泰州改編）如圖4，平面直角坐標系xOy 中，點A 在反比例函數y=

（x>0）的圖像上，點A′與A 關于點O 對稱，過A′點的直線與函數y=

（x>0）的圖像相交于點P，過點P 作x 軸的平行線PG，求證PG 平分∠APA′。

該題是證明兩角相等，解題思路較多，如構造等腰三角形、三角形相似等。但從角的一邊與坐標軸平行來看，可以考慮構造包含這兩個角的直角三角形。如圖4，分別作AM⊥GP、A′N⊥GP，垂足分別為M、N。設點A、P 的坐標分別為（a， ，所以tan∠APM

，所以tan ∠APM=tan ∠A′PN，即∠APM=∠A′PN，很快得到證明，顯示了三角函數方法在解決圖形問題中的強大實力。

事實上，三角函數是一種數學工具，但它更像一把萬能鑰匙。無論是幾何中的三角形、四邊形、圓，還是代數中的方程、一次函數、二次函數，凡涉及圖形問題，我們都不妨嘗試用三角函數來解決，也許會收獲意想不到的效果。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）