回到定義 魅力無窮

劉麗芳

第七章 銳角三角函數領銜人：錢德春組稿團隊：江蘇省泰州市初中數學教師發展共同體

銳角三角函數是初中數學九年級下冊的重要內容，利用銳角三角函數可以解決各種圖形計算和證明問題，然而這一切都基于銳角三角函數定義，可以說數學定義是數學之根、方法之魂。

初中階段的銳角三角函數定義如下：

如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則sinA=cosB=a/c，cosA=sinB=b/c，tanA=a/b，tanB=b/a。

在解決相關問題時，如果回到定義，或許會讓你眼前一亮。如在特殊角三角函數值的計算中，有時會忘記具體的數值，或將幾個角的函數值混淆。我們不妨拿出手中的三角板，利用三角函數的定義便能迅速得出所有特殊角的三角函數值。這里，通過幾個例題來說明“回到定義”的解題策略。

例1 △ABC中，∠C=90°。

（1）若tan∠A =3tan∠B，求∠A的度數;

（2）若tan ∠A=3cos ∠B，求sin∠A的值：

（3）若sin ∠A、sin ∠B是方程25x2-（ 3m+5） x+m+2=0的兩個實數根，求m的值。

【解析】這些問題看似無從下手，但由于∠A、∠B都是直角三角形的銳角，不妨回到定義。

（1）由tanA=a/b、tanB=b/a和tan∠A=3tan∠B，則有a/b=3.b/a，從而a=3b，所以tanA=a/b=3，故∠A=60°。

（2）答案：sin∠A=22/3。該問題與第（1）題方法類似，請同學們自主完成。

（3）首先要考慮sin ∠A與sin ∠B之間有什么關系。依然回到定義：由于sinA=a/c，sinB=b/c，所以sin2A+sin2B=（a/c）2+（b/c）2=a2+b2/c2，而a2+b2=C2，所以sin2A+sin2B=1，即方程25x2-（ 3m+5） x+m+2=0兩根的平方和為1。由一元二次方程根與系數的關系，得sinA+sinB=3m+5/25，sinA.sinB=m+2/25。由sin2A+sin2B=l，有（sinA+siriB）2—2sinA sinB=l，即（3m+5/25）2—2.m+2/25=1，解得m1=lO， m2=-70/9，因為sinA+sinB=3m+5/25>0，m>-5/3，故m=10。當然還要驗證根的判別式是否不小于0。

【點評】遇有直角三角形銳角的三角函數問題，不妨回到定義，將三角函數轉化為線段的比，再通過幾何方法解決，這是解決相關問題的策略之一。

例2 已知a、β為銳角，tana=1/2，tanβ=1/3，求a+β的度數。

【解析】由條件“a、β為銳角，tana=1/2，tanβ=1/3”，繼續回到定義，應該聯想到構造直角三角形。如何構造？

方法一：如圖2，作△ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=2a，延長CA到D，使AD=a，則∠BAC=a，∠D=β。取AC中點E，連接BE，則∠BEC=45°，易證△A EB-△BED，故∠D=∠EBA=β，而∠EAB+∠EBA=∠BEC=45°，所以a+β=45°。

方法二：構造如圖3所示的圖形，設CD=6a，AD=3a，BD=2a，則∠ACD=a，∠BCD=β。求a+β的度數就是求∠ACB的度數，即求∠ACB的三角函數值。故作AE⊥BC，E為垂足，將問題轉化為解Rt△AEC的問題。而圖中所有線段均可求，故∠ACB的三角函數值可求。具體過程請同學們自主完成。

例2給出的條件是兩個角的三角函數值，看似相互獨立、互不相關，讓人有無從下手、山窮水盡的感覺，但回到定義構造直角三角形后，立即給人以柳暗花明、茅塞頓開的快意，這正是回到定義的魅力。

兩道例題的思路告訴我們：數學定義是數學的源頭，是數學發展的基石，在數學學習中不能忽視定義的作用。我們要理解數學定義的內涵與本質，充分發揮數學定義在解決問題中的作用。一句話：回到定義，魅力無窮！

（作者單位：江蘇省泰州市第二中學附屬初級中學）