全等、相似“手拉手”闖江湖

陳正亮

熟悉“全等”的江湖高手們想必都知道“手拉手”模型的大名，面對題目時也會“找條件，定模型”。一旦抓住它們的命門——四線共點，兩兩相等，夾角相等，問題就能迎刃而解。

條件：如圖1，OA=OB，OC=OD（四線共點，兩兩相等），∠A0B=∠COD（夾角相等）。

結論：△OAC≌△OBD（SAS）。

結合特殊圖形可以設計出很多問題，得出許多結論，譬如下面兩個常見的例題。

例1 如圖2，B、C、D三點共線，△ABC和△CDE是等邊三角形，連接AD、BE，交于點P。結論：1.△ACD≌△BCE，△ACN≌△BCM，△M CE≌△NCD;2.△MNC是等邊三角形;3.∠APB= ∠BPC= ∠CPD= ∠DPE=60°：4.PA+PC+PE的值最小（即點P是△ACE的費馬點）。高手們可以自行驗證以上結論。

例2 如圖3，正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉，給出下列結論：①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正確的是

（填序號）。

“手拉手”模型中，攜手闖蕩汀湖的又豈止一對全等三角形，其背后還活躍著一對相似的等腰三角形的身影，從圖1中，你是否能發現它們的蹤跡？提示：△OAB-△OCD。

例3 （2019.天津）如圖4，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，使點A的對應點D恰好落在邊AB上，點B的對應點為E，連接BE，下列結論一定正確的是（

）。

A.AC=AD

B.A B⊥EB

C.BC=DE

D.∠A =∠EBC

【解析】根據△ABC≌△DEC，可得△CAD和△CBE都是等腰三角形，且△CAD-△CBE，

∴∠A =∠EBC。故選D。

例4 （2017.江蘇蘇州）如圖5，在矩形ABCD中，將∠ABC繞A按逆時針方向旋轉一定角度后，BC的對應邊B'C'交CD邊于點G。連接BB'、CC'。若AD=7，CG=4，AB'=B'G，則CC/BB'=______。（結果保留根號）

【解析】連接AC、AC'，易證△ABB'-ACC'，可得CC'/BB=AC/AB，求出AB即可。

連接AG，設AB' =x，則B'G=x，DG=x-4，AG2=A B'2+B'G2=A D2+DG2，即x2+x2=72+（x-4）2，

解得x1=5 ，x2=-13（舍），∴CC'/BB=AC/AB=74/5。

例5 （2018.山東濟南）在△ABC中，AB=AC，∠BA C=120°，以CA為邊在∠ACB的另一側作∠ACM=∠A CB，點D為射線BC上任意一點，在射線CM上截取CE=BD，連接AD、DE、AE。

（1）如圖6，當點D落在線段BC的延長線上時，直接寫出∠ADE的度數。

（2）如圖7，當點D落在線段BC（不舍邊界）上時，AC與DE交于點F，請問（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請給出證明;如果不成立，請說明理由。

（3）在（2）的條件下，若AB=6，求CF的最大值。

【解析】（1）易證△ABD≌△ACE，

∴∠BA D=∠CAE，AD=AE，

∴∠BA D-∠CAD=∠CAE-∠CAD，

即∠BAC=∠DAE，∴△ABC-△ADE，

∴∠ADE=∠ABC=30°。

（2）成立。易證△ABD≌△ACE，

再證△ABC-△ADE，

∴∠ADE=∠ABC=30°。

（3）要求CF的最大值，就是求AF的最小值。

∵∠ADF=∠ACD.

∴△AFD-△ADC，∴AF/AD=AD/AC，

即AD2=AF·AC，

∵AC=A B=6，∴AF=AD2/6

顯然當ADIBC時，AD取最小值為3，此時AF=3/2所以CF的最大值為9/2。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區華羅庚實驗學校）