拾掇“通幽曲徑”，暢游相似三角形樂園

黃志琴

親愛的同學，提起相似三角形，你首先聯想到什么？知識點？基本圖形？難點？你又經常漏掉什么？其實我們常常遺忘，解題時屢屢受阻的，才是值得我們深思、仔細研究的。我們要剖析梳理，探尋本質，做到曉一題而通一類。

一、自覺聯想，挖掘寶藏

萬變不離其宗，所有習題的根源都是教材知識和思想方法，另外就是一些常見的處理技巧。請迅速回憶：如圖1所示，要使△AEF一△ACB，已經具備的條件是____，還需補充的條件可以是____或____或_____或______。

相似三角形的條件中，最容易聯想的應該是“兩角分別相等的兩個三角形相似”——簡潔。這里我們重點梳理條件“兩邊夾角”及邊性質的應用，讓邊和角的應用“比翼齊飛”。

圖1是最熟悉的基本圖形之一，我們不能僅限于熟悉這一種圖形，而應把與之相關的常見的變式圖形一起熟練掌握，并能由圖形得到相應結論，拾級而上。

圖2是圖1的特殊情況，兩個相似三角形有一組公共角，還多了一對公共邊，根據相似三角形的性質AB/AC= AF/AB，可得AB2=AF.AC。若AF=2，AC=3，請快速口答AB的長度——公共邊是比例中項。

如圖3，若CD是Rt△ABC斜邊上的高，圖中比例中項有__________，請說出它們分別是哪兩條邊的比例中項。

【特別提醒】如圖4，在△ABC中，AB=14，AC=6，在AC上取一點D，使AD=3。如果在AB上取點E，使△ADE和△ABC相似，則AE的長度為____。

【中考鏈接】（2018.汀蘇常州）如圖5，在△ABC紙板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一點，過點P沿直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是

。

二、拓展延伸，積累能量

經過前面的梳理、串聯，親愛的同學，你有些“數感”和“直觀感受”了嗎？總結經驗、納入自己的框架之中。

經典應用一：

【試一試】如圖6，在△ABC中，∠A CB=120°，BC=AC=4，以點B為圓心，2為半徑的OB上有一動點P，連接AP、CP，則PA +1/2PC的最小值為_______。

思路該向何方？“1/2PC”在哪里？跟相似三角形有什么關系？怎么構造“1/2PC”呢？關鍵為什么是“1/2”？看到圖7，你明白了嗎？PD即“1/2PC”。思路：取BD=1，連接PB、PD構造“共角共邊相似三角形”。因為∠PBD=∠CBP，若BC= BP，則△BPD-△BCP，可得DP/PC= BP/BC=BD/BP=1/2，所以PD=1/2PC。此時問題轉換成“DP+PA”的最小值，即點A與點D兩個定點之間的距離。

【鞏固延伸】如圖8，點A、B在⊙0上，OA=OB=12，OA⊥OB，點C是OA的中點，點D在OB上，OD=10，動點P在⊙0上，則PC+1/2PD的最小值為_______。[提示：1.轉化為求1/2（2PC+PD）的最小值;2.同圓半徑相等。]

經典應用二：多重相似圖形。

【試一試】如圖9，⊙0的半徑OM=1，A為⊙0上一點，點B為直徑MN延長線上的點，MB=3，連接AB，以AB為邊作等邊△ABC，A、B、C逆時針排列。連接OC，求OC的最小值。

根據整體思想構造等邊△O'OB，則△O'OB一△CAB，畫出所有點C的集合即⊙0'，如圖10。連接OA、O'C，由SAS可證△O'CB≌△OAB，得O'C=OA，即⊙0與⊙0半徑相等。（OC的最小值為OC=0'O-0'C'=2-1=1。）

【變一變】如圖11，把等邊三角形變為等腰直角三角形，其余條件不變，你可以找到哪些相似圖形？相似比為多少？（此題是根據“兩邊夾角”構造△O'BC-△OBA。如圖12，再由相似三角形的性質可得兩圓半徑之比為2：2，所以O'C=O'C=2。）

一、小試牛刀，嶄露鋒芒

1.如圖13，以AB為斜邊作Rt△ABC，使∠ACB=90°，tan∠CAB=3/4，A、B、C三點為逆時針排列。連接OC，求OC的最小值。

2.如圖14，已知A（-4，0）、B（6，0）、C（O，-3），連接AC、BC，設∠a=∠OCB-∠OAC，點E是直線BC上一點，若∠CA E=∠a，求CE的長。

數學知識及其應用的梳理、串聯，經驗的積累是解決問題時放飛思想的基礎和加速劑。相似三角形的內容非常豐富，將其梳理積累成為自己的思維非常必要。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區白塔中學）