解讀相似三角形經典圖形

陳麗萍

在相似三角形的圖形世界里有很多經典圖形，比如X型，反X型;A型，反A型;旋轉型;母子型;K型……這些都是相似三角形題目里經常出現的“老面孔”。這里讓我們再次與A型相遇相識。

先認識一下A型的幾種基本圖形：

A型：如圖1，當DE∥BC時，△ADE-△ABC。

反A型：如圖2，當DE不平行于BC時，△ADE-△ACB。

反A特殊型：如圖3，當CE不平行于BC，△AEC與△ACB有公用邊AC時，△AEC一△ACB，有時也稱之為“母子”型。

它們的共同特征是兩個三角形共用一個角，整體看上去像大寫的字母A，所以就稱之為A型。而在此經典問題中，常常因為條件（對應角或者對應邊）的不確定性而需要對研究的問題加以討論，現舉例說明。

一、A型和反A型

例1 如圖4，在△ABC中，AB=8，AC=6，點D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一點E，使△ADE與原三角形相似，那么AE=_______。

【分析】這兩個三角形共用∠A，夾∠A的對應邊又在同一條直線上，所以如果使用判定相似的方法應該是“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”。但是夾著∠A的兩邊的對應關系不確定，所以要分兩種情況，可能是A型，也有可能是反A型。

解：（第一種情況）如圖5，要使△ABC-△AED，∠A為公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=8。

（第二種情況）如圖6，要使△ABC-△ADE，∠A為公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=3/2

故AE的長為8/3或3/2。

【變式】如圖7，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，點P從點B出發，沿BC以2cm/s的速度向點C移動，點Q從點C出發，以lcm/s的速度向點A移動，若點P、Q分別從點B、C同時出發，設運動時間為ts，當t=____時，△CPQ與△CBA相似。

【分析】這道題的本質與上一道題是一樣的，只不過讓P、Q兩個點在邊BC和AC上運動起來了。夾著∠C的兩條邊的對應情況不明確，所以也是可能會出現兩種情況：A型相似和反A型相似。

解：設運動時間為ts，則線段PC的長可以表示為16-2t，線段CQ的長可以表示為t。

（第一種情況）如圖8，要使△ABC-△QPC，∠C為公共角，BC： PC=AC： QC，即16：（ 16-2t）=12：t，∴t=24/5。

（第二種1青況）如圖9，要使△ABC-△PQC，∠C為公共角，BC： CQ=AC： PC，即16： t=12：（16-2t），∴t=64/11。 這兩種結果都符合實際情況，故t=24/5s或64/11s時，△CPQ與△CBA相似。

二、反A特殊型

反A特殊型中的兩個相似三角形擁有一個公共角，一條公共邊，所以這樣的兩個三角形反而比較難以觀察到。

例2 如圖10，要使△ABC與△DBA相似，則只需添加一個適當的條件是____。

【分析】對于添加條件使得兩個三角形相似的題，我們首先得明確這兩個三角形已經具備了什么條件。從題中我們知道△ABC和△DBA具有公共角∠B，公共邊AB，且這條公共邊不可能是對應邊。既然有∠B=∠B，所以夾∠B的邊應該是AB對應BC，BD對應AB，所以這種圖形屬于反A型中比較特殊的有公用邊的情況——反A特殊型。

解：如果想用“兩邊對應成比例且夾角相等”來判定兩個三角形相似的話，就添加AB/BC=BD/AB;如果想用“兩個角相等的兩個三角形相似”來判定的話，就可以添加∠A DB=∠BAC或者是∠BA D=∠C。

故共有三種不同的添加方案：①BC=BD/AB;②∠ADB=∠BAc;③∠BA D=∠C。

【變式】在△ABC中，∠A CB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一動點D，連接AD、BD、CD，則2/3AD+BD的最小值為多少？

【分析】一般在求線段的和的最小值問題時，會將這兩條或者幾條線段拼接在一條直線上，利用“兩點之間，線段最短”為依據來解決。這里的難點是2/3AD是哪條線段呢？還要將2/3AD與BD進行拼接。我們關注到CD=6，AC=9，CD：AC剛好是2：3，所以可以在AC上取一點E，連接DE，構建△CDE，使得△CDE與△CDA成為反A特殊型，這樣DE就是2/3AD了。那么要使2/3AD與BD的和最短，就應該連接BE，利用“兩點之間，線段最短”來解決就可以了。

解：如圖12，在AC上取點E，使得CE=4，連接EB交⊙C于點D。因為CE：CD=CD： CA，∠ECD=∠DCA，所以△CED-△CDA，所以DE=2/3AD。那么2/3AD+BD的最小值就是線段EB的長。在Rt△CEB中，CE=4，BC=12，所以利用勾股定理可以求出BE=410。

所以2/3D+BD的最小值為410。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區朱林中學）