心中有型，釜底抽薪

吉婷

相似三角形是中考的必考內容，常見于中考壓軸題中。通過觀察和分析，我們可以發現復雜的圖形其實都是由一些常見的基本圖形組合變換而成，而圖形中又蘊涵著豐富的數量關系和位置關系。理解并掌握這些基本圖形，對我們解決相似問題有很大幫助。

常見的相似三角形模型涉及兩大類，一類是平行線型，另一類是相交線型。請大家通過下面的思維導圖和兩個例題一起來感受模型的力量。

例1 如圖1，拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上一點，問是否存在P點，使得∠1+∠2=45°。若存在，請求出P點坐標;若不存在，請說明理由。

【分析】通過拋物線方程可以求出A（l，0）、B（3，0）、C（O，3），則△BOC是等腰直角三角形，∠OCB=∠OBC=45°。

題中已知∠1+∠2=45°，可以發現，點P可以在B的上方且滿足∠PCB=∠ACB，也可以和A重合。P可以看成是直線CP與拋物線的交點。將直線延長后，我們可以發現依邊傍角的母子型，便可求出點E的坐標，再將直線表達式與拋物線表達式聯立方程即可求得。

解：若點P在點B的上方，延長CP與x軸交于E點，∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2，

∴∠1=∠E。

又∵∠COA為公共角，

∴△OCA一△OEC，

∴OC2=OA·OE，即9=1×OE，

∴0E=9，∴E（9，0），

∴直線表達式為y=-1/3x+3。

將直線表達式與拋物線表達式聯立方程可求得點P的坐標為（11/3，16/9）。

若P點與A點重合，則P（l，0）也符合題意。

綜上所述，P的坐標為（11/3，16/9），（1，0）。

【點評】當點P可以在B的上方時，我們觀察圖形，發現∠1在Rt△OCA中，這個三角形中的角和邊都已知，因此我們抓住該三角形的邊和角。由∠1+∠2=45°，延長CP能找到和∠1相等的角，這樣我們就能發現依邊傍角的母子型。構造母子型解決問題時，我們一定要先定三角形，再定定角，最后構等角。

例2 如圖3，在四邊形ABCD中，∠C=90°，∠ABD= ∠DBC=22.5°，AE⊥BC于點E，∠ADE=67.5°，∠BA D=112.5°，AB=6，求CE的長。

【分析】由AE⊥BC，∠ABD=∠DBC=22.5°，求得∠BA E=45°，這樣∠BGE=∠AGD=67.5°。題中又知∠ADE=67.5°，出現一線兩等角，所以作∠AFB=67.5°，不僅能構造Rt△BFA，還能構造異側一線三等角模型△FDA-△GED，易得∠DA F= ∠GDE=22.5°，所以∠DEC=45°。再由∠DBC=∠GDE=22.5°得DE=BE。在等腰Rt△BEA中，BE=32，則在等腰Rt△DEC中，求得CE=3。

解：作∠AFB=67.5°。

∵AE⊥BC，∠ABD=∠DBC=22.5°，

∴∠BA E=45°。

在等腰Rt△BEA中，AB=6，

∴BE=32，∠BGE=67.5°，

∴∠DGE=112.5°。

∵∠FB=67.5°.

∴FD=112.5°，∠BA F=90°，

∴∠DGE=∠AFD。

∵∠ADF+ ∠GDE= ∠GED+ ∠GDE=67.5°，

∴∠ADF=∠GED，

∴△FDA-△GED，

∴∠DA F=∠GDE=112.5°-90°=22.5°.

∴∠DEC=45°，∠GDE=∠DBC=22.5°，

∴DE=BE=32，

∴在等腰Rt△DEC中，CE=3。

【點評】本題通過已知角度，可以挖掘出相等的角。難點在于利用哪些等角解決問題，那么這里的∠BGE、∠ADE是我們要找的相等的角，BD是我們要找的定邊，這就出現一線兩等角，所以我們再構造一個與之相等的角就可以解決問題了。在構造一線三等角的時候，我們要找到等角，抓住定邊，利用同側、異側模型進行構造。

模型可以讓問題本質化、簡潔化、一般化。有了以上的模型，我們就能讓復雜的相似問題的解決有了共同的程序和方法。在平時的數學學習中，我們要善于將數學問題建立模型，讓數學思考更有方向，讓數學思維更為高效。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區華羅庚實驗學校）