單元式軌道板溫度翹曲應(yīng)力計(jì)算方法研究

劉海濤 寧娜 王夢(mèng) 趙磊

中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司鐵道建筑研究所，北京 100081

單元式軌道板可有效釋放長(zhǎng)期整體溫升溫降引起的熱脹冷縮作用力，但由于受太陽(yáng)輻射、冷熱循環(huán)等因素影響軌道板出現(xiàn)上下溫差，從而產(chǎn)生翹曲和翹曲應(yīng)力。單元式軌道板需承受溫度梯度、列車荷載、軌下基礎(chǔ)變形等多種因素作用，中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司［1-4］、西南交通大學(xué)［5］、北京交通大學(xué)［6］等單位對(duì)軌道板力學(xué)性能進(jìn)行了深入研究，分析了不同荷載對(duì)軌道板的作用效應(yīng)，結(jié)果表明單元式軌道板翹曲應(yīng)力為設(shè)計(jì)荷載效應(yīng)的主要組成部分。EN 16432規(guī)定軌道板設(shè)計(jì)中應(yīng)考慮溫度循環(huán)作用下軌道結(jié)構(gòu)溫度梯度的影響，溫度梯度效應(yīng)計(jì)算可采用解析法或有限元法。中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)TB 10082—2017《鐵路軌道設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定了溫度梯度具體取值，Q∕CR 9130—2018《鐵路軌道設(shè)計(jì)規(guī)范（極限狀態(tài)法）》建議溫度梯度效應(yīng)采用Westergaard 計(jì)算公式計(jì)算，我國(guó)高速鐵路再創(chuàng)新階段［7］也采用了該計(jì)算公式對(duì)軌道板進(jìn)行設(shè)計(jì)。溫度翹曲應(yīng)力的計(jì)算方法主要有有限元法和基于Westergaard 計(jì)算公式的解析法［8-10］。本文對(duì)兩種計(jì)算方法進(jìn)行系統(tǒng)對(duì)比分析，從能否反映翹曲應(yīng)力產(chǎn)生機(jī)理、是否考慮翹曲應(yīng)力影響因素、兩者計(jì)算結(jié)果的差異、工程驗(yàn)證等方面論證其適用性。

1 基于Westergaard 計(jì)算公式的溫度翹曲應(yīng)力計(jì)算方法

1.1 Westergaard計(jì)算公式

基于Winkler 彈性地基模型，Westergaard 研究了薄板的翹曲應(yīng)力計(jì)算公式，假設(shè)：①薄板與地基始終緊密接觸，無(wú)縫隙；②薄板內(nèi)溫度變化呈線性分布。

溫度梯度作用下薄板內(nèi)任一點(diǎn)的物理方程可表示為［11］

式中：α為薄板材料的線膨脹系數(shù)；T為薄板內(nèi)任一點(diǎn)的溫度變化值；E、μ分別為薄板材料的彈性模量和泊松比；εx、σx分別為x方向應(yīng)變和應(yīng)力；εy、σy分別為y方向應(yīng)變和應(yīng)力；γxy、τxy分別為xy平面剪切應(yīng)變和剪切應(yīng)力。

溫度梯度作用下薄板內(nèi)任一點(diǎn)的幾何方程可表示為

式中：ω為z方向變形；Z為z方向距離。

由式（1）和式（2）可得

根據(jù)假設(shè)條件無(wú)限大板完全約束而無(wú)翹曲變形，故撓度ω= 0，曲率為0，即因此式（3）可寫為

式中：ΔT為板頂與板底的溫差。

對(duì)于長(zhǎng)度為L(zhǎng)、寬度為B的矩形板，引入泊松比得到板中及板邊最大翹曲應(yīng)力計(jì)算公式［12］。

板中最大翹曲應(yīng)力為

板邊最大翹曲應(yīng)力為

式中：Cx、Cy為翹曲應(yīng)力系數(shù)。

l的計(jì)算公式為

式中：D為矩形板的彎曲剛度；k為地基回彈模量；h為矩形板的有效厚度。

1.2 基于Westergaard 計(jì)算公式的解析法適用條件的有限元驗(yàn)證

分別采用基于Westergaard 計(jì)算公式的解析法和有限元法對(duì)單元式軌道板進(jìn)行分析。采用實(shí)體單元建立有限元模型，根據(jù)解析法假設(shè)條件將單塊軌道板放置于彈性地基上，軌道板與彈性地基之間設(shè)置為密貼關(guān)系，始終保持接觸；從軌道板頂面到底面溫度呈線性分布。軌道板采用C60 混凝土，板下支承面剛度取0.45 MPa∕mm。軌道板長(zhǎng)5.6 m，寬2.5 m，厚300.0 mm。計(jì)算結(jié)果見表1。可見：前提條件一致的情況下兩種計(jì)算方法得到的軌道板應(yīng)力基本一致，其均可用于翹曲應(yīng)力計(jì)算；解析法適用于軌道板與地基始終接觸且溫度呈線性分布的情況。

表1 解析法與有限元法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

2 軌道板溫度翹曲應(yīng)力產(chǎn)生機(jī)理

采用實(shí)體單元建立A、B、C、D 四個(gè)有限元模型。模型A 軌道板與彈性地基始終保持接觸，從軌道板頂面到底面溫度呈線性分布，不考慮軌道板自重；模型B（圖1）是在模型A 的基礎(chǔ)上取消軌道板與基礎(chǔ)之間的密貼關(guān)系，采用接觸關(guān)系，接觸狀態(tài)隨翹曲變形而變化，僅施加線性溫度荷載，不考慮軌道板自重；模型C在模型B 的基礎(chǔ)上考慮軌道板自重；模型D 在模型C的基礎(chǔ)上設(shè)置溫度荷載呈非線性分布，溫度按厚度的1.3 次冪變化，且溫差保持一致，頂面變化快，底面變化慢。

圖1 模型B

模型B、模型C、模型D中正溫度梯度下板中上翹，板邊下?lián)希瑑H板邊與基礎(chǔ)接觸，見圖2。

圖2 模型B在正溫度梯度下的豎向位移（單位：mm）

負(fù)溫度梯度下板中與基礎(chǔ)接觸，板邊上翹。單塊軌道板不同邊界和溫度梯度下翹曲應(yīng)力與位移見表2。對(duì)于應(yīng)力“∕”之前為拉應(yīng)力，之后為壓應(yīng)力；對(duì)于位移“∕”之前為向上位移，之后為向下位移。

表2 單塊軌道板不同邊界和溫度梯度分布下翹曲應(yīng)力與位移

由表2 可知：模型B 狀況下并不產(chǎn)生應(yīng)力；軌道板的重力（模型C）將軌道板下壓，軌道板產(chǎn)生應(yīng)力；當(dāng)軌道板內(nèi)溫度呈非線性分布（模型D）時(shí)，由于上下層間的約束同樣也產(chǎn)生應(yīng)力。

軌道板溫度翹曲應(yīng)力產(chǎn)生的本質(zhì)是熱脹冷縮使結(jié)構(gòu)發(fā)生變形，引起邊界條件變化，而荷載（含自重）、溫度非線性分布等因素約束軌道板的自由變形，從而產(chǎn)生軌道板溫度翹曲應(yīng)力。隨約束作用的增強(qiáng)，應(yīng)力逐漸增加，變形逐漸減小。基于Westergaard 計(jì)算公式的解析法采用最極端的約束，即軌道板完全受地基的約束，變形較小，但應(yīng)力太大，無(wú)法反映軌道板結(jié)構(gòu)真實(shí)受力，其將自由狀態(tài)下的溫度應(yīng)變直接作為翹曲應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變不符合實(shí)際情況。

3 軌道板溫度翹曲應(yīng)力影響因素

軌道結(jié)構(gòu)為多層多部件的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，軌道板溫度翹曲應(yīng)力同時(shí)受其他部件（如限位裝置和扣件）的約束作用、軌道板重量、板下基礎(chǔ)剛度等影響。以高速鐵路CRTSⅢ型軌道結(jié)構(gòu)為例，研究各因素對(duì)軌道板溫度翹曲應(yīng)力的影響規(guī)律，驗(yàn)證基于Westergaard 計(jì)算公式的解析法和有限元法對(duì)影響因素的敏感性。溫度梯度取45 ℃∕m，除特殊說(shuō)明外不考慮溫度梯度隨厚度的折減。

3.1 軌道結(jié)構(gòu)部件對(duì)溫度翹曲應(yīng)力的影響

不同于單塊軌道板，軌道結(jié)構(gòu)中的軌道板受限位裝置、鋼軌扣件等部件的約束。首先建立放置于底座上的單塊軌道板模型（單板模型），軌道板與底座之間采用土工布隔離；然后在單板模型基礎(chǔ)上增加凸臺(tái)和凹槽限位（凸臺(tái)模型），凸臺(tái)和凹槽限位之間設(shè)置彈性緩沖墊層；最后增加鋼軌和扣件（足尺模型），研究限位和扣件約束對(duì)軌道板翹曲應(yīng)力的影響。

計(jì)算結(jié)果見表3。可見：①有限元法能夠反映凸臺(tái)、凹槽限位和扣件對(duì)軌道板的約束作用，翹曲應(yīng)力隨約束部件增多而逐步增加，增加鋼軌和扣件（足尺模型）后應(yīng)力最大；②解析法無(wú)法反映凸臺(tái)、凹槽限位和扣件對(duì)軌道板翹曲應(yīng)力的影響；③由于解析法假設(shè)軌道板和基礎(chǔ)密貼，采用了最大約束，將溫度應(yīng)變完全轉(zhuǎn)化為應(yīng)力，故其解大于有限元解。

表3 不同模型下軌道板溫度翹曲應(yīng)力 MPa

3.2 軌道板重量對(duì)溫度翹曲應(yīng)力的影響

軌道板其他條件相同，軌道板重量不同將改變軌道板翹曲后的下壓力，溫度翹曲應(yīng)力也將不同。軌道板密度分別取1 500、2 000、2 500、3 000 kg∕m3，計(jì)算結(jié)果見表4。可見：解析解大于有限元解；有限元法計(jì)算所得的翹曲應(yīng)力隨軌道板密度增加而逐漸增大；解析法無(wú)法反映軌道板重量的影響。

表4 不同軌道板密度下軌道板溫度翹曲應(yīng)力 MPa

3.3 軌道板下支承面剛度對(duì)溫度翹曲應(yīng)力的影響

采用足尺模型研究軌道板下支承面剛度對(duì)軌道板溫度翹曲應(yīng)力的影響。軌道板下支承面剛度分別取0.01、0.02、0.03、0.10、0.30、1.00、2.00 MPa∕mm，考慮軌道板上下溫差隨厚度折減，計(jì)算結(jié)果見圖3。可見：兩種方法計(jì)算所得的軌道板溫度翹曲拉應(yīng)力隨支承面剛度增加而增大，支承面剛度小于等于0.30 MPa∕mm 時(shí)軌道板溫度翹曲應(yīng)力急劇增加，支承面剛度大于0.30 MPa∕mm 時(shí)軌道板翹曲應(yīng)力增加緩慢。兩種計(jì)算方法均能反映軌道板下支承面剛度對(duì)溫度翹曲應(yīng)力的影響，解析法計(jì)算所得的溫度翹曲應(yīng)力變化更為劇烈，其值明顯大于有限元法計(jì)算值。

圖3 軌道板溫度翹曲拉應(yīng)力隨支承面剛度變化曲線

4 軌道板溫度翹曲應(yīng)力工程驗(yàn)證

在西寶（西安—寶雞）客運(yùn)專線CRTSⅢ型先張法板式無(wú)砟軌道試驗(yàn)段對(duì)軌道板翹曲應(yīng)力進(jìn)行了測(cè)試。軌道板底自密實(shí)混凝土應(yīng)變、溫度梯度時(shí)程曲線見圖4。可見：軌道板溫度梯度為61 ℃∕m 時(shí)，板底自密實(shí)混凝土最大應(yīng)變?yōu)?4.7×10-6，對(duì)應(yīng)的翹曲拉應(yīng)力為1.18 MPa；溫度梯度為-15 ℃∕m時(shí)，混凝土最大應(yīng)變?yōu)?1.2×10-6，對(duì)應(yīng)的壓應(yīng)力為0.38 MPa。測(cè)試位置距板底50 mm，換算到板底位置拉應(yīng)力為1.74 MPa，壓應(yīng)力為0.56 MPa。

圖4 軌道板底自密實(shí)混凝土應(yīng)變、溫度梯度時(shí)程曲線

有限元法溫度梯度呈非線性分布，分別采用基于Westergaard 計(jì)算公式的解析法和有限元法計(jì)算溫度翹曲應(yīng)力，結(jié)果見表5。可見：解析法計(jì)算值明顯偏大，有限元法計(jì)算值與實(shí)測(cè)值較接近，證明采用有限元法分析軌道板翹曲應(yīng)力計(jì)算結(jié)果更可靠。

表5 不同方法溫度翹曲應(yīng)力計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比MPa

5 結(jié)論

1）基于Westergaard 計(jì)算公式的解析法假定軌道板與基礎(chǔ)始終保持接觸狀態(tài)，不符合翹曲變形實(shí)際情況。該方法假定溫度梯度產(chǎn)生的應(yīng)變導(dǎo)致了翹曲應(yīng)力，不符合翹曲應(yīng)力產(chǎn)生機(jī)理。

2）當(dāng)有限元法與解析法前提條件一致時(shí)，計(jì)算結(jié)果一致。采用有限元法再現(xiàn)了軌道板翹曲應(yīng)力產(chǎn)生過(guò)程，在溫度梯度作用下軌道板自由翹曲變形、忽略任何約束（包括自重）時(shí)不產(chǎn)生翹曲應(yīng)力，此時(shí)軌道板與基礎(chǔ)接觸狀態(tài)發(fā)生改變；在軌道板自重及其他約束作用下軌道板產(chǎn)生翹曲應(yīng)力。

3）凸臺(tái)和凹槽限位、鋼軌和扣件、軌道板重量約束軌道板的變形，影響翹曲應(yīng)力，但解析法無(wú)法反映。兩種方法軌道板下支承面剛度對(duì)溫度翹曲應(yīng)力的影響規(guī)律較為一致，但解析法計(jì)算值比有限元法大。

4）經(jīng)工程驗(yàn)證，正負(fù)溫度梯度下有限元法溫度翹曲應(yīng)力計(jì)算值與實(shí)測(cè)值較接近，解析法計(jì)算值偏大。

5）軌道板溫度翹曲應(yīng)力求解為復(fù)雜的隨動(dòng)超靜定結(jié)構(gòu)求解，難以采用解析法進(jìn)行精確分析。基于Westergaard 計(jì)算公式的解析法適用條件、考慮的影響因素、計(jì)算結(jié)果均難以滿足軌道板翹曲應(yīng)力計(jì)算。建議軌道板翹曲應(yīng)力求解采用有限元法。