考慮二階效應的混凝土橋墩彈塑性承載力理論研究與試驗分析

蘭樹偉 陳旭 周東華 毛德均 王春華

1.昆明學院建筑工程學院，昆明 650214；2.昆明理工大學建筑工程學院，昆明 650500

在水平荷載（如地震荷載、風荷載等）的作用下橋墩發生側移，橋墩的側向變形使得豎向荷載的作用點發生移動，由此會產生附加內力和附加變形，稱為橋墩的二階效應。高墩橋梁在公路和鐵路工程中廣泛應用，高墩由于其抗側剛度相對較小，二階效應明顯。目前，高墩橋梁的二階效應主要采用有限元軟件進行計算，而工程師對隱含在軟件內部的計算理論和方法了解較少，如何檢驗有限元計算結果是不可回避的問題。JTG 3362—2018《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》［1］（以下簡稱規范）中給出了考慮二階效應鋼筋混凝土矩形截面彈塑性承載力的計算公式，規定混凝土受壓區邊緣應變始終取-0.33%，而軸心受壓時的極限應變取-0.20%。規范不能運用整個混凝土本構關系曲線，造成應變從壓彎到軸壓的受力狀態不連續，而多數承載力計算方法［2-5］都沒有很好地解決該問題。規范主要是基于等效矩形應力圖進行承載力計算的，這種計算方法存在一定的誤差［6-8］。另外，規范中計算偏心受壓構件時須先判別截面是大偏心受壓還是小偏心受壓，再選擇相應公式進行計算，計算過程繁瑣。

本文通過分析極限承載力狀態的應變變化區域，以截面應變為自變量，利用混凝土和鋼筋的本構關系確定應力，然后在截面上進行積分確定內力，得到考慮二階效應的矩形截面配筋諾模圖，并通過鋼筋混凝土偏心受壓柱試驗驗證其正確性。

1 計算方法與公式推導

1.1 本構關系

混凝土采用拋物線加矩形的應力-應變關系，忽略抗拉強度，其應力σc與應變εc關系式［9］為

鋼筋采用理想彈塑性模型，其應力σs與應變εs關系式為

式中：εy和Es分別為鋼筋的屈服應變和彈性模量，εy=fy∕Es；fc為混凝土抗壓強度設計值。

1.2 截面應變狀態分區

規范中規定混凝土和鋼筋的極限應變分別為-0.33%和1%，通過分析截面應變變化，以所有可能的應變構建應變狀態分區（圖1），每個區域確保截面一邊（混凝土受壓側邊緣或受拉鋼筋）處于極限應變狀態，可實現混凝土應變的連續過渡，將復雜的應變變化轉化為僅求解一個未知量的問題。圖中：b和h分別為截面的寬度和高度；h0為截面有效高度；As和A′s分別為受拉鋼筋和受壓鋼筋面積；as和a′s分別為受拉鋼筋合力點至截面受拉邊緣的距離和受壓鋼筋合力點至截面受壓邊緣的距離；εc1和εs1分別為截面上邊緣混凝土和鋼筋的應變；εc2和εs2分別為截面下邊緣混凝土和鋼筋的應變。

圖1 截面應變狀態分區

不同截面應變變化規律和受力情況見表1。

表1 不同截面應變變化規律和受力情況

由表1可知，區域①為軸心受拉或小偏心受拉，屬于受拉狀態，不考慮二階效應。區域②和區域⑤混凝土的壓應變是變化的，規范規定混凝土受壓區邊緣應變始終取-0.33%，因此規范公式不適用于這兩個區域。區域⑤為構件受力從小偏心受壓逐漸過渡到軸心受壓，混凝土應變變化實現了連續過渡。區域③和區域④頂部混凝土邊緣壓應變保持不變，底部鋼筋應變連續過渡。考慮二階效應計算混凝土橋墩彈塑性承載力時，截面處于受壓狀態，不會出現軸心受拉或小偏心受拉，因此應變在區域②至區域⑤之間變化。

1.3 截面應力和內力計算

1）中性軸在截面內

對于區域②—區域④，矩形截面對稱配筋受力構件見圖2。

根據圖2中應變的幾何關系計算出截面的受壓區高度x為

圖2 矩形截面對稱配筋受力構件

取x=kxh0，定義kx為受壓區高度系數［10-11］，則

由平衡關系求得軸力N和彎矩M分別為

式中：σs和σ′s分別為鋼筋的拉應力和壓應力；αc為混凝土壓應力不均勻系數［12］；zs和z′s分別為受拉鋼筋合力力臂和受壓鋼筋合力力臂；a為混凝土受壓區合力c作用點至截面受壓區邊緣的距離。

引入強度配筋率ωs=fyAs∕（fcbh），并對式（5）和式（6）進行量綱統一化處理［14］，得到無量綱軸力n和無量綱彎矩m為

αc的計算式為

定義ka為受壓合力位置系數，則

2）中和軸在截面下邊緣外

對于區域⑤，矩形截面對稱配筋小偏心受壓構件見圖3。

圖3 矩形截面對稱配筋小偏心受壓構件

由平衡關系可得軸力和彎矩分別為

式中：e為偏心距。

對式（11）和式（12）進行量綱統一化處理，得到無量綱軸力和無量綱彎矩為

式中，e∕h為壓力偏心率。

αc和e∕h的計算式分別為

2 二階效應mⅡ-n無量綱諾模圖

計算鋼筋混凝土橋墩正截面承載力時，若結構處于偏心受力狀態，應考慮結構側移和構件撓曲引起的附加內力［13］。因此，鋼筋混凝土偏心受力構件內力設計時，參照規范第5.3.9 條引入偏心距增大系數η，以近似考慮二階效應對截面內力增大的影響，即

式中：ea為附加偏心距；e0為初始偏心距；lc為構件的計算長度；ζ1為荷載偏心率對截面曲率的影響系數；ζ2構件長細比對截面曲率的影響系數。

將偏心距M∕N+ea用ηei代替，式（17）中附加偏心距ea取h∕30 與20 mm 兩者的較大值。計算考慮二階效應的混凝土橋墩彎矩MⅡ時，存在

其中，α≤1.0，β≤1.0。

由式（18）可知，計算二階彎矩MⅡ時可先不考慮附加偏心距的影響，只需在截面彎矩設計中疊加一項Nea即可。因此，只要給定墩柱構件lc∕h，就可以得到一組無量綱軸力n、無量綱二階彎矩mⅡ與強度配筋率ωs之間的三維曲線，存在mⅡ=MⅡ∕η′。設墩柱采用HRB400 配筋，as∕h= 0.08，限于篇幅給出lc∕h= 14.4（即長細比λ=50）的mⅡ-n無量綱諾模圖，見圖4。

圖4 考慮二階效應矩形橋墩對稱配筋諾模圖

二階效應mⅡ-n無量綱諾模圖能夠直接應用于工程設計，包括配筋設計和承載力復核，計算流程見圖5。若彎矩承載力Mu大于荷載彎矩M，則截面強度滿足要求，反之應調整配筋或增大截面。

圖5 設計計算流程

3 試驗分析

為驗證諾模圖的正確性和可靠性，設計3 根鋼筋混凝土試件進行了偏心受壓試驗，試件編號為A?1—A?3，初始偏心距分別為140，80，35 mm，截面尺寸（b×h）均為250 mm × 200 mm，縱筋均為6φ12，箍筋均為

S@75∕150。

為防止加載過程中試件端部混凝土局部承壓破壞，在其上下端設置厚20 mm 的鋼板。試件配筋與加載裝置見圖6。

圖6 試件配筋與加載裝置（單位：mm）

3.1 試驗現象

試驗采用單調加載和等位移加載。A?1—A?2 試件均在受拉側跨中先出現裂縫，隨著施加荷載增大，裂縫寬度增大，數量增多，跨中撓度增大；荷載接近極限荷載時，受拉鋼筋屈服，受壓鋼筋未屈服，混凝土被壓碎，呈現大偏心受壓構件的破壞特征。A?3 試件在跨中截面受拉邊緣先出現細小裂縫，荷載接近極限荷載時受壓邊緣出現縱向裂縫，靠近加載側受壓鋼筋屈服，遠端鋼筋未屈服，混凝土被壓碎，呈現小偏心受壓構件的破壞特征。A?1—A?2試件為大偏心受壓破壞，A?3試件為小偏心受壓破壞，見圖7。

圖7 試件破壞形式

在豎向加載過程中，鋼筋混凝土構件均出現側向撓曲。為了更好地了解考慮二階效應的鋼筋混凝土受壓構件彈塑性承載力，根據各級加載值及對應跨中撓度繪制荷載和撓度的關系曲線，見圖8。可知，隨著偏心距的減小，試件逐漸從大偏心受壓過渡到小偏心受壓，破壞荷載逐漸提高。

圖8 荷載?撓度關系曲線

3.2 試驗結果

根據圖4 計算得到的極限承載力作為本文計算值，將3 個試件的極限承載力與本文計算值和規范計算值進行對比，見表2。可知，本文計算值與試驗值吻合較好，相對誤差的平均值為6.53%；規范計算值與試驗值相對誤差平均值為8.7%；與規范算法相比，本文算法精度稍有提高，能夠很好地考慮二階效應，鋼筋混凝土矩形截面承載力計算結果準確可靠。

表2 構件截面承載力對比分析結果

4 應用算例

4.1 配筋設計

偏心受壓矩形截面柱墩b×h=300×500 mm，as=a′s=40 mm，墩柱計算高度為7 750 mm，混凝土強度等級為C30，fc=14.3 MPa，鋼筋為HRB400，fy=360 MPa。作用荷載組合：①M= 600 kN·m、N= -800 kN；②M=102.4 kN·m、N= -800 kN。考慮二階效應，采用本文方法對兩種荷載組合下的構件進行配筋計算，參考圖5計算流程，得到構件相關參數見表3。

4.2 承載力復核

矩形截面混凝土柱墩b×h= 300 × 500 mm，as=a′s=40 mm，墩柱計算高度為8 650 mm，混凝土強度等級為C30，采用HRB400鋼筋對稱配筋，As=A′s=2 945 mm2，軸力設計值N=-1 280 kN，彎矩設計值M=300 kN·m，采用本文方法驗算截面抗彎強度是否滿足要求。具體步驟為：

1）求解名義軸力n和強度配筋率ωs。n=N∕（fcbh）=-0.597，ωs=fyAs∕（fcbh）=0.494。

2）根據as∕h= 0.08，lc∕h= 8 650∕500 = 17.3，查圖4得mⅡ=0.42。

3）確定截面抗彎承載力。附加偏心距ea取20 mm，則Mu=MⅡ-Nea=mⅡfcbh2-Nea= 450.5 - 25.6 =424.9 kN·m ＞300 kN·m。該柱墩正截面抗彎強度滿足要求。

通過以上算例可以看出：考慮二階效應時，采用本文方法對鋼筋混凝土矩形截面橋墩進行配筋計算，無需判別是大偏心受壓還是小偏心受壓，不用求解大量二階效應參數；承載力復核時，無需進行復雜的試算，能夠快速方便地計算二階效應彎矩。

5 結論

1）基于應變推導了考慮二階效應的鋼筋混凝土受壓柱正截面承載力的解析計算公式和配筋諾模圖，實現了混凝土應變的連續過渡，能夠避免等效矩形應力圖簡化計算帶來的誤差。

2）考慮二階效應矩形橋墩對稱配筋諾模圖簡化了混凝土橋墩配筋設計和承載力復核過程，無需判別截面是大偏壓還是小偏壓，為工程設計計算二階效應提供了一種簡便的手算工具。