初中數學幾何推理與圖形證明的解題策略
——以等腰三角形為例

李嬌嬌

（浙江省杭州市益農鎮初級中學，浙江 杭州 311247）

引言：平面幾何是初中數學的重要部分，重在培養學生的空間想象能力、邏輯思維能力、分析問題和解決問題能力。然而初中生“幾何難”的問題普遍存在，隨著學習的深入、幾何概念的增多、推理論證要求的提高，這種畏難情緒日趨嚴重，特別是到了初二，幾何內容增多、增難之后，會出現兩極分化。所以，如何幫助學生過好幾何關，使學生產生學習幾何的興趣尤為重要。

一、初中生平面幾何學習現狀及原因分析

在教學中發現，學生在進行平面幾何的推理和證明時，審題不仔細，語言不規范，碰到比較復雜的圖形時不知道該如何入手，畏難情緒嚴重，不能夠有條理地進行分析，邏輯混亂。進入初二以后，兩極分化現象明顯。造成這種狀況的原因，既有學生本身的“內因”，也有教師教法的“外因”。部分學生對基本的性質定理沒有加深記憶，再加上學習上沒有耐心和毅力，欠缺良好的學習習慣和主動性。還有一部分學生只想依賴老師或其他同學的幫助，盡快得到答案，思維能力和推理能力得不到鍛煉，幾何推理和證明的能力無法提升。而在教師方面，有的教師在初一幾何起步時，就過分強調幾何的邏輯性和嚴謹性，使學生感覺很抽象，沒有站在學生的立場，以學生為主體，循序漸進地推進內容，造成學生失去信心，學生看到幾何就怕。

二、初中數學平面幾何教學策略

例如：(杭州中考第16 題)如圖1 是一張矩形紙片，點E 在AB 邊上，把△BCE 沿直線CE 對折，使點B 落在對角線AC 上的點F 處，聯結DF。若點E，F，D 在同一條直線上，AE=2，則DF=BE=__________。

（一）把握核心，凸顯圖形特征的考查

初中幾何領域內容的考查主要以求值、證明的方式呈現。幾何試題的命制既要符合課標要求，又要科學簡潔。本題把握了幾何學習的核心內容和要求，引導學生整體感知圖形特征，有利于學生形成幾何學習的整體意識。圖形特征主要指圖形的度量特征和圖形之間的關系特征。圖形的度量特征包括線段的度量(線段比)、角的度量.面積與體積等度量。圖形之間的關系特征包括線與線的位置關系，以及圖形間的全等、相似關系等。題目有兩空，都是求線段長，實際上是考查圖形的度量。本題融合了對圖形度量特征與關系特征的考查，在解決問題的過程中，需要學生細心觀察，發現圖形的關系特征，從中尋求解題思路。

（二）數形結合應用在日常教學之中

1.利用多媒體展示數形結合

在數學教學的過程中，教師要充分利用現代化的多媒體技術展示數形結合方法，例如，在幾何圖形的教學中，教師就可以通過多媒體的方式將三角形、多邊形等幾何圖形進行平旋轉、變化等，吸引學生的注意力，讓學生能夠進入學習狀態。利用多媒體教學能夠讓學生清楚直觀地看到不同圖形之間的聯系、變化和轉換，讓學生發現幾何圖形的有趣之處，從而提高了學習自主性。同時教師也需要注意，不可過多依賴多媒體，多媒體是一種輔助教學手段，主要作用是輔助教學，不可用來代替教學，尤其是數學教學，在幾何圖形呈現的時候，雖然可以很好地展示平面與立體的效果，給學生呈現直觀的視覺體驗，但是不能全部用PPT 課件代替教師在課堂上的講解作用，課堂還是要還給學生與教師，在多媒體的輔助作用下，從整體上提升學生的數學學習效果。

2.“共頂點的兩個相似等腰三角形”的解法提煉與拓展應用

（1）問題提出

題目如圖1，在△ABC 和△AEF 中，∠BAC=∠EAF，AB=AC，AE=AF，連接EB，CF 交于點D，連接AD.

1.求證：CF=BE；

2.求證：AD 平分∠EDC.

在這個信息時代，網絡的發展是飛速的。現在的大學生都喜歡在網上瀏覽信息，而網絡文化，其實也可以算作校園文化的一種。我們需要對網絡進行正確認識，進行網絡文化的建設，例如建設網上校園，針對校園師生所關注的輿論進行權威的報道以及解釋，另外也可以在網上校園增添就業環節，提供面試技巧以及職場技能。網絡的發展雖然讓有些大學生沉迷其中，但是如果我們能夠加以引導，網絡也是校園文化建設的利器，是思想政治教育的重要手段。

證明(1)因為∠BAC=∠EAF，

所以∠BAC+∠BAF=∠EAF+∠BAF.

因為AC=AB，AF=AE，所以△CAF ≌△BAE.

所以CF=BE.

如圖1，過點A 作AM ⊥BE 于點M，作AN ⊥FC 于點N，因為△CAF ≌△BAE，所以S △CAF=S △BAE.

因為CF=BE，所以AN=AM.

所以AD 平分∠EDC.

思路分析從已知條件中可以抽象成△AEF 繞著點A 旋轉而形成的一道試題，主要考查全等的判定和性質、角平分線的逆定理等核心知識，在證明AD 平分∠EDC 時，巧用面積法證明高線相等，再根據角平分線性質的逆定理得出結論.

模型提煉本題從圖形的直觀中可以發現“共頂點的兩個相似等腰三角形”，其中一個三角形(△AEF)繞著頂點旋轉、相似變換得到對應的三角形(△ABC)；從圖形的內部結構中可以發現兩個固定不變的結論△CAF ≌△BAE，從而得到CF=BE，AD 平分∠EDC.筆者由此出發，縱觀近幾年各省、市的中考題目，發現很多試題通過此結論為紐帶解決一些難度較大的問題，供同行參考.

（三）課后作業的生活化培養學生的自主能力

學者專家認為，當數學教學內容與學生的生活情景越來越相近時，學生對問題探討的積極性就越來越高。因此，教師在課堂上培養學生數學能力的同時在課后也要有所體現，加深學生對數學知識的印象，提高學生數學學習能力。例如，在學習《等腰三角形》的過程當中，教師首先灌輸給學生等腰三角形的概念，然后引導學生發現課堂中的等腰三角形。最后在課堂的結尾布置幾個問題，比如：我們生活中還有哪些等腰三角形？關于等腰三角形的建筑有哪些？等腰三角形與普通三角形的區別？以及等腰三角形在我們生活中的合理應用？學生通過上網查資料、與父母交流、實踐活動等方式來尋找答案，與教師、同學進行探討。這種課后作業的形式培養了教師與學生之間的感情，拉近了教師與學生之間的距離，學生之間的互相討論將不同的想法結合在一起，使學生考慮問題的角度變得多樣化，在提高學生自主能力的同時，也促進了學生之間的友誼，增強了班級的凝聚力，方便了教師的管理。學生針對不會的問題通過查資料、問家長等方式尋找答案，使學生對問題的解決方式開創了多種途徑，豐富了學生的思維能力。通過問題問家長的這種形式，學生與家長之間產生了許多交流，促進了親子關系，也使家長成為學生的崇拜者，方便家長的管理，有助于提高學生數學學習的質量和水平。

（四）設計結構化活動，織起經驗之“網”

結構具有張力、遷移力和統攝力。學生數學認知結構的不斷建構與完善是數學教學的重要目標之一。學生數學基本活動經驗的積累也是如此。要做到這一點，教師不僅要讓學生親歷學習過程，還需要設計結構化的活動，讓學生的認知在新舊經驗的碰撞與聯系中，從“零散”走向“結構化”。

結論：從初中幾何教學開始，學生進入全新的領域，告別單純的數、式思維，進入圖形和空間思維方式，教學中應該全方位考慮學生的畏懼心理，多實踐、多探究，同時循序漸進地培養和訓練幾何語言與圖形化思維方式，激發學生興趣，幫助學生更好地完成初中階段幾何的學習任務。