圖形表征在解決問題中的應用

牟進才

摘 要：圖形表征是解決數學問題的一種常用方法，它以圖形或圖案的形式表示問題的意義，幫助解題者進行觀察、推理和思考，意在將題目內涵逐步進行抽象，對操作技能和內涵進行遷移。通過對學生圖形表征的應用意識和策略意識的培養，提升圖形表征能力以及圖形語言的應用能力，在教學中鼓勵學生大膽運用圖形語言進行交流。

關鍵詞：圖形表征;解決問題

圖形表征主要體現在對于事物所蘊藏的隱含關系進行理解和邏輯推理，從形式上我們可以大致劃分為兩類，一種是內在的表征，即在人們的頭腦中深入地思考這個問題。另一類則是外在的表征，即將問題通過文字、數式、圖表、模型等方法表示出來。從數學上講，外部的表征通常被劃分成幾種類型，如語言表征、動作表征、圖形表征、符號化的表征。其中，圖形表征在問題解決過程中起著重要的作用。它可以把抽象的實際問題直接轉化成圖像，很容易地找到有用信息，促進實際問題的分析和解決。在我國中小學的數學課堂教學中，很多內容都是采用了這種符合中國小學生自身認知規律的“圖形表征”的教學方法，因為對于小學生來說形象思維比抽象思維能力要強，很多數學問題用圖形表征可以有效、快速得到解決。

一、運用圖形表征分析數量關系

當代中國的小學生處于由形象的具體思維轉變到抽象思維的轉變階段，這個時期就需要以圖形的直覺作為有力支撐。特別是在初步理解一些較為抽象的數量關系時，需要我們的教師積極地引導我們的學生親身經歷用直觀形象的圖型或者符號把這些數學問題的各種數量關系都表述出來，把我們所思考的整個過程用具體形象的符號描述出來，把直觀的數量關系圖示與抽象的數學語言緊密地結合在一起，把這些數量關系清晰化、可視性、直觀化，充分發揮圖形的作用。

如：一堆煤大約有300噸，第一天運走了這堆煤的，第二天運走了剩余的，第二天運走了多少噸？根據題目分析可知：是把整堆煤的噸數看作一個單位"1"，而是把第一天運走后剩余的噸數看作一個單位"1"，這兩個單位“1”不一樣，所以需要統一單位“1”。根據“第一天運走了這堆煤的”和“第二天運走了余下的”，可以直接求出第二天運走的噸數相當于這堆煤總噸數的（1-）×=，從而可以求出第二天運走的噸數為300×=90（噸）。分析如下圖：

利用這個直條圖把題目的含義表示了出來，學生通過對于關鍵條件的認識與理解，其中的數量關系梳理就會變得更加清晰、直觀。在此課堂的基礎上，學生直接列式，解答之后再進行回顧各步解決問題的方法和思路，形成了對于整體的數量關系的把控。

二、運用圖形表征體會轉化思想

由于現代中國小學生的邏輯性和思維技巧總的來說相對薄弱，因此在課堂教學的過程中，或在對例題、或者是習題等知識點的講解中，若只是空洞地說教，學生很有可能會被人聽得如同云里霧里，似懂非知，這時往往需要借助圖形進行表征，讓每一個題目的意思都清楚地被學生表達出來，從而有效地幫助學生更好地分析和解決問題。

如：在一個長30米、寬14米的長方形草坪上，有兩條寬為1米的互相交叉的小道，這個草坪（即陰影表示的區域）的占地總面積是多少平方米？

從上圖我們可以清楚地看出：把橫著的小道往上平移，這樣整個草坪的寬就變成了13米;把平行四邊形的小道轉化為面積相等的長方形小道（根據等底等高的平行四邊形面積相等），并向右平移，這樣草坪的長就變成了29米。把草坪的面積轉化成了一個長是29米，寬是13米的長方形的面積，即（30-1）×（14-1）=377（平方米）。

三、運用圖形表征構建數學模型

數學模型既有利于提高學生邏輯思維技巧的培養，又是提高數學課程核心素養的主要途徑之一。在課堂教學中，老師一定要有意識地引導和鼓勵學生親身體驗參加到實踐活動中，并且要著力地引領學生親身體驗圖形的表達、比較、辨別和抽象概括等過程。通過對圖形的表征進行充分地構造和建立自己所學的數學模型，感悟其中的數學原理，從而幫助解決問題，最終達到感知數學模型、構造數學模型、運用數學模型等目的。

如：某班共有45名同學，書法社團和音樂社團每人至少要參加一項。其中32人參與了書法社團，40人參與了音樂社團，請你算算同時參與了書法社團和音樂社團的到底有多少人？

對于這題，可采用上面圖示分析：有32人參加了書法社團，有40人參加了音樂社團，一共有32+40=72（人），比整個班的人數多。這主要是因為有的同學兩個社團都去了，這樣就多算了一次。所以既參加了書法社團又參加了音樂社團的有72-45=27（人）。

即 ?32+40—45=27（人）

這樣借助生活經驗初步感知重疊問題，采用“韋恩圖”表示探究重疊問題的過程，明白韋恩圖的意義，也借助“韋恩圖”直觀地表征模型建構，體驗解題策略，從而滲透集合的數學思想。

四、運用圖形表征促進推理能力

在如今的數學課堂教學中要注重引導班上的學生將各種看似無序的、沒有關聯的數學知識運用圖形表征有機結合起來，有效地對其進行加工和改造，對所需要學習的內容和方法進行更深層次的思考和有效串連，不斷完善，不斷創新和修正，形成個性化的認知，提升數學邏輯和推理的能力，將數學知識結構化、完整化。

如：多邊形面積這一單元教學完后，引導學生思考以下兩個問題：

1.平行四邊形、三角形、梯形的面積公式是怎樣推導出來的？（采用剪拼、合拼的方法，把新知轉化成舊知）。

2.比較平行四邊形、三角形、梯形面積計算之間的關系。

發現：三角形面積與梯形面積公式都要除以2。

關系：三種圖形的面積計算公式都與a、h有關，它們三者有一定聯系，如下圖所示：

從上圖可以看出，如果一個梯形的上底 b 等于下底 a ，那么這個梯形就會演變為一個平行四邊形;如果當梯形上底 b 等于0時，那么它就會演變為一個三角形。上述兩幅圖都是為了幫助學生清晰地了解和認識這些平面圖形的運動變化過程、計算公式的演繹和轉化過程、圖形與公式之間的相互內在關系，有利于促使學生能夠更好地掌握公式和應用公式，進一步提高學生對這些圖形的認識，從而提高他們的空間概念。

在學習了多邊形面積這一單元后，把它們的內在聯系當做是一個關鍵的問題加以梳理，著眼于學生的整體推理能力的發展，促使學生形成概念認識的表象，學會主動串聯、主動推理、主動完善。這樣將抽象的數學推理與直觀的圖形表示有機地緊密結合在一起，有效地啟發和引導學生在掌握圖形表征的過程中對所學數學知識的結構進行更加深入的探索和思考，學會有向的連接和定向推理，形成一個整體的數學知識結構框架，有利于幫助學生將所有的知識表象與抽象的表達完美地交融在一起。

綜上所述，圖形表征能夠將抽象知識直觀化，是數學學習中常用的語言形式，提高思維能力是提高圖形表征能力的實質，這就要求教師要有圖形語言發展觀，在教學中應鼓勵學生大膽運用圖形語言進行交流，并深刻挖掘圖形語言的內涵，感受數學的本質，為學生的終身發展奠基。

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