例談近幾年高考中與有關導函數(shù)零點的應用分析

楊冬梅

摘 要：近年來，隨著我國社會經濟與現(xiàn)代化科學技術的持續(xù)發(fā)展，各個領域都取得了重大的成就，教育領域的優(yōu)化改革已經成為一種必然趨勢。在教育過程之中，高考已然成為改變學生命運的重要轉折點之一，其中的數(shù)學學科更是關鍵所在。而導函數(shù)作為高中數(shù)學的重要知識點，其具有多種解題算法，導函數(shù)在求導過程中，存在超越方程、高次冪方程等，將增加解題難度，為此應通過不同的解題方法對函數(shù)求導存在的問題進行全面解析，以此來得出正確的求導結果文章針對導函數(shù)零點問題進行探討，并對整體代換、反帶消參等解題思路進行研究。

關鍵詞：導函數(shù);隱霧點;解題思路

引言

函數(shù)零點是新課標中新增的重要概念，在函數(shù)的方程、圖像、單調性、最值和不等式證明中有特殊作用，又與函數(shù)和不等式有密切相關，所以在近幾年高考命題中備受青睞，尤其是導數(shù)的綜合應用問題，導函數(shù)零點是導函數(shù)方程的根，又是單調區(qū)間的分界點，也可能是原函數(shù)的極值點或最值點。因此，正確掌握零點的用法往往是研究函數(shù)與導數(shù)的綜合問題的關鍵，筆者總結了近年來的高考，在此淺談零點問題的處理方法。

一、與零點個數(shù)有關的問題

導數(shù)零點個數(shù)的問題一方面是考查學生對于函數(shù)求導法則的掌握程度，一方面是考查學生對導數(shù)零點意義的理解程度。在定義域內或者某個區(qū)間內，根據(jù)定義，一般對函數(shù)f（x）求導得到導數(shù)f'（x），令f'（x）=0即可判斷是否有零點，因此導數(shù)有唯一零點或多個零點是困擾學生的主要問題。不妨將其細分為兩部分，一是唯一零點相關問題和多個零點相關問題。以下分別通過兩例高考實例分析講解。

問題1（2019年高考文科數(shù)學全國I卷第20題）

剖析此題，從知識點出發(fā)，出題人主要考查了函數(shù)的定義域、求導的鏈式法則、二次求導、函數(shù)的單調性以及三角函數(shù)的周期性，易錯點在于求導的鏈式法則以及函數(shù)的分類點。求導法則需要學生多加練習。理清思路后開始做題，需證明f'（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點，f'（是一個復合函數(shù)，包含周期函數(shù)和線性函數(shù)，顯然在完整區(qū)間內不是單調函數(shù)，則需要考慮分類討論，要根據(jù)不同函數(shù)特點，如本題中三角函數(shù)的周期性，通過函數(shù)的特點去把握區(qū)間端點。三角函數(shù)中值得注意的點一般為0、π/2，π，題目要求在區(qū)間（0，π）中，則可以將π/2作為斷點分類進行討論。

二、利用零點性質解含參問題

導數(shù)零點問題相對簡單，但是其中含有參數(shù)時，學生往往會出現(xiàn)思維混亂，未知數(shù)與參數(shù)纏繞不清，不知如何處理的情況。以下通過一個高考數(shù)學實例進行分析講解。

結語

回顧兩類問題，不難發(fā)現(xiàn)出題人考察的內容大致相同，題目運算量不大，分類討論情況較多。可見，萬變不離其宗，學生熟練掌握這些基礎點，并能靈活運用，解題就能變得很輕松。

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