將信息技術融入數學課堂，使數學核心素養落地生根

金芬

摘 要：要改進“一支筆一塊黑板一張嘴”的教學現狀，突破“意會”與“言傳”的交流障礙，實現數學課堂教與學的良性互動，高中數學課堂教學離不開現代教育技術的支持和助力。筆者以GeoGebra為例，在新教材的課堂教學中，注重將GeoGebra與數學課程深度融合，通過直觀的圖形或動態的運動規律，總結、猜想、證明新的發現，把那些“看不透”、“說不清”的一些性質通過動態形式呈現出來，使其清晰可見。實現教學的可視化，為學生理解概念創設情境，為學生聯系多元表征發展數學學力，為學生實驗探究提供優質資源。

關鍵詞：信息技術;GeoGebra;數學課堂教學;數學核心素養;探究

1.將現代教育技術融入數學課堂教學的必要性和重要性

直擊當下數學課堂，一邊是面對“如何實施核心素養導向的數學教學？”、“如何才能使學生的數學學科核心素養得到良好的發展？”、“怎樣才是教好數學？”等關鍵性問題，而一邊是數學固定的高度抽象性的高冷，使得學數學的人“望而卻步”，不知如何去意會，教數學的人使出“渾身解數”，不知如何去言傳。面對這種尷尬的局面，需要教師對數學課堂教學進行變革，改進“一支筆一塊黑板一張嘴”的教學現狀，突破“意會”與“言傳”的交流障礙，實現數學課堂教與學的良性互動，高中數學課堂教學離不開現代教育技術的支持和助力。

作為教師要將現代教育信息技術恰如其分地融入到數學課堂上。例如，能將復雜問題簡單化，動態問題靜態化，抽象內容可視化等，有效改革數學課堂教學，實現優質教育資源的共享，提高數學教學質量和效益，有效提升學生數學核心素養。

筆者以GeoGebra為例，在新教材的課堂教學中，注重將GeoGebra與數學課程深度融合，通過直觀的圖形或動態的運動規律，總結、猜想、證明新的發現，把那些“看不透”、“說不清”的一些性質通過動態形式呈現出來，使其清晰可見。不僅能充分激發學生的探究熱情，提高學生課堂的參與度，還能把課堂上高冷的數學轉化為學生充滿激情的探索，使學生的核心素養真正落地生根。

2、 基于GeoGebra的“數學可視化”，助力數學課堂教學

GeoGebra這款軟件實現了構建“抽象的數”與“可見的形”之間的聯系通道，讓學生在數學課堂上既可以看到“背后”的數據，更“看透”其中的數學內容，為學生理解概念創設情境，為學生聯系多元表征發展數學學力，為學生實驗探究提供優質資源。

2.1創設靈動情境，助力概念生產

案例1：函數y=Asin（ωx+?）

根據新教材的理念，首先要讓學生理解用函數模型y=Asin（ωx+?）來刻畫一般的勻速圓周運動，并理解A，ω，?的特定的實際意義，讓學生體會數學源于生活的本質和學習函數y=Asin（ωx+?）的必要性。于是創設圖1所示的可視化實驗情境，模擬筒車運動過程實景，抽象出其中的幾何對象與幾何關系，并動態分析圓周運動、解析式變換與圖像變換之間的多重關聯，利用GeoGebra可進行直觀、動態、關聯地呈現，可以有效地降低教學難度。

其次，在研究參數A，ω，?對函數y=Asin（ωx+?）圖像地影響，以及函數y=Asin（ωx+?）圖像的變換過程時，可事先提供互動性的實驗平臺（圖2），以便學生進行自主的實驗操作、觀察分析、思考探究。學生可以任意輸入參數A，ω，?的值，側重兩個角度觀察與分析：一是從圓周運動的實際意義看質點的運動變化，二是從相應函數圖像上點的坐標變化看圖像的變換。

從上例可以發現，數學概念的掌握需要經歷直觀到抽象再到應用的過程，借助強大的現代教育技術GeoGebra可以創設直觀靈動的情境，對認知難度大，抽象的概念進行可視化教學，在學生腦中建立豐富的概念模型，經歷概念產生的加工全過程，因概念的充分加工和領悟而保證深刻的理解。

2.2聯系多元表征，助力本質理解

案例2：一類旋轉翻折問題的探究

立體幾何翻折問題是將平面圖形經過翻折變成了空間幾何體，從而考查空間中點、線、面之間的相互關系，或角度與距離關系。立體幾何的翻折問題背景簡單，立意深遠，對學生的空間想象能力要求很高。學生在學習過程中容易受立體幾何的思維定勢，無法構造空間立體幾何直觀圖，將空間問題平面化的能力缺乏，找不到合理的解決模型將動態問題靜態化。因此作者使用GeoGebra軟件設計課堂教學，通過介紹旋轉翻折圓錐模型，也可以總結為一線五結論模型，來解決立體幾何中的旋轉翻折問題。

作者先通過一個例子來引出將平面圖形沿折痕旋轉翻折為空間圖形，從而研究空間中的角度、距離、軌跡等問題，并用GeoGebra動態展現旋轉翻折問題（圖3），幫助學生在直觀的動態中探究問題的本質。學生結合二維繪圖區和3D動態展示區的觀察，立馬得出了一系列的結論：關鍵要先畫出垂直于折痕（BG）的線（AI）1、關注翻折前后的不變量和變量;2、點A/的軌跡為F為圓心，A/F為半徑的圓;3、面A/BG繞折痕BG翻折形成兩個同底圓錐;4、點A/在底面的投影H在線段AI（圓的直徑）上;5、∠A/FA為二面角A/-BG-A的平面角。

例2

接下來教師給學生進行了此類問題的檢測，引用的是高考題和高考模擬題（例1、例2），發現學生通過以上旋轉翻折模型的理解，能輕松將空間問題轉化為平面問題。借助軟件的動態可視性，使學生從外部的多元操作感知走向了內部理解的認知，也感受到了數學的美妙，更體會數學的真實性，解決問題也就水到渠成。

有了以上的探究經驗，教師還布置了課外探究活動《一類圓錐截線問題的探究》，讓學生借助GeoGebra軟件解決一類圓錐被不同角度的平面ɑ所截截線形狀問題。學生在學習直線和圓時初步感受了數形結合的基本思想，但對圓錐曲線的概念還是僅僅停留在直觀感性認識的層面上;學生在學習過程中也遇到諸多困難：從空間的圓錐截出平面圖形的轉化。

學生探究熱情高漲，分別設計出了以下三條曲線的模型，并總結結論：設軸截面角為α，母軸線角為β則1、α=β時，截線為拋物線;2、α<β時，截線為雙曲線;3、α>β時，截線為橢圓;4、α=90°時，截線為圓，并應用總結的結論有效解決了檢測題例1和例2。

2.3自主實驗探究，助力結論驗證

好的教學方式是激發學生的好奇心，助力學生在廣袤的數學世界里探究遨游，鼓勵學生勇敢地去探險，親歷數學實驗，發現數學，而不是簡單的應用數學解決問題，讓原先高冷抽象的數學變得生動鮮活起來。學生從直觀想象到猜想、發現和論證，相互之間進行真正的情感交流和思維碰撞，讓教學走進學生的心靈，在做數學的過程中豐富感知，在直觀感知中抽象數學概念。而GeoGebra則可以提供結論的論證，助力學生的實驗探究，讓學生在實驗探究中深刻思考，心向遠處，行向遠方。

案例3：橢圓、雙曲線的定義

問題1：點A（0，0）和點B（8，0）為兩個定點，圓A是半徑不定的動圓，C是圓上任意一點，線段BC的垂直平方線l和半徑AC相交于點D，當半徑r大于令國人定點距離|AB|時，隨著點C在圓上運動，求點D的軌跡是什么？

學生通過觀察圖形，發現幾何關系|DC|=|DB|，則|DA|+|DB|=r（r>|AB|），學生開始在作業紙上描點，并不斷地操作，盡量使得到的點D足夠密集，通過觀察散點圖發現軌跡圖形形似橢圓，但學生依舊感到不確定。教師順勢帶領大家用GeoGebra來驗證實驗結論是否正確，在繪圖區內畫出圖，將D點設置為開啟跟蹤，同時C點開啟動畫，此時點D的軌跡呈現出了橢圓的形狀，學生見圖雀躍高呼，教師提出橢圓的定義。

問題2：當r>|AB|時，取r1=12，r2=14，r3=18，時，三個橢圓的形狀會有什么變化？

學生又陷入沉思，通過描點發現，到兩個定點距離和越大橢圓形狀越扁，教師打開GeoGebra驗證結論的正確性，并解開學生心中疑慮，提出橢圓離心率的概念。學生親歷了概念生成的全過程，對橢圓的定義了然心中。

教師通過以上的實驗探究論證的過程，鼓勵學生提出更多的問題進行探究，生1：當0<r<|AB|時，點D的軌跡會是什么？大家又再次陷入思考，紛紛畫圖實驗，一段時間后還是一臉茫然，有的學生說是一條類似于反比例函數的曲線，又有的學生說應該有兩種情況兩條曲線。當大家緊鎖眉頭，有種說不清道不明的滋味時，教師提議：讓GeoGebra來給我們解憂吧！通過演示，得到兩種位置關系及幾何關系||DA|-|DB||=r（r<|AB|），在繪圖區出現了兩條曲線，教師提出雙曲線的定義。追問：當0<r<|AB|時，取r1=4，r2=6，r3=7，時，三條雙曲線的形狀會有什么變化？通過剛才的分析，大家猜測雙曲線的開口有變化，教師用GeoGebra加以直觀演示。

案例4：數學建模—茶水最佳飲用時間

當我們每隔1min測量一次茶水溫度，收集完六組數據時，我們需要對數據進行分析，找到溫度與時間的某種函數關系，如果能求出函數關系式，那么就建立了茶水冷卻函數模型。大家先將收集的數據作出散點圖，通過觀察選擇了反比例函數和指數函數，在GeoGebra里進行擬合并進行誤差分析。

擬合的反比例函數為y=80.12x-0.12，誤差平方和為3.6995，從圖中可以看出偏離程度較大，當時間x=30時，水溫大概為53.5955℃;而擬合的指數函數為y=82.68e-0.05x，從圖中看出各點偏離程度較剛才有點減小，誤差平方和為0.4049，當時間x=30時，水溫大概為19.3737℃.顯然指數型函數模型更理想，但是指數型模型中，當x趨向于無窮大時，趨于0，而實際情況是接近室溫，結合剛才建立的指數函數模型，我們需要對函數模型進行修正。

學生們開始熱烈地討論，覺得圖像應該要向上平移，使用函數y=kax+b的函數模型，此時無法用軟件進行擬合，為了確定其中的字母，學生采用了待定系數法進行求解，首先得到b=25，當x=0時，y=85，所以k=60，在確定a時，選取了幾個點進行求解，取這些數的平均數得到a=0.9227，即得到數學模型y=60*0.9227x+25，接下來我們對模型進行誤差分析，發現誤差平方和為0.144，應該是比較理想的茶水冷卻函數模型。

3、將信息技術融入數學課堂教學的反思

作為第一批執教新教材的一線教師，需要不斷地提升專業水平和育人能力，提高數學教學質量和課堂教學效益，轉變教學方式，理解現代教育技術。筆者在必修第一冊和必修第二冊的數學課堂教學中，嘗試將現代教育技術GeoGebra融入課堂教學中，取得了較好的成效，在教學過程中反思了幾點，供讀者在接下來的使用中參考。

（1）樹立落實學生核心素養的教學觀

信息技術的飛速發展，功能的便捷強大需要我們改變教與學的方式，教師不能一味固守著考試內容而不顧學生的核心素養，應合理利用信息技術讓復雜抽象的學習內容變得直觀簡潔，并設計豐富多樣的數學實驗平臺，促進學生的探索意識。當然，信息技術的融入也是對教師的挑戰，需要從學生發展的角度精心設計發現、提出問題的時機，并如何利用信息技術恰如其分地引導學生親歷整個解決問題的全過程，讓學生感受到左右逢源的體驗感，真正落實學生的數學核心素養。

（2）平衡好信息技術融入的度

信息技術的融入讓教學內容變得淺顯易懂，但過度全盤地使用卻會扼殺學生地直觀想象能力，阻礙學生思維能力的提升。學生會對直觀動態的圖形過度依賴，從而形成思維的惰性，因此，信息技術的融入教學既要有可視化也要有數學化，既要實驗猜想也要演繹證明。案例4中，當學生借助GeoGebra得到指數函數模型較理想時，還需通過紙筆運算、邏輯推理對模型進行修正，這是信息技術無法代替的。教師要平衡好信息技術融入的度，數學課堂的教學既要“返璞”，也要“歸真”。

（3）信息技術從融合到創新，讓課堂教學走得更遠

信息技術融入教學的數學課堂是集教育技術、教學內容、教學方法三者的深度融合體，而這個融合體是交互的，動態的生態系統，需要教師不斷地選擇合適的信息技術，圍繞信息技術的特點設計開放的、靈活的任務，讓學生在豐富多彩、層層遞進的實驗活動中積累原始體驗，并充分發揮學生的探索力和創造力，讓數學課堂走向廣度和深度。

參考文獻：

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