探討利用定理求函數(shù)極限的幾種常用手段

顏云

摘 要：函數(shù)極限作為微積分學(xué)的基本概念之一，貫穿于數(shù)學(xué)分析始終。而求函數(shù)極限的方法是研究函數(shù)的有力工具。因此本文就如何利用一些基本定理求解函數(shù)極限展開論述，主要從函數(shù)的一些基本定理出發(fā)，分類介紹函數(shù)極限的若干求解方法。如：STOLZ公式、中值定理、等。本文把每一種原理的特點作了詳細說明，再輔以一些典例加以分析，并滲透解題思路，旨在能夠成功的應(yīng)用一些常用定理作為手段去求解函數(shù)極限并解決一些基本的問題。

關(guān)鍵詞：函數(shù)極限;STOLZ公式;中值定理;

引言

“極限”作為數(shù)學(xué)分析中最為基本的概念之一，可用來描述變量的一種變化趨勢，也是研究數(shù)學(xué)分析的一個基本工具，且貫穿于對數(shù)學(xué)分析研究的始終.本文主要是利用一些基本定理對函數(shù)極限的常用求解方法進行總結(jié)綜述，致力于簡化求解過程.

當(dāng)然，求解函數(shù)極限的方法多種多樣，本文的內(nèi)容也不夠完善，我謹希望通過對本文的敘述，使大家對函數(shù)極限的求解方法有一個大致的認識，在計算時有思路可循.

1.利用施篤茲（STOLZ）定理求解函數(shù)極限

要點：“施篤茲定理”又被稱作數(shù)列的洛必達法則，對求解數(shù)列極限十分有效.它亦可以推廣到求解函數(shù)極限的情況，主要分為下列兩類：

.（“”型STOLZ公式）

定理 若嚴格遞增（即），且，若：

（有限數(shù)），則：.? 時，結(jié)論亦成立.

補充：雖名為“”型，其實只要分母嚴格單調(diào)遞增（）即可，至于分子是否趨向于無窮大不關(guān)緊要.

.（“”型STOLZ公式）

定理 設(shè)，且嚴格單調(diào)遞減（），若：

則：（其中“”為有限數(shù)，或）.

例求極限.

分析：可令所求極限式為一個函數(shù)列，并對其取對數(shù)進行化簡.對化簡完的式子使用STOLZ公式來求解其極限值，最后還原即可.

解 令，并對該式的兩邊取極限可得：

所以可得：.

2.利用中值定理求解函數(shù)極限

（1）利用微分中值定理

拉格朗日中值定理是微分中值定理中使用最頻繁的，常常把它對連續(xù)性、可導(dǎo)性的要求以及其多種形式的變化應(yīng)用到函數(shù)極限的求解上，以達到簡化求解的目的.

（2）利用積分中值定理

積分中值定理的使用往往需要通過觀察，若所求極限式以定積分的形式給出且該定積分又難以直接計算，此時可以考慮利用積分中值定理去除“積分號”.最后求極限.

2.1利用拉格朗日（Lagrange）中值定理求解函數(shù)極限

定理 若函數(shù)滿足如下條件：

在閉區(qū)間上連續(xù)? ? 在開區(qū)間上可導(dǎo)，則在上至少存在一點，使得：.

等價表示形式：

注：值得注意的是，拉格朗日公式無論對于，還是都成立，為介于a與b之間的某一定數(shù).、兩式在于將中值點表示成，使得無論a，b為何值時，總為小于1的正數(shù).

技巧：當(dāng)所求極限式或該極限式的一部分是函數(shù)列“鄰項相減”的形式時，可以考慮利用“歸結(jié)原則”構(gòu)造函數(shù)以及其區(qū)間，并對該極限式或該極限式的一部分使用拉格朗日公式進行變換，以達到簡化求解的目的.

例求極限.

分析：考慮到所求極限式中的因式“”為函數(shù)“”在區(qū)間上的“增量”，此時可以考慮使用拉格朗日中值定理，達到簡便求解的目的.

解 令 則在上使用拉格朗日中值定理有：

所以當(dāng)時，，即原式.

2.2利用積分中值定理求解函數(shù)極限

定理（積分第一中值定理）若在上連續(xù)，則至少存在一點，使得：.

定理（推廣的積分第一中值定理）若與都在上連續(xù)，且在上不變號，則至少存在一點，使得：.

技巧：若所求極限式數(shù)列以定積分的形式給出且該積分又難以計算，則此時可以利用積分中值定理達到去除“積分號”的目的，最后求解極限值.

例求極限.

分析：由于所求極限式以定積分的形式給出，可以將所求極限式看成函數(shù)的積分，嘗試使用積分中值定理消去除“積分號”，以達到簡化求解過程的目的.

解 由積分第一中值定理可知：在上連續(xù)

所以必使得：

所以可得：.

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