直線與圓錐曲線問題中優化運算的技巧

毛加驊

摘 要：直線與圓錐曲線問題中，經常涉及到韋達定理，學生在計算中覺得繁瑣，計算的錯誤多。為了減少錯誤，優化運算，筆者運用了三階行列式與兩根之差公式計算面積，二次函數中的兩根式減少了繁瑣的計算過程，簡化運算步驟，提高運算的正確率。

關鍵詞：直線與圓錐曲線;運算技巧

在直線與圓錐曲線問題中，聯立方程組消元之后會得到一個關于x（或y）的一元二次方程，在涉及弦長與面積的計算中，需要運用韋達定理來計算兩個根的差，或者在其它問題中需要計算等類似的式子。計算過程中，會顯得繁瑣，錯誤多，筆者利用以下的三個公式，優化了運算，減少錯誤。

一、三個公式

1.根差公式

一元二次方程中，由求根公式得到

根差公式：.

2.三角形面積公式

已知直線上兩點，，與定點， 那么三角形的面積可以用三階行列式表示為，將三階行列式展開，將分別代入三階行列式的展開式中，就可以得到面積公式：.

3.兩根式

一元二次方程中兩個根為與，那么可以將方程表示為 ，所以.

二、公式應用

例題1.（2012年·北京文科卷）已知橢圓C：的一個頂點， 離心率為.直線與橢圓C交與不同的兩點M，N.

（1）求橢圓C的方程;

（2）當△AMN得面積為時，求k的值.

解：（1）橢圓C的方程為.

（2）由得------（*）

設點M，N的坐標分別為，，則由面積公式，將代入可得，因為（*）中?、，所以面積，由，解得.

例題2.（2014年·湖南文科卷）如圖5，O為坐標原點，雙曲線和橢圓均過點，且以C1的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.

（1）求C1，C2的方程;

（2）是否存在直線l，使得l與C1交于兩點，與C2只有一個公共點，且？證明你的結論.

解：（1）計算可得C1，C2的方程為.

（2）①若直線l垂直于x軸 ，因為l與C2只有一個公共點，

所以直線的方程為或，由計算可得.

②當直線l不垂直于x軸，設l的方程為，由 消元可得

方程------（#）

當l與C1相交于兩點時，設，則滿足上述方程的兩個實根，那么令，由兩根式可得而等價于，所以只需要計算，其中由（#）式可得，，而

，

由消元可得，因為直線l與C2只有一個公共點，所以上述方程的判別式，

化簡可得，因此

，

從而.綜合（1）與（2）可知，不存在符合題目條件的直線.

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