對準目標,放縮“有度”

楊超拔

摘 要：本文從一道數列不等式的難點，探究試題的三種不同解法出發，分析每種解法的難點所在，以及如何突破難點，后面通過兩道典型例題來拓展放縮法思維，讓學生找到最貼近自己思維層次的理解方式，幫助學生逐步形成數列不等式的思維體系。

關鍵詞：數列不等式;裂項放縮;等比放縮

題目：已知數列滿足求證：

難點剖析：此題是筆者出在高三理科數學周練試卷上的一道試題的節選，改卷時，筆者發現所任教的班級同學僅少數同學能夠完整的解答出（糖水不等式法）這道題，筆者與各層次的學生進行深入交流，學生認為麻煩的是明知這是用放縮法來解決，但首先不清楚是先求和再放縮，還是放縮后再求和，其次困惑的是如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這個“度”如何把握，學生一下沒了頭緒，不知道該如何著手，容易想到一些固有知道的放縮技巧，但又不會根據證明目標實現恰當地放縮，導致這成了最大的難點。這“恰當”兩字，包含著種種的技巧和策略。

下面是這道數列不等式的學生答卷中三種證法的提煉。

證法1：（利用糖水不等式放縮）

點評：上述解法思路相對比較直接，在高中數學人教版必修5第87頁例1出現了糖水不等式并且做了嚴謹證明，所以同學并不陌生。糖水不等式不僅有著豐富的現實生活背景，而且在比較大小、放縮證明中有著重要的作用。

證法2：（利用等比放縮）

點評：考試中有些同學這樣處理：

，這已經是為等比放縮做準備，但由于沒有目標意識，證明無法進行。其實，所證不等式右邊是常數，所以對的分母必須含有3，則有的處理手法，不但進一步進行放大，而且轉化為求等比數列的前n項和，當然由于，必須保留不放大.

等比放縮的原理是：構造等比數列，其首項為p，公比為q，則其前n項和公式，當，數列收斂.對于類型（c為常數）數列不等式的證明，只需構造合適的等比數列進行放縮，即，當然等比放縮的局限在于：只適合帶n次方的數列.

證法3：（利用列項放縮）

點評：將通項cn兩次放大及裂項以及保留c1不放大，看上去不就“乘上一點”、“仍掉一點”，看似簡單，其實這種技巧不是隨心所欲得來的，而是摸清裂項伴隨著放縮這一重要的特征才作出恰如其分的過程.

常見的數列通項的放縮技巧有以下幾種：

對的裂項放大：

; ;

對的裂項放縮：

;

對的等比放縮：

;

熟悉了常規方法，然后再去追求方法的的新奇，所有新奇思路的獲得，必植根于扎實的基礎之中。

例題1：若（），求證：

證法一：

證法二：

證法三：，令，，

，

又

注：法一與法二是等比放縮的手法，法三是等比壓縮的手法，這樣的“放縮鏈”是考察了“偽等比數列”的結構特點之后的一種恰如其分的構造。

例題：2已知數列中，，證明：（1）;

（2）;（3）

分析：（1）先由數學歸納法證明，當不等式成立，假設成立，則當成立，所以，所以。

，所以依次遞推可得：

，

令，，，故在單調遞減，于是，

從而，累乘得：

，當且僅當時取等號

注：函數的構造，與其說是認真觀察題設條件得來的，不如說是一種創造性的突破，這樣的構造反映了解題時清晰的目的性，這種解題的靈感是長期積聚后的豁然開朗。

放縮是一種技巧性較強的不等變形，沒有固定的模式，這是一種靈活機動的戰略戰術，許多時候，就那么輕輕地一放、一縮，本質問題解決了。當然放到什么程度，縮到怎樣的范圍，必須事先在心中有一個充分的估計，必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。

通過本文的兩三道題目無法道盡放縮法的林林種種，教師平時教學應當引導學生通過題目開拓解題思維，從多角度觀察觀察一個對象，對一道題目進行一題多解，密切注意放縮法的特點，發現放縮法的規律，從中找出放縮的技巧與角度，有些技巧十分巧妙，不是一朝一夕能夠掌握的，它需要不斷積累，細心品味，逐步提高。

參考文獻：

[1]郝保國.多角度破解數列壓軸題，浙江大學出版社，2019

[2]張嘉瑾.不等式的方法、技巧、優美解，長春出版社，2014

[3]陳德前 凸顯復習課特點，構建高效課堂[J]. 中學數學教學參考，2011（7）.

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