兩種求復合函數單調性的方法

盧建彬

摘 要：對求復合函數單調性的問題，是高中數學教學中的難點，也是歷屆高考的熱點，學生普遍感到困難，而且解題容易出錯，為了便于學生掌握，下面總結了兩種求復合函數單調性的方法。

關鍵詞：數學;復合函數;單調性

一、利用學生所熟悉的初等函數（如冪、對數、指數函數）的性質判斷復合函數的單調性

例1：求函數的單調區間。

解：此函數的定義域，令，由二次函數的性質知在上單調遞增，在上單調遞減。

∵函數在上是增函數。

∴得單調增區間是，單調減區間是。

例2：求函數的單調區間。

解：此函數的定義域，令，則在上單調遞減，在上單調遞增。

∵對數函數在上是減函數。

∴的單調遞增區間是，單調遞減區間是。

上述方法求復合函數單調性的關鍵點是：

⑴先求復合函數的定義域M，所求的復合函數的單調區間必定是M的子區間。

⑵若函數其中為自變量時在定義域內是增函數，則復合函數（x為自變量） 的單調性與函數的單調性相同; 若函數

其中為自變量時在定義域內是減函數，則復合函數（x為自變量）的單調性與函數的單調性恰好相反。如此類推，最后可以確定復合函數的單調性。

二、可用定理求復合函數的單調性

從上述求復合函數單調性的關鍵點（2）中，我們不難得到一個復合函數的單調性判定方法：

若數值函數，令。且在上具有單調性，那么復合函數在M0上是增函數（減函數）的充分條件是：在上減函數的個數為偶數（奇數）。

證明如下：充分性

若函數在上減函數的個數為偶數，不論在M0上是增函數還是減函數，根據上述求復合函數單調性的要點（2）知，復合函數在M0上是增函數。

同理可證，若函數在上減函數的個數為奇數時，復合函數在M0上是減函數。

從而條件的充分性得證。

必要性（用反證法）

若函數在M0上是增函數，假設在上減函數的個數為奇數，則由條件的充分性知，在M0上是減函數，這與在M0上是增函數矛盾，因此在上減函數的個數為偶數。

同理可證在M0上是減函數時，在上減函數的個數為奇數。

從而條件的必要性得證。

下面我們運用這個定理求復合函數的單調性。

例3：證明函數在其定義域內是增函數。

證明：此函數的定義域為，令，，。

以為在上是減函數，在上是減函數，在上是增函數。

所以由定理知，函數在其定義域上是增函數。

例4：求函數的單調區間。

解：此函數的定義域可求得：

，令，，

∵v=cosx，在上是增函數，在上是減函數。

在上是增函數，在上是增函數。

∴由定理知，復合函數在上是增函數，在上是減函數。

運用此定理解題，就是將求復合函數單調性的問題轉化為n個基本函數，由它們中的減函數的個數來確定復合函數的單調性，達到了化繁為簡的目的，學生容易掌握。

結束語：

比較上述兩種方法，我們容易看到，對于求簡單的復合函數的單調性，運用方法一或方法二都容易得到解答，而對求較復雜的復合函數的單調性，運用方法二較為合適。

參考文獻：

[1]毋緒道.復合函數單調性結論的推廣及應用[J]. 數學教學. 2006，（07）：12-13.

[2] 鄒少偉.復合函數的單調性[J]. 數學學習與研究. 2016，（03）：106.

[3] 彭秋苑.解讀復合函數的單調性[J].課程教育研究. 2013，（03）：163-164.

[4] 王富英.序軸法——復合函數單調區間的一種簡捷求法[J]. 中學數學. 2002，（09）：25.

本文系福建省教育科學“十三五”規劃2020年度課題：大數據驅動的高中生數學學習監控與精準干預行動研究（課題編號：FJJKXB20-790）系列論文之一。

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