淺談初中數學整體性教學

馬文佳

摘 要：本文以上海教育出版社八年級第二學期第二十二章四邊形中的一節復習課，《平行四邊形復習2》為例，嘗試用整體性的思想對平行四邊形的性質進行再復習，讓學生能夠抓住平行四邊形性質的本質，幫助學生領會并應用平行四邊形的性質。

關鍵詞：整體性;平行四邊形復習;中心對稱

我們在平時的教學中總會存在這樣的困惑，學生知識的學習浮于表面，不會進行融會貫通，探究其原因，其中之一是教學的“碎片化”，教學中忽視知識內在的關聯性，解題的方法和數學思想的滲透。章建躍老師在《從數學整體觀看“同底數冪的乘法”的教學》一文中有提到“從整體出發，逐漸分化”，就是說我們的教學要有一個整體觀，知識要關注內在的聯系性，不應將其分離成各個“碎片”。《義務教育數學課程標準》中對整體性教學也提出了要求，“把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，引導學生感受數學的整體性”。下面筆者以上海教育出版社八年級第二學期第二十二章四邊形中的一節復習課，《平行四邊形復習2》為例，嘗試用整體性的思想對平行四邊形的性質進行再復習，讓學生能夠抓住平行四邊形性質的本質，幫助學生領會并應用平行四邊形的性質。

一、教學過程

問題1：平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分對邊BC為3和4兩部分，則平行四邊形的周長為

學生獨立思考后先畫出圖像，在畫圖的過程中發現會有兩解，分對邊BC并沒有確切的說哪一部分是3，哪一部分是4，需要進行分類討論。通過本題，讓學生熟悉平行四邊形中常見的基本圖形，平行線加上角平分線一定能得到等腰三角形，同時為問題2作鋪墊.

問題2：矩形ABCD中，AD=8，AB=4，點M在AD上，點N在BC上，將矩形沿MN翻折，使點D與點B重合.（1）求BM的長.（2）求BN的長

學生畫出圖像，知道翻折能帶來邊和角相等的關系。在這樣的問題中，我們通常會將問題化歸到一個直角三角形中利用勾股定理建立方程來解決問題。在這里讓學生體驗化歸和方程的數學思想。學生口答交流第2小題，基本有兩種方法，一是由翻折可得∠BMN=∠DMN，由矩形可得AD∥BC，則可利用問題1得到的基本圖形：平行線+角平分線得等腰三角形，證明BM=BN。二是可以通過證明△MOD≌△NOB得到BM=BN。

第二個方法中這兩個全等的三角形是關于點O呈中心對稱的，如果將MN繞著點O旋轉，仍能得到這兩個三角形是中心對稱的關系。讓學生帶著從圖形運動角度看問題的方法完成問題3。

問題3：如圖1，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線分別交AD，BC于點M、N，若△CON的面積為2，△DOM的面積為4，則△AOB的面積為 .

從問題2中得到的啟示可以讓學生快速找到全等的三角形，通過全等三角形進行面積的轉化從而解決問題。從這題中學生可以觀察到全等的三角形都是關于點O成中心對稱的。教師提出問題，那么這些三角形呈中心對稱的關系是否與平行四邊形本身的某一條性質有關系。此時學生會想到平行四邊形是中心對稱圖形，而對稱中心是兩條對角線的交點。可見平行四邊形是中心對稱圖形是一個非常重要的性質，可以從中心對稱的角度重新理解平行四邊形關于邊，角和對角線的性質，發現這些性質的本質都是因為平行四邊形是中心對稱圖形。同時也正是因為平行四邊形的中心對稱性可以幫助我們快速找到一些相等的量及全等的圖形，尤其在復雜的圖形中可以給出解題思路和方向。

問題4：已知：如圖2，在平行四邊形中，點O對角線AC的中點，過點O的直線MN、EF分別交邊AD、BC于點M、N，交邊AB、CD于點E、F.

（1）求證：四邊形ENFM為平行四邊形

（2）當四邊形ENFM為矩形且∠AOE=∠CON時，求證：BE=BN

由問題3中所得到結論可以快速找到哪些相等的量，這對證明第1題有幫助嗎？此時學生由平行四邊形是中心對稱圖形可以快速找到△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，從而得到OM=ON，OE=OF，再由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證得四邊形ENFM為平行四邊形。這一題是一道初三二模題，雖然圖形比較復雜，但是抓住平行四邊形的特征，就能快速找到一些相等的量，并且通過證明這些相等的量來解決問題。從本題中讓學體會到從平行四邊形中心對稱的角度可以很快找到解題思路和方向，但是在具體的解題過程中必須通過全等等方法進行證明。

第2小題解決的關鍵是利用條件中的信息可以證得△AOE≌△CON，從本題中學生能體會到解決幾何問題常用的方法就是從已知條件可以得到什么，從結論需要什么兩方面結合進行分析。

二、教學思考

在以往對平行四邊形性質的教學過程中，教師是以邊、角、對角線三個維度進行的，對學生來說這些性質是零散的，也因為在具體的題目中也很少會用到平行四邊形的中心對稱性，更多的是用到與邊，角和對角線有關的性質，所以教學中常常會忽略平行四邊形是中心對稱圖形這一性質。但從數學知識的整體性考慮，它們其實都與平行四邊形是中心對稱圖形這一性質有關。從圖形運動的角度重新理解平行四邊形的性質，讓學生能夠抓住平行四邊形關于邊、角、對角線性質的本質，建立起這些性質的內在聯系，幫助學生更容易領會和應用平行四邊形的性質，同時也可以利用平行四邊形是中心對稱圖形快速找到一些相等的量及全等的圖形，在復雜的圖形中給出解題思路和方向。

“數學整體性教學是將具有結構關聯的知識作為一個系統，要以學生的學為中心，要以用知識和方法學習新知，解決問題為目標”。教師在備課的過程中應該要想的多一些，想的遠一些，把握知識的內在聯系，不能把知識割裂開。在課堂中，仍然要以學生為主體的學習，通過層層問題的遞進，能發現這些知識的關聯，知道內在本質。在《平行四邊形的復習2》這一課中，通過四個問題，讓學生知道平行四邊形性質的本質，并能在具體的問題中進行應用。在實際的教學中，需要給學生自己充分的時間思考和消化，讓學生能在具體的問題中得到平行四邊形是中心對稱圖形這一性質是其它性質的本質，從這點出發，可以找到一些相等的量。問題是由教師設計的，但是最后的結論需要由學生自己去發現，這樣才能有利于學生建立起平行四邊形性質之間的聯系，才是有深度的整體性學習。

參考文獻：

[1] 章建躍.從數學整體觀看“同底數冪的乘法”的教學[J].中國數學教育，2013（7-8）

[2] 朱先東.指向深度學習的數學整體性教學設計[J].數學教育學報，2019（5）

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