直觀想象素養(yǎng)下數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的實(shí)例探究

王勝鋒

摘 要：本文在直觀想象素養(yǎng)下通過對(duì)數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的過程，應(yīng)用特點(diǎn)，本質(zhì)的分析，以高中數(shù)學(xué)立體幾何這部分內(nèi)容為例，結(jié)合教材和筆者在教學(xué)中碰到的問題，分析和例證了如何進(jìn)行數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的意義，旨在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效果。

關(guān)鍵詞：直觀想象;反思性學(xué)習(xí);實(shí)例

直觀想象是高中生很重要的一種核心素養(yǎng)，學(xué)生只有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有整體上的了解，才能有目的地展開想象，進(jìn)而連續(xù)向自己提出問題，直至找到問題的答案。在數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程中，教師經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，驗(yàn)證，從而找到解決問題的方法，這其中的過程本身就是反思性學(xué)習(xí)的具體表現(xiàn)。在碰到一些不能直接解決或經(jīng)常犯錯(cuò)誤的問題時(shí)，我們總是不斷反問自己：是不是這樣？哪里出錯(cuò)了？假如這樣會(huì)怎么樣？本文以高中數(shù)學(xué)立體幾何這部分內(nèi)容為例，結(jié)合教材和作者在教學(xué)中碰到的問題，談?wù)剬W(xué)生如何進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)以及反思性學(xué)習(xí)的意義，旨在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的反思效果。

一、反思性學(xué)習(xí)的主要過程

反思性學(xué)習(xí)是對(duì)思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)的檢驗(yàn)過程。在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中要不斷地進(jìn)行反省，重新概括和抽象。要求學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中對(duì)涉及到的事物、材料、信息、思維、結(jié)果等進(jìn)行反向思考。當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)后，學(xué)習(xí)者先對(duì)條件，問題進(jìn)行綜合分析，然后探索尋找問題的答案，最后整理學(xué)習(xí)過程，獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，方法，心理感悟。在探索階段主要依靠自我解釋，交叉驗(yàn)證（反復(fù)驗(yàn)證），結(jié)果反饋這三個(gè)步驟來完成。

二、反思性學(xué)習(xí)的應(yīng)用特點(diǎn)

學(xué)生通過反思性學(xué)習(xí)，可以深刻體會(huì)學(xué)習(xí)過程中是如何探究的，研究的心理變化，知識(shí)和技能的總結(jié)，從而增強(qiáng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的創(chuàng)造力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。反思性學(xué)習(xí)重視反思的過程，善于運(yùn)用每次的結(jié)果去引導(dǎo)反思，從而對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)過程起到調(diào)控的作用，保持反思的效果。

反思性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)可以概括為：

1.基礎(chǔ)性

學(xué)生在反思性學(xué)習(xí)的過程中以自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)方法為基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)的難易程度對(duì)于不同的學(xué)生是不一樣的。每次反思性學(xué)習(xí)的成果都會(huì)成為下一次學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

2.探究性

反思性學(xué)習(xí)不是簡單的練習(xí)，它是對(duì)問題的深層次思考。在學(xué)習(xí)的過程中，問題本身有一定的難度和開放性，從而引發(fā)學(xué)生一系列的思考，探究。常見的探究過程就是提出問題，探究問題，解決問題。學(xué)生通過探究其中的問題和答案，重構(gòu)自己對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解。

3.自主性

反思性學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生自己，自主探究，最終獲得問題解決的答案。學(xué)生以自身學(xué)習(xí)的合理性為出發(fā)點(diǎn)，通過自我認(rèn)識(shí)，自我分析，自我評(píng)價(jià)獲得自我體驗(yàn)。對(duì)于學(xué)生來說首先是想學(xué)，然后是堅(jiān)持學(xué)，整個(gè)過程具有很強(qiáng)的自主性。

4.反饋性

學(xué)生在每次探究之后都會(huì)獲得對(duì)應(yīng)的結(jié)論，有的結(jié)論就是問題的答案，問題得以解決。有的結(jié)論說明或證明之前的想法、猜想是錯(cuò)誤的，得重新回到問題的起點(diǎn)，構(gòu)思新的解決辦法。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，通過層層反饋，不斷努力，最終找到問題的答案。

5.發(fā)展性

反思性學(xué)習(xí)不僅加深了學(xué)生對(duì)本次學(xué)習(xí)問題的理解，而且為下一次的學(xué)習(xí)提供新的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷反思中形成了對(duì)知識(shí)的再學(xué)習(xí)以及對(duì)自身的了解，提升了個(gè)人的學(xué)習(xí)能力和綜合素質(zhì)。

《高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)準(zhǔn)》中提到高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)倡導(dǎo)自主探索，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流，閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。從以上對(duì)反思性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)來看與課標(biāo)所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式是一致的。

三、數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的本質(zhì)

如果說“數(shù)學(xué)反思性教學(xué)的本質(zhì)是教師從學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行反思，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問題”，那么數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是學(xué)生通過對(duì)新問題的分析、探究，構(gòu)建數(shù)學(xué)新的知識(shí)和方法。面對(duì)新的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生首先要返回到學(xué)過的知識(shí)和方法上分析問題的條件和需要的結(jié)論，接著嘗試解決問題的思路與方法，然后總結(jié)完善自我的知識(shí)體系，改進(jìn)自我的思維方式，最終形成新的學(xué)習(xí)體會(huì)。

數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)不僅僅是對(duì)知識(shí)和技能的一般回顧和重復(fù)，而是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中所涉及的知識(shí)和技能的深究，通過自己的努力形成一種科學(xué)的研究問題的方法。

數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)也不僅僅是解決數(shù)學(xué)問題，更重要的是以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為載體，以“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”為目的。學(xué)習(xí)過程中既關(guān)注學(xué)習(xí)的直接結(jié)果——眼前的數(shù)學(xué)成績，也關(guān)注間接結(jié)果——數(shù)學(xué)思維能力的提高，未來學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，是幫助學(xué)生終身學(xué)習(xí)的一種方法。

四、數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的實(shí)例探究

（一）數(shù)學(xué)反思性的學(xué)習(xí)貫穿整個(gè)課程。

1.問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)

在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2》中的本冊(cè)導(dǎo)引中，編者著重強(qiáng)調(diào)“學(xué)習(xí)始于疑問”，“學(xué)而不思則罔”，說明了反思的重要性。學(xué)生首先通過適當(dāng)?shù)挠^察，思考，探究等活動(dòng)，打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，接著還得通過獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)思考，不斷提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

在課本中，我們經(jīng)常可以看到這樣的思考：

我們?nèi)绾蚊枋鰩缀误w的形狀？

當(dāng)常見的幾何體底面發(fā)生變化是，它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上是否能相互轉(zhuǎn)化？

當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)，斜率公式還適用嗎，為什么？

這些問題可以很好的幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中進(jìn)行反思，理清數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，以及公式、結(jié)論適用的條件和范圍。

2.證明方法指引學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)

在高中立體幾何的教學(xué)過程中，我們普遍感覺學(xué)生存在表述不清楚，證明的思路混亂等想象，從而導(dǎo)致他們?cè)趯W(xué)習(xí)立體幾何這部分時(shí)心理壓力比較大。在直觀想象素養(yǎng)下，結(jié)合可能的幾何圖形，嘗試在高中立體幾何中運(yùn)用反思性學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，拓寬學(xué)生思維的廣度。

高中數(shù)學(xué)必修2（人教版）課本P70頁，思考：已知直線a、b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直線a、b一定平行嗎？

這個(gè)問題看似很簡單，但思考之后學(xué)生發(fā)現(xiàn)無法把直線a、b歸納到同一個(gè)平面內(nèi)，如何用平面幾何的知識(shí)來解決，在這種情況下，反向思維起到了不可替代的作用。

證明如下：

如圖1-1，假定a與b不平行，則，過點(diǎn)O作，使，由于可確定平面β，記，，因?yàn)閍⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c

又 所以，這樣過點(diǎn)O在同意個(gè)平面β內(nèi)有兩條直線垂直于直線c，這與事實(shí)不符，原假設(shè)不成立。故

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要圍繞著數(shù)學(xué)問題展開，而問題的求解包含兩個(gè)部分：合理分析和嚴(yán)格論證，尤其是問題的分析和發(fā)現(xiàn)過程。上述的求解過程通過假設(shè)，引發(fā)想象，導(dǎo)出矛盾，最終給出判斷，是一種化難為易的證明方法。學(xué)生將”間接法”拓展開去，用”反證思想”分析和解決問題，使之與正向思維共同作用，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力。

（二）數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)在猜想中獲得發(fā)展和提升

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)很注重圖形的呈現(xiàn)，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，可以很好地化解問題的難度。在這一過程中，學(xué)生通過直觀想象，分化同構(gòu)，合理推演，找到問題的突破口，可以說大部分時(shí)候想象比運(yùn)算推理更重要。一方面，數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)可以提升自己對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感，進(jìn)而提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。另一方面，在直觀想象下，學(xué)生會(huì)更積極，大膽去鉆研問題，甚至是數(shù)學(xué)難題。因?yàn)樵谥庇^想象下，數(shù)學(xué)問題的分析更具有開放性和多樣性，具體性，學(xué)生愿意去嘗試不同的可能。

問題：已知在三棱柱中，，，面⊥面，求直線與平面所成角的正弦值。

本題如果能找到過直線上一點(diǎn)與平面垂直的垂線，則直線與平面所成的角就能確定。所以關(guān)鍵問題是如何判斷出垂線的位置。

結(jié)合題目的已知條件，如圖2，易知面，

1.自主探究

（1）如圖3，在等邊中，取的中點(diǎn)E，連，，則

假設(shè)平面，則

令，則，又，所以

記，

在中，由余弦定理得 ，

所以，

所以 ，從而原假設(shè)不成立，即不垂直于平面

（2）如圖4，在等邊中，取的中點(diǎn)F，連，

假設(shè)平面，則

由分析2知，， 顯然不垂直，即原假設(shè)不成立，不垂直于平面

2.反饋調(diào)整

學(xué)生由圖形的特征，通過直觀想象，進(jìn)行了適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，求證，對(duì)問題的條件由了進(jìn)一步的解釋。雖然經(jīng)歷了兩次的失敗，但反思一下問題，顯然有用的條件還沒有找到，重新構(gòu)思，反思問題的解法在哪里，同時(shí)也檢查自己的思維過程是否嚴(yán)密以及圍繞基本思想方法的行動(dòng)是否夠深入。

如圖5，連，過作，垂足為M，

假設(shè)平面，則 ，在這里有，考慮到已知條件，取的中點(diǎn)N，連、，顯然面，所以，又，且面，所以平面，則，又是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，假設(shè)成立。從而為直線與平面所成的角，

3.深入發(fā)展

由于該三棱柱是斜三棱柱，想很快找到直線與平面所成的角不是很容易，但可以通過步步假設(shè)、反思，層層揭開了問題的謎底。在整個(gè)過程中，學(xué)生圍繞著自主探究，反饋調(diào)整，對(duì)問題有了全面的了解，也找到了解決問題的答案，最終對(duì)問題有了本質(zhì)上的把握。同時(shí)，學(xué)生在如何對(duì)問題展開合理討論以及論證有了一個(gè)完整的體驗(yàn)過程，對(duì)以后的學(xué)習(xí)又積累了難得的經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)又成為后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

通過上述的實(shí)例探究以及數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)大致可以歸納為

五、重視直觀想象下數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的實(shí)踐，讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的重新認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)思維不僅僅是在抽象層面展開，更多是要借助直觀手段去探尋問題的實(shí)質(zhì)，推理和運(yùn)算的方向，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析和處理的結(jié)果。數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的對(duì)與錯(cuò)的判斷變得更加理性。

1.善于發(fā)現(xiàn)問題，提高主體意識(shí)。

在數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生面對(duì)假設(shè)問題的結(jié)論不成立，會(huì)引發(fā)對(duì)問題的重新思考和嘗試，通過新問題的不斷提出，最終發(fā)現(xiàn)矛盾，從而意識(shí)到原來的假設(shè)是有問題的。在這樣的過程中，學(xué)生不再是無從下手，而是不斷地，主動(dòng)地去尋找問題的答案。不僅用問題驅(qū)動(dòng)了學(xué)習(xí)，也用問題引導(dǎo)著學(xué)生積極的思考，變被動(dòng)為主動(dòng)，從而提高了學(xué)生的主體意識(shí)，主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中遇到的問題，并且自覺地全面地尋找問題的答案。

2.體會(huì)問題本質(zhì)，提升探究能力。

數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的過程本身就是一個(gè)自我反思，自我探究的過程。它對(duì)提高學(xué)生的思考能力，辨別對(duì)錯(cuò)的能力大有裨益。在探究的過程中，學(xué)生無論使用直接法，還是間接法推理論證，本質(zhì)上是對(duì)條件和結(jié)論的層層反思，持續(xù)論證，重復(fù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，堅(jiān)持總結(jié)新的經(jīng)驗(yàn)，最終獲得問題的答案，形成對(duì)問題的再認(rèn)識(shí)。整個(gè)過程不僅加深了學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解， 而且提高學(xué)了學(xué)生的分析和解決問題的能力。

3.減緩思考?jí)毫Γ峁W(xué)習(xí)動(dòng)力。

數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)過程既有理性的思考，也有“頓悟”的靈感乍現(xiàn)，并且允許學(xué)生犯錯(cuò)，從頭開始。并且不以是否解決問題為標(biāo)準(zhǔn)，更多強(qiáng)調(diào)自主、自由去思考問題。學(xué)生在沒有任何限制下，自主發(fā)揮。另外，學(xué)生在數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的過程中，面對(duì)不確定性，心理會(huì)產(chǎn)生對(duì)學(xué)習(xí)的期待和焦慮。實(shí)驗(yàn)表明中等程度的焦慮有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果的期待會(huì)有助于學(xué)生堅(jiān)持學(xué)習(xí)下去，最終形成一種有效期待，為學(xué)生解決問題提供堅(jiān)持不放棄的動(dòng)力。

六、總結(jié)

數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)是一個(gè)持續(xù)的過程，要求學(xué)生戰(zhàn)勝困難，督促自己找出學(xué)習(xí)上的不合理性，并且解析學(xué)習(xí)過程中的不合理性，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)毅力是很大的挑戰(zhàn)，這也是很多學(xué)生碰到數(shù)學(xué)課就頭疼害怕的原因。教師在幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中不僅要有意的設(shè)置反思障礙，多問幾個(gè)為什么，也要鼓勵(lì)學(xué)生敢于思考，找到解決問題的方法。

“問題不可能在制造問題的同一個(gè)意識(shí)層面解決。”，所以想象力比知識(shí)更重要，鼓勵(lì)學(xué)生通過反思性學(xué)習(xí)，恰當(dāng)選擇方法對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析求證，可以有效的提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的直覺，從而建立學(xué)生意識(shí)與潛意識(shí)之間的連接，達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。直觀想象下的數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)，不僅可以提高學(xué)生對(duì)直觀想象的認(rèn)識(shí)，而且可以讓學(xué)生感受空間關(guān)系與數(shù)量關(guān)系是如何統(tǒng)一。

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