立足基本圖形 彰顯變式精彩

祝霞霞

摘 要：通過挖掘、構造基本圖形，讓學生積累數學解題經驗。通過對中考題進行適度的變式、引申、拓展、整合，讓學生發現這類問題的本質規律，進而掌握解決問題的本質方法并體會蘊含其中的數學思想方法。從而達到發展學生數學思維品質、培養數學核心素養的目的。

關鍵詞：基本圖形;一題多解;本質

以2020年溫州中考卷第10題為例，本道題以勾股圖為模型，主要考查勾股圖中的線段關系，利用圖形間的聯系，考查正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、三角函數等知識。題中搭建的模型蘊含豐富的基本圖形，學生可以從多個角度進行探究，借助相似或合理添加輔助線，構造相似三角形是解決本題的主要思路。本題及其變式的探究有利于培養學生的識圖構圖能力，培養學生的分析問題和解決問題的能力。

一、原題呈現及分析

（一）知識鋪墊

思考一：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，你能得到哪些結論？

利用思考1對直角三角形的知識進行回顧，可以從邊、角、線、面積等方面進行求解，采用開放性問題打開學生的思路，回顧利用勾股定理、三角函數、相似三角形解決直角三角形，為后面探究的問題做了鋪墊。

追問1：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三邊為邊向外作正方形，你能得到哪些結論？請簡單說明理由。

這一問具有一定的開放性，考查了勾股圖的基本圖形衍生，也能培養學生的理性思維能力，學會數學的思考。

生1：得到這三個正方形，S正方形ACDE、S正方形BCIH、S正方形ABGF面積的關系.

生2：得到這三個正方形邊長的關系.

生2：得到這三個正方形對角線的關系.

在原有勾股圖的基礎上，進行添線構圖，進一步研究圖形的數量關系，連結CE、CH，進行追問EH的線段長，此處要證明C、E、H三點共線，為后面的題目做鋪墊。過C作CR⊥FG于點R，交AB于點H，利用線段的和差進行求解CR。發現給定條件，確定中間Rt△ABC的形狀，則EH、CR的值均為定值。將這幅勾股圖中數學問題的本質點明，提高學生的解題能力、以及數學思維。

（二）原題呈現

如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三邊為邊向外作正方形，過點C作CR⊥FG于點R，再過點C作PQ⊥CR分別交邊DE，BH于點P、Q，若QH=2PE，PQ=15，則CR的長為__________________.

分析：本圖基于勾股圖的深入探究，切入點明顯。條件QH=2PE，由線段比容易聯想到相似，而圖中已經存在著多對相似三角形，如圖，這些三角形都存在著相似關系，但是他們都無法與QH=2PE聯系在一起，因此需要添加輔助線構造相似三角形。

二、變式教學，促進圖形自生長

要關注學生深度的思維過程，教材的習題一般具有基礎性與代表性，期末測試題、中考試題等均源于對教材例、習題的改編或者變式。

（一）改變條件的呈現方式，探究線段的位置關系

對原題進行追問，進一步探究得到其他結論，由此延伸出如下題。

變式1：如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三邊為邊向外作正方形，過點C作CR⊥FG于點R，再過點C作PQ⊥CR分別交邊DE，BH于點P、Q，若QH=2PE，則的值為_________________.

可以改變題目的結論，進一步追問的值為多少？由線段的求值問題，轉化為線段的比值問題，引導學生思考是否能確定Rt△ABC的形狀，通過連結CE、CH得到△PEC∽△QHC，得到EC與CH的比值為1：2，最后得到CA：CB=1：2.，確定了Rt△ABC的形狀。再通過設單位“1”進行表示，從而得到線段的比值。

（二）互換條件和結論，探究線段數量關系

對原題進行條件和結論互換，由此延伸出如下題。

此題是中考題的簡單變式題，改變條件的描述方式，互換題設的條件與結論，圖形不變，求證兩條線段的位置關系。通過條件和結論的互換，有意識地引導學生發現互換條件和結論可對原題進行變式練習。

（三）改變線段的位置，探究新結論

通過連結其他線段，繼續探究線段的比例關系，延伸出如下題目。

本題保持了原題的條件，連結CG交AB于點M，已有前邊題目的經驗，學會設單位“1”，對各邊進行表示。但要表示AM、GM兩條線段，需要進一步構造基本相似三角形。找到的基本相似圖形非常的多，圖①的方法最簡單直觀。

（四）深化變式，思維提升

通過在勾股圖的基礎上，想到中間的直角三角形能否用一般三角形，發現本質后，在題目中給出三個條件（至少有一條邊），就能夠確定三角形的形狀，可以繼續探究線段的比例關系，延伸出如下題目。

題目中給出△ABC的三個條件，即可確定三角形的形狀，從而求解旁邊正方形以及線段的比值問題。問題一直在變，但不管怎么變，我們只要抓住本質，變中求通，打開解題思路，定能提升學生解決問題的能力。

三、結束語

在《新課標》和數學核心素養的高要求下，單純依靠解決課后習題是不夠的，必須回歸教材，深入解讀教材，通過一系列的知識聯動、整合、延伸和拓展，不斷提升學生的思維，構建知識網絡，提高解題效率，促進學生數學能力的發展。在平時的教學中多引導學生從不同視角、不同層次去觀察、分析和探索。通過探索，促進學生將新的數學思想方法融入到原有的認知結構中，并且能將新的思想方法結合原有的知識，遷移到新的問題情境中，以求學生學會舉一反三、觸類旁通。

參考文獻：

[1]林松.習題教學要引領學生走探究之路——一道函數應用題的改編、教學及思考[J].初中數學教與學，2020（4）：53-55.

[2]蔡宗熹.千古第一定理---勾股定理[J].2009.

2088501186237