巧用同角三角關系式破解數學難題

杜占杰

摘 要：同角三角函數基本關系式是三角函數里面的重要內容之一，它既是對三角函數定義的規律總結又是誘導公式的學習基礎，學習中不僅要理解公式的含義，進行簡單的代換，而且要對公式靈活變換應用，這不僅是夯實數學基礎的需求，也是培養學生創新精神與實踐能力的手段。

同角三角函數基本關系式是三角函數一章中重要的一節內容，在學習了任意角的三角函數的定義后，由定義推導出兩個基本的同角關系式，我們稱之為：同角三角函數基本關系式即：平方關系sin2a+cos2a=1，商數關系。這兩個公式的推導可以結合三角函數的定義來進行。推導過程比較容易理解，但要靈活應用公式學生有較多的困難。所以教師的講解說明特別重要，一定要讓學生理解同角的含義也就是公式中的角度a要一致，a的取值為任意角。“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，任何知識定理的學習都不可能一蹴而就，也不可能僅憑教師的幾句講解就能完全理解，由于學生的學習能力，基礎知識，思維能力各不相同，所以學習效果也大相庭徑。教師要做的就是盡可能照顧到絕大多數同學，因材施教，從基本的題型開始訓練，步步為營，因而題目的選擇就非常重要了，過于簡單，大部分同學一看就會，毫無挑戰性，那就起不到提高能力水平的作用，如果題目太難，大部分同學望而生畏，直接放棄，這樣的教學也是失敗無疑。根據筆者對學生多年教學的經驗，題目選擇要參考所帶班級學生的實際情況，是學生跳一跳能夠得著的，符合學生的最近發展區。

鑒于所帶學生基礎較差，數學思維能力薄弱，動手實踐能力不夠，公式應用以最基本的題目開始，一方面提高學生學習自信，另一方面鍛煉學生的運算能力，會算要保障能算對。

同角三角函數的基本關系式應用之一：求值.

已知tanα=-，且α是第二象限角，求α的正弦和余弦值.

解由題意得

sin2α+cos2α=1，①

.②

由②，得sinα=-cosα，代入①式得

6cos2α=1，cos2α=.因為α是第二象限角，所以cosα=-，代入③式得sinα=-cosα=-×（-）=.

題目本身不難，但涉及到二元一次方程組的解法，有部分學生在解方程時出現困難，所以這里可以及時復習方程組的解法，比如加減消元法，代入消元法等，查缺補漏，數學知識的積累在于平時的點點滴滴，切不可掉以輕心。

同角三角函數的基本關系式應用之二：化簡：

Sin4a+sin2acos2a+cos2a

本題目涉及到的三角函數有2次方和4次方，對于有高次方的問題，一般來說引導學生將高次方降次，但要保證不改變原式的值，也可以通過將低次變高次與原來的高次方正負抵消，思路比結果要重要，所以多給學生留思考的時間，鼓勵學生多維度思考，不要輕易否定學生不成熟的想法。通過筆者引導，學生交流探討，有這樣兩種不同的解題思路：

方法一：前兩項提公因式sin2a可得sin2a（sin2a+cos2a）+cos2a，由于括號中的部分為平方和公式直接為1，則上式化為sin2a+cos2a=1

方法二：將第二項中的cos2a用公式替換為1-sin2a可得sin4a+sin2a（1-sin2a）+cos2a=Sin4a+sin2a-sin4a+cos2a=sin2a+cos2a=1

反思本題，化簡過程的變形可以是降低次數也可以是升高次數，不論何種運算目的都是要將復雜的式子簡化，所以不必過于拘泥用何種形式，方法越多越利于學生思維拓展與培養。

同角三角函數的基本關系式應用之三：證明.

證法1：

因為

所以

證法2：因為左邊

右邊

所以 ?左邊=右邊.即原等式成立.

證法3：將原式交叉相乘可得：

Cos2a=（1+sina）（1-sina）即：cos2a=1-sin2a式子成立。即原等式成立。

上述三種證法從不同的角度給出證法，都能很好的解決問題，這些方法無好壞之分，適合學生本人的就是好方法，教師適當引導，指點即可，具體的思路，操作實踐需由學生自主決定。給出不同的方法是為了讓學生借鑒吸收，取人之長，拓寬自己的解題思路。

培養逆向思維，公式中“1”的妙用，學生習慣于公式的順推，也就是公式的展開，因為不論公式的推導還是講解都是順著進行的，但數學中的逆行思維必不可少，有時候的逆向思維可以起到意想不到的作用。

例：求證：

本題的證明看似無從下手，但如果能意識到“1”的特殊性，便會柳暗花明又一村，這里的“1”不僅僅代表生活中的數量關系，1個人，1張桌子，它在三角函數中有特殊的含義：

1=sin2a+cos2a，如果能將上式中的1轉換過來，那么這道題便可迎刃而解了。所以有時候的化簡或證明，在實際操作中不一定是把復雜的往簡單的方向變，有時候反其道而行之往往起到意想不到的效果。

綜上，三角函數的學習方法靈活多變，平方關系，商數關系可以經過不同的變換而形成新的表達式，例如移項、、平方等，不同的形式應用到不同類型題目會化繁為簡，化難為易，至于用哪種形式不能一概而論，要具體問題具體分析。正如教學有法，教無定法，貴在得法。學生的自主探索，合作探究固然重要，但學習的能力，時間有限，學生不可能高屋建瓴，整體把握，這就需要教師的引導，激發給學生提供必要的腳手架幫助學生完成學習過程。

參考文獻：

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