從公理化方法視角解讀數學

雒福東

1、公理化的方法解讀數學

1.1數學的定義

數學是什么？這是困擾人們千百年來的問題。歷史上很多哲學家和數學家都對數學下過定義，在眾說紛紜之間體現了數學多樣的美。其中一個定義是這樣敘述的：數學是公理化，是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設）出發，按照邏輯規則推導出其他命題，建立起一個演繹系統。對于龐大的數學體系，這樣的定義過于抽象，這要求我們要從具體事例角度加以理解。

1.2公理化方法的定義

公理化思想就是任何真正的科學都始于原理，以它們為基礎，并由之而導出一切結果。隨著假設演繹模型法的進一步發展，經濟學日益走向公理化方法。公理化是一種數學方法。最早出現在二千多年前的歐幾里德幾何學中，當時認為“公理’（如兩點之間可連一直線）是一種不需要證明的自明之理，而其他所謂“定理” （如三對應邊相等的兩個三角形全等）則是需要由公理出發來證明的

1.3公理化方法解讀數學

當一門科學積累了相當豐富的經驗知識，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統化，上升到理性認識的時候，公理化方法便是一種有效的手段。如近代數學中的群論，便經歷了一個公理化的過程。當人們分別研究了許多具體的群結構以后，發現了它們具有基本的共同屬性，就用一個滿足一定條件的公理集合來定義群，形成一個群的公理系統，并在這個系統上展開群的理論，推導出一系列定理。不但對建立科學理論體系，訓練人的邏輯推理能力，系統地傳授科學知識，以及推廣科學理論的應用等方面起到有益的作用，而且對于進一步發展科學理論也有獨特的作用。例如在代數方面，由于公理化方法的應用，在群論、域論、理想論等理論部門形成了一系列新的概念，建立了一系列新的聯系并導致了一系列深遠的結果;在幾何方面，由于對平行公設的研究導致了非歐幾何的創立。

2、幾何公理化演變

2.1《幾何原本》帶來的公理化方法

早在古埃及和古巴比倫時期，實用幾何知識已經初步形成。古希臘早期的數學家泰勒斯熟悉了經驗幾何和計算法則后，確定了幾條最早的幾何定理。后來畢達哥拉斯學派開始了幾何邏輯證明。其中該學派的希波克拉茨第一個系統得對幾何進行邏輯證明，其名著?幾何綱要?開創了希臘公理學論著的先河。[1]之后柏拉圖學派也把數學奠基于邏輯之上，堅持使用準確的定義、清楚的假設和嚴格的證明，提出了系統的推理法則。古希臘數學家哲學家和邏輯學家亞里士多德則是“第一個偉大的公理化方法理論家”。他在?分析篇?中，總結概括了邏輯學豐富資料，在歷史上第一次對公理化方法做了論述。但是他沒有實際用過公理化方法推出定理，構造一個理論化知識體系。[2]直到?幾何原本?問世，才開始初步形成實質性公理化方法。

2.2希爾伯特公理體系的建立

然而歐式幾何也并非完美無缺的，它對于一些概念的描述存在著模糊性，因此后世一直在對其進行完善。例如?幾何原本?中提到的第五公設：“如果兩條直線與另一條直線相交，所成的同側內角和小于兩直角，那么這兩條直線在這一側必相交?！比藗儗ζ溥M行多次證明，結果卻以失敗告終。直到高斯，羅巴切夫斯基和黎曼各自獨立認識到這種證明是不可能的，從而建立了不同于歐式幾何的“非歐幾何”。

2.3幾何公理化演變的啟示

從幾何公理化的演變歷史中，我們可以看出以下幾點。首先幾何的公理化體系并不是從幾何誕生之日起便實現的，而是隨著歷史的發展不斷完善的。正是因為有了古希臘眾多數學家的努力，歐幾里得集大成者完成了?幾何原本?，開創了實質性公理化方法。而后希爾伯特又在非歐幾何基礎上建立了希爾伯特公理體系，從而形成了數學公理體系。由此可見，數學的公理化形成過程并不是僅僅靠一位或幾位天才的數學家就可以實現，而是需要無數的數學家的汗水努力所完成的。所以，我們應該明確幾何公理化的形成過程，培養嚴謹的邏輯思維，提高推理論證能力，才能更好的運用幾何公理化知識去進行邏輯推理，來解決實際問題。

3、數學是公理化的依據

公理化具有如此鮮明的特點，體現了數學的豐富多彩的性質。同樣，將數學定義為公理化，也體現了從幾條簡單的公理和公設出發演繹出整個數學體系的公理化過程。下面讓我們看一下將數學定義為公理化的基本依據。

3.1數學的發展是公理化完善過程

數學的發展是一個漫長的歷史過程，并隨著時間的流逝不斷的完善。在數學最初的起源時，數學知識基本來源于生產生活之中。例如古埃及，古巴比倫的數學，就是起源于生活之中。而后在古希臘時期，論證幾何的出現讓數學逐漸脫離現實，進入了抽象化的水平。東方數學也是如此，從用于解決天文學問題的?周髀算經?，發展到成就豐富的?九章算術?，再到宋元數學的輝煌，同樣是一個數學理論體系完善的過程。

3.2公理定義方式對數學定義的影響

公理定義就是用一組公理來描述被定義項概念的本質屬性的定義方式。在幾何公理化演變部分，意大利數學家皮亞諾對于自然數的定義便是應用的公理定義方式。公理定義方式屬于數學七大定義方式之一，為人們所普遍接受。數學中很多基本概念，例如點、線、面都可以用公理化方法來定義，但是語言敘述相對復雜一些。所以在現實教學中，我們一般采用描述方法來說明此類簡單概念。

3.3公理化體系的形成帶來數學的變革

在前面的數學中，我們對數學公理化的演變有了清晰的了解。西方有句諺語：羅馬不是一天就建成的。同樣，數學理論體系不是一天就形成的，而是一個不斷變化發展的過程，而每一次大的數學變革都顛覆了人們對傳統的認識。的發現引發了數學第一次危機，撼動了畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的理念。解析幾何的創立將幾何與代數完美的結合在一起。微積分的創造讓數學從常量數學時代進入變量數學時代。19世紀末非歐幾何的創立更是改變了兩千多年來人們對歐式幾何的信賴?？梢姡瑪祵W變革的力量是巨大的，它可以推動整個數學知識體系的完善和深化。

3.4公理化方法對于數學的作用和意義

分析、總結數學知識.凡取得了公理化結構形式的數學，由于概念和定理均已數學公理化方法（axiomatic method of mathe-matics）一種常用的數學方法.從盡可能少的不定義的原始概念（基本概念）和一組不加證明的命題（公理）出發，經過精確定義和邏輯推理而得到其他的全部概念和定理的、建立數學系統的方法。

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