思維導圖在培養學生高階數學思維中的作用

張志明

數學核心素養是以邏輯推理為核心，數學抽象形成概念知識，直觀想象輔助思維分析，數學建模還原數學真實，數學運算得以解模和問題解決.數據分析是新時代的產物，也是未來數學發展的高度.以數學問題為核心，發展學生的數學核心素養，培養德智體美勞全面發展的時代新人是數學教學的根本任務.

人的發展本質上是思維能力的培養.而解題中的思維訓練往往是碎片式的，缺乏整體感和基本模式，怎樣才能將碎片化思維梳理得紋理有致？思維導圖的作用不可小覷.

例1（2015年山東卷）設，其中.

討論的極值點個數，并說明理由;

若，都成立，求取值范圍.

【思維導圖分析】

◆解題通法

設

①時，，在（-1，+∞）上單調遞增，無極值點

②時，

i）時，，，在（-1，+∞）上單調遞增，無極值點

ii）時，

的兩根滿足

單調遞增

單調遞減

單調遞增

有兩個極值點

iii）時，

單調遞增

單調遞減

所以只有一個極值點

綜上：時，無極值點

時，只有一個極值點

時有兩個極值點.

★思維提升

與極值點有關的問題，離不開導數的工具作用。體現了化歸轉化思想的無限魅力，極值點轉化為方程，方程要么直接求解（解答題沒有可能），要么繼續轉化.通法是轉化為的導函數的零點問題，秒殺法是轉化為兩個熟悉的函數的交點問題，數形結合說明理由.

【解題思維導圖】

◆解題通法一

由（1）知：

①時，在（0，+∞）上單調遞增，且，

符合

②時，，可得，在（0，+∞）

上單調遞增

，符合題意

③時，，可得，在上單調遞減

則，不符合題意

④時，

當時，，，不符合題意

綜上可得：

◆解題通法二

，

即

①時，，在（0，+∞）上單調遞減，

使，即

在上單調遞增，在上單調遞減

當時，，不符合題意

②時，

i）即時，

則，符合題意

ii）即時，

即

則在上單調遞減，在上單調遞增

單調遞增，即，故符合題意

，符合題意

綜上可得：

◆思維變式一

且對有恒成立即

令

①時，在上單調遞增，且

恒成立，，符合題意

②時，，故不符合題意

綜上可得：

◆思維變式二

，

設，

當時與同號

①時，符合題意

②時，

時，，故不符合題意

時，，恒成立

，綜上可得：

★思維提升

導數的工具作用很強大，可以放大函數在每個區間上的圖象特征，并且能用單調性和極值給出嚴謹的證明，再次彰顯“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”！

▲變式訓練

（2019全國I），是的導數，求證：

（1）在上有唯一極大值點;

（2）有且僅有2個零點.

【思維導圖分析】

【解題思維導圖】

★思維提升

思維導圖是將碎片思維進行有機整合而形成的，展示了數學解題思維的整體性和穩定性特征，長期堅持這種訓練可以培養學生形成較為穩定的思維模式和輸出模式，打破冒打誤撞式思維定式，形成嚴謹審慎的理性精神和科學態度，從而發展學生的高階數學思維.

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