思維導(dǎo)圖在培養(yǎng)學(xué)生高階數(shù)學(xué)思維中的作用

張志明

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以邏輯推理為核心，數(shù)學(xué)抽象形成概念知識(shí)，直觀想象輔助思維分析，數(shù)學(xué)建模還原數(shù)學(xué)真實(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算得以解模和問(wèn)題解決.數(shù)據(jù)分析是新時(shí)代的產(chǎn)物，也是未來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展的高度.以數(shù)學(xué)問(wèn)題為核心，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時(shí)代新人是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù).

人的發(fā)展本質(zhì)上是思維能力的培養(yǎng).而解題中的思維訓(xùn)練往往是碎片式的，缺乏整體感和基本模式，怎樣才能將碎片化思維梳理得紋理有致？思維導(dǎo)圖的作用不可小覷.

例1（2015年山東卷）設(shè)，其中.

討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由;

若，都成立，求取值范圍.

【思維導(dǎo)圖分析】

◆解題通法

設(shè)

①時(shí)，，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)

②時(shí)，

i）時(shí)，，，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)

ii）時(shí)，

的兩根滿足

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

有兩個(gè)極值點(diǎn)

iii）時(shí)，

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

所以只有一個(gè)極值點(diǎn)

綜上：時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)

時(shí)，只有一個(gè)極值點(diǎn)

時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn).

★思維提升

與極值點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，離不開(kāi)導(dǎo)數(shù)的工具作用。體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想的無(wú)限魅力，極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程，方程要么直接求解（解答題沒(méi)有可能），要么繼續(xù)轉(zhuǎn)化.通法是轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，秒殺法是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合說(shuō)明理由.

【解題思維導(dǎo)圖】

◆解題通法一

由（1）知：

①時(shí)，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且，

符合

②時(shí)，，可得，在（0，+∞）

上單調(diào)遞增

，符合題意

③時(shí)，，可得，在上單調(diào)遞減

則，不符合題意

④時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，，不符合題意

綜上可得：

◆解題通法二

，

即

①時(shí)，，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

使，即

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，不符合題意

②時(shí)，

i）即時(shí)，

則，符合題意

ii）即時(shí)，

即

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

單調(diào)遞增，即，故符合題意

，符合題意

綜上可得：

◆思維變式一

且對(duì)有恒成立即

令

①時(shí)，在上單調(diào)遞增，且

恒成立，，符合題意

②時(shí)，，故不符合題意

綜上可得：

◆思維變式二

，

設(shè)，

當(dāng)時(shí)與同號(hào)

①時(shí)，符合題意

②時(shí)，

時(shí)，，故不符合題意

時(shí)，，恒成立

，綜上可得：

★思維提升

導(dǎo)數(shù)的工具作用很強(qiáng)大，可以放大函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上的圖象特征，并且能用單調(diào)性和極值給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，再次彰顯“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”！

▲變式訓(xùn)練

（2019全國(guó)I），是的導(dǎo)數(shù)，求證：

（1）在上有唯一極大值點(diǎn);

（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【思維導(dǎo)圖分析】

【解題思維導(dǎo)圖】

★思維提升

思維導(dǎo)圖是將碎片思維進(jìn)行有機(jī)整合而形成的，展示了數(shù)學(xué)解題思維的整體性和穩(wěn)定性特征，長(zhǎng)期堅(jiān)持這種訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生形成較為穩(wěn)定的思維模式和輸出模式，打破冒打誤撞式思維定式，形成嚴(yán)謹(jǐn)審慎的理性精神和科學(xué)態(tài)度，從而發(fā)展學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維.

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