追根溯源 促進學生深度學習

趙有新

一、問題的提出

筆者所在學校的高一年級第七周的周測卷中，選取了一道考查向量數量積及投影的試題：在△ABC中，點M，N在線段AB上，，當N點在線段AB上運動時，總有，則一定有（ ）

A.BC⊥AB B.AC⊥BC C.AB=AC D.AC=BC

根據學校會課平臺上的數據顯示，此題的準確率僅有30%.隨機抽取部分同學就做該題的實際困難做當面問詢，發現學生對已知條件中的數量積不等式不能進一步轉化，隨便選一個選項。

二、追根溯源

究其原因學生雖然學了數量積的幾何意義，但沒重視學生對“向量的數量積”這一節課缺乏深度學習，思維呈現碎片化，沒有理解知識間的邏輯聯系。如果能熟練掌握并靈活運用投影的幾何意義，此題的求解便迎刃而解。考慮到靈活運用投影的幾何意義，在解決一些與數量積相關的問題時會有獨特新穎、醍醐灌頂的作用。備課組順勢提出以《投影在數量及問題的應用》為主題的一堂研討課。本文將本課的設計、課堂實施、課后反思寫下來，與大家交流。

三、精心設計 促進學生深度學習

（一）地位和作用

向量具有“數與形”的雙重特征，從“數”的特征看，向量的坐標讓向量的線性運算和數量積有了代數運算的功能;向量可用有向線段表示，使向量有了“形”的直觀。是數形結合思想方法在課堂教學時的重要載體，且兩者可通過代數運算完成互化。通過向量的運算讓圖形可量化，同時使圖形間的關系代數化。如在立體幾何中求解空間角的問題，可通過代數運算替代復雜的圖形分析。經過計算圖形間存在的向量關系得出問題的解，使復雜幾何問題的求解思路清晰、解題過程簡潔。向量投影的概念是向量的幾何屬性，深刻理解投影概念，利用向量的幾何意義替代繁瑣的代數運算是本堂課一個重要研究方向。

（二）教學內容解析

人教社《數學A版》中《平面向量的數量積》這一節給出了數量積的定義：即已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數量積|a|·|b|·cosθ叫作a與b的數量積，記作a·b.根據上述定義，我們就可以得到解決平面向量數量積的三種運算形式。

1.數量積的代數運算形式：a·b=|a|·|b|·cosθ.

2.數量積的幾何意義：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ.

3.數量積的坐標運算形式：a·b=x1x2+y1y2.

在往屆的學生作業中，我們發現初學向量時，學生不能很好應用向量“形”的特質去解題。究其原因是學生在之前的學習中固化了代數運算，對利用數形結合思想解題的方法比較生疏，在解題時習慣了從數的角度去思考，進而選擇利用向量數量積的代數形式或坐標形式解題。而在試題編寫時，命題者從考查能力的角度往往考慮優化策略而設置一些思維障礙點。這要求我們在平面向量的課堂教學中強化向量的雙重屬性，在解題時強調向量的幾何意義常作為解題的優先考慮角度。

四、教學設計

題組1：（1）設e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若a=e1+3e2，b=2e1，則向量a在b方向上的投影為 .

（2）已知點A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），則的投影為 .

學生1：a在b方向上的投影為|a|cosθ，利用，只要再算出cosθ即可，因為cosθ=，于是得到答案.

學生2：可以直接通過公式|a|cosθ=直接算得答案

設計意圖：通過師生對題組1的兩個問題分析，知曉了這兩道題事實上是數量積投影公式的直接運用，解決過程可以說是“直接應用，言簡意賅”.題組1的解決對題組2的分析起到開源引渠的作用.

題組2：（1）已知菱形ABCD的邊長為a，

.

（2）在△ABC中，C=90°，CB=3，

.

（3）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3， .

學生對第（1）題進行分析，解答如下：如圖2由題意可知，，.

運用同樣的方法可以得到第（2）題的答案為3.

通過對第（1）（2）題的解決思路的類比，學生不難發現在第（3）題中，過C作AP延長線的垂線，則利用中位線定理易知方向上的投影長度為長的兩倍，計算可得答案為18.

設計意圖：通過對題組2的三個問題的分析，不難發現這些問題事實上是數量積的直接應用，其解決過程可以說是“抓住關鍵，一擊即中”。通過題組1的引導與鋪墊，直觀感悟之后，學生經過聯想與想象得到題組2的相關解題思路。為解決題組3打開了隱形的枷鎖。

題組3：（1） 在平面直角坐標系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線上一個動點，則 .

如圖3，在△ABC中，AD⊥AB， .

如圖4，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，M，N分別是AB，BC的中點，P是△ABC（包括邊界）內任意一點， .

學生對第（1）題分析解答如下：如圖5，由題意得知表示以原點為圓心，半徑為1的上半圓（包含于X軸的交點）.而

在，

，此時直線PC與圓相切，且PC⊥BA于點C，做OD⊥BA于點D.則不難得到：

，

類比第（1）題的思維過程，學生可發現第（2）題可以先過點C作AD的垂線，然后利用三角形相似并結合向量的投影知識可以加以解決，答案.第（3）題的解決思路與前兩題相同，如圖4，易得分別是其在和，作MF⊥AN，BE⊥AN則可得答案[-3，3].

設計意圖：經過對題組3的三個問題的分析，不難發現，這些問題事實上是數量積幾何意義的更深入的應用，直觀想象這一核心素養在解題過程中的作用顯而易見.上面的步步為營的思維進程為文中開題提出的較難問題的解決奠定了知識與思維的基礎。

探究題：問題提出時第七周周測卷中的試題解析如下：如圖6，可設，過點C作AB的垂線，垂足為H，在AB上任取一點N，設|HM|=a，則由數量積的幾何意義可得，

，

，恒成立，整理得則a=1.故可知H為AB的中點，所以。

五、幾點思考

數學課堂的落腳點應該是提升學生的學科素養，培養學生分析問題和解決問題的能力，撬動學生思維向高層次發展.因此在解決問題時，一定要避免讓學生陷入“知其然不知其所以然”的生搬硬套，要避免機械重復式的低效甚至無效訓練.教師應引導學生沖云破霧、剝繭抽絲，一步一步地去揭示數學問題背后所蘊含的數學本質，只有抓住本質，才能在應對千絲萬縷、撲朔迷離的數學問題時得心應手、游刃有余。

1.要促進學生深度學習

深度學習以實際的問題為驅動，并將學習內容納入原有認知結構，實現已有知識在新的問題情境中的合理遷移和生長發育.數學問題時無窮無盡的，教師不可能將所有的問題解決方法都交給學生，但將在已有知識學習中掌握的思想方法和技巧合理遷移到解決未知問題中去，是教師應該教給學生的。

2.要避免知識碎片化

高中數學概念眾多，公式、定理龐雜，知識體系更是錯綜復雜，學生一節一節的課堂學習容易形成知識的碎片化.教師一定要善于引導學生搞清楚知識的來龍去脈、相互間的影響以及背后的邏輯關系，這樣就可以從整體的角度看局部，形成解決一類問題的能力。

3.要善于搭建思維支架

總結數學基本思想和方法，通過題組的遞進設計，在整個過程中以小步子、節節高的問題引領學生完成了對知識的深度串聯和加工有效的突破了思維障礙。

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