在解決問題中培養學生數感

楊文通

《數學課程標準（2011年版）》指出：“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。”數感包括：理解數的意義，能用多種方法來表示數，能在具體情境中把握數的相對大小關系，能用數來表達和交流信息，能為解決問題而選擇適當的算法，能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解釋等方面。數感是數學核心素養的重要內容，對一個人的學習和生活都有著極其重要的價值。數感的培養不是一蹴而就的事情，需要系統的、長時間的學習與練習，不能理解為在第一學段中數一數、讀一讀、比一比、算一算就能完成教學，要加強生活與數學的聯系，讓學生在解決實際問題中提高數感，尤其是在第二學段的例題和習題中，“藏”著不少數感教學的“點”，教師應在教學中不失時機的加以利用。

片斷一：根據數量之間的大小關系培養數感

例如在教學人教版六年級上冊第一單元“分數乘法”例9時，先用課件出示例題：“人心臟的跳動次數隨年齡而變化。青少年心跳每分鐘約75次，嬰兒每分鐘心跳的次數比青少年多。嬰兒每分鐘心跳約多少次？”

師：不列式計算，猜一猜嬰兒每分鐘心跳的次數。

生1：猜不出來。

師：題目中哪句話能看出兩種數量之間的大小關系？請把它勾出來。

生：嬰兒每分鐘心跳的次數比青少年多。

師：現在你能根據這個大小關系猜出來嗎？

生：嬰兒每分鐘心跳超過75次。

思考：一個關鍵句子：“嬰兒每分鐘心跳的次數比青少年多”就能清楚地看出兩種量誰大誰小，進而得出“嬰兒每分鐘心跳超過75次”的結論。通過查找關鍵句、關鍵字詞，感悟數量大小，對培養學生的數感有很大幫助。

片斷二：解剖數量之間的倍比關系優化數感

例如在教學人教版三年級上冊第五單元“倍的認識”例3時，出示例題：軍棋的價錢是8元，象棋的價錢是軍棋的4倍，象棋的價錢是多少元？

學生讀題后，教師引導學生思考。

師：你能猜出軍棋和象棋誰的價錢多一些嗎？

生1：列式算出來比較一下就知道了。

師：要是不列式計算呢？

生2：象棋的價錢是軍棋的4倍，也就是象棋的價錢有4個軍棋的價錢這樣多。

生3：軍棋的價錢是8元，象棋的價錢就會大于8元。

又如在教學人教版六年級上冊第一單元“分數乘法”練習一第8題時，先讓學生讀題：據統計，2011世界人均占有耕地面積為2500平方米，我國人均耕地面積僅占世界人均耕地面積的。我國人均耕地面積是多少平方米？

教師引導學生思考。

師：不列式計算，你們知道我國人均耕地面積是多少平方米在哪個范圍嗎？

生1：不列式計算，就沒法知道。

師：這道題中哪個信息最關鍵？找出來，再讀一遍。

生2：“我國人均耕地面積僅占世界人均耕地面積的”最關鍵。

師：如何理解這句話？

生3：如果把世界人均耕地面積看作5份的話，我國人均耕地面積就是2份，所以我國人均耕地面積小于世界人均耕地面積，也就是我國人均耕地面積小于2500平方米。

思考：題目中數量關系有時不是很明顯，需要教師引導學生進行反復讀后“解剖”，明晰數量之間的關系，對題意的理解就會更加深刻，促進學生對問題的解決，優化學生數感。

片斷三：明晰數量之間的包含關系發展數感

例如在教學人教版六年級上冊第三單元“分數除法”例6時，課件出示例題：在一次班級籃球比賽中，四（2）班全場得分42分，下半場得分只有上半場得分的一半。

學生讀題后，教師引導學生思考。

師：上半場分數和下半場分數有什么關系？

生1：上半場分數比下半場分數多，因為下半場得分只有上半場的一半。

生2：上半場分數和下半場分數共計42分，因為全場得分是42分。

思考：題中既有數量之間的大小關系，又有全場比賽分為上半場和下半場的包含關系，學生理清了這些關系，解決這個問題就不再是難事。經過同類型題目的反復練習，培養學生分析數量的意識和習慣，發展學生的數感。

片斷四：巧用生成資源提升數感

在學習平均數后的一次數學測試中，一組8人的得分如下：85、84、79、83、69、81、54、72;二組7人的得分如下：93、95、86、98、87、89、90。讓學生觀察兩組數據后思考：如何能知道哪一組數學成績好一些？

生1：先算出各組的總分再除以各組的總人數就能得到各組的平均分，平均分高的組數學成績就好一些。

師：如果不計算，有別的辦法嗎？

學生小組討論后得出結論。

生2：第一組最高分85分，最低分54，平均分大于54而小于85;第二組最高分98分，最低分86分，平均分大于86而小于98。所以第二組的數學成績好一些。

生3：第二組的最低分比第一組的最高分還高，所以第二組的數學成績好一些。

思考：在對比如此強烈的兩組數據中，很容易看出第二組的數學成績好一些，但利用這些生成資源的重要目的是要讓學生明白：在各個數不相等的一組數據中，平均數是大于最小數而小于最大數的，也可用這個結論來檢驗求一組數據平均數的結果，提升對于平均數的感悟。

片斷五：結合特殊例題內化數感

例如在教學人教版六年級上冊第三單元“分數除法”例7時，出示例題：修一條路，一隊單獨修12天能修完，二隊單獨修18天能修完，如果兩隊合修，多少天能修完？

師：同學們，不列式計算，猜猜如果兩隊合修，多少天能修完？

生1：因為是合修，所以12+18=30天能修完。

生2：因為是兩隊合修，所以還要除以2，15天能修完。

師：我們再思考，有沒有可能是18天或12天呢？

生3：不可能。18天的話二隊單獨能修完，12的話一隊單獨能修完，用不著合修。

師：因為是兩隊合修，每隊修一半，用時就是18天或12天的一半呢？也就是9天或6天。

生4：不對，首先這題不應該有兩個答案，其次如果兩隊單獨修都要18天，那么合修9天完成;如果兩隊單獨修都要12天，那么合修6天完成;而實際是一隊比二隊修得快，合修應該是多天6天而小于9天。

師：分析得很正確，現在我們得到的不是一個確定的數，而是一個范圍，這個范圍有什么用呢？

生：可以用來檢驗我們接下來計算的結果是否正確。

思考：在一些看似沒有數感培養“點”的例題中，深入挖掘，合理利用，“浪費”一點時間進行數感的培養，促進學生對問題的解決，是一件“劃算”的事。

總之，培養學生數感不能急于求成，也不能貽誤時機。教師要利用好教材中的例題和習題，利用好生成資源，抓住每一個教學契機，精心設計教學，持久分類滲透，養成數感分析的習慣，豐富學生數感分析的方法，于無形中培養學生的數感，助力學生數學核心素養的提高。

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