一道教材習題演變，讓課堂更自然

羅秀麗

摘 要：七年級學生對于用二元一次方程組和一元一次不等式組解決實際問題，感到困難，因此，教師要精心選擇和安排習題，讓題目的過度自然，學生學習時思維自然順暢，學生學習的積極性得到提高，學習能力得到升華。

關鍵詞：二元一次方程組;一元一次不等式組;實際問題

一、教材習題

人教版教材七年級下冊第八章復習題8第112頁，拓廣探索習題中的第10題，題目如下：某公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，其中A型每臺6000元，B型每臺4000元，C型每臺2500元。某中學現有資金100500元，計劃全部用于從這家電腦公司購進36臺兩種型號的電腦。請你設計幾種不同的購買方案供這個學校選擇，并說明理由。

這道題目給了三種型號電腦，但是題目要求買兩種型號的，學生不知道去怎么選擇，我們不妨先把此題目進行分解，讓學生根據教師設計的題目，一步一個臺階，學生的思維會更加自然順暢，學生在發現問題，提出問題，解決問題的過程中更容易獲得成就感。

二、題目分解和解析

熱身一：某公司有A型、C型兩種型號的電腦，其中A型每臺6000元，C型每臺2500元.某中學現有資金100500元，計劃全部用于從這家電腦公司購進36臺這兩種型號的電腦，請問可夠買A型、C型的電腦各多少臺？

分析：設A型購買x臺，C型的購買y臺，

答：A型購買3臺，C型的購買33臺。

這道題目給出了兩種型號，大部分學生能獨立解決此問題，因此，他們會覺得通過建立二元一次方程組模型解決實際問題可以獨立完成，學生獲得成就感，增強了自信心，學生的積極性最大限度的調動起來。

熱身一變一變：某公司有A型、C型兩種型號的電腦，其中A型每臺6000元，C型每臺2500元。某中學計劃從這家電腦公司購進36臺這兩種型號的電腦，總費用不超過100500元，你設計幾種不同的方案供這個學校選擇，并說明理由。

分析：此題目與上一題目的區別是把“全部用于”改為“總費用不超過”，因此，此題需要建立一元一次不等式模型。

設A型購買x臺，C型的購買（36-x）臺，

解：設A型購買x臺，則C型的購買（36-x）臺，

6000x+2500（36-x）≤100500，

解這個不等式得：x≤3.

因為x為正整數，所以有三種方案，即：方案1：A型3臺，C型33臺;方案2：A型2臺，C型34臺;方案3：A型1臺，C型35臺。

這道題目對在上一題的基礎上進行了簡單的變式，學生通過變式可以體會出題目之間的聯系和區別，同時也可以懂得在什么情況下建立二用一次方程組模型解決實際問題，在什么情況下建立一元一次不等式模型解決實際問題。

三、教材習題解析

某公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，其中A型每臺6000元，B型每臺4000元，C型每臺2500元。某中學現有資金100500元，計劃全部用于從這家電腦公司購進36臺兩種型號的電腦。你設計幾種不同的購買方案供這個學校選擇，并說明理由。

分析：

問題一：對比熱身一，此題目給了幾種型號的電腦？需要幾型號的電腦？有那幾種選擇？

問題二：每一種選擇都可能嗎？如何判斷？

問題三：對于可能的方案，通過建立什么模型來解決？

對于問題一，學生通過分析和小組討論，可以得出有三種選擇，分別是：方案一：A型和B型;方案二：A型和C型;方案三：B型和C型。對于問題二，通過小組討論，部分學生從看資金的總數100500元，尾數為500，而A型和B型的單價都是整千的，只有C型的單價的尾數500，因此在選擇的方案中必須有C型次可以，所以只有方案二和放散三有可能。也有部分學生說可以看平均數100500÷36≈2792，也即是用100500元買36臺電腦，平均每臺的價格約是2792元，方案一，A型的單價是6000元，B型的單價是4000元，買這兩種的平均單價在4000元到6000元之間，而2792不在4000～6000之間，因此方案一不可能，同理可知，方案二和方案三有可能。

解：若按照方案二購買：設購進A型電腦x臺，C型電腦y臺，

，

解這個方程組得：.

若按照方案三購買：設購進B型電腦 m臺，C型電腦n臺，

，

解這個方程組得：.

答：有兩種購買方案，分別是：購進A型3臺，B型33臺;購進B型7臺，C型29臺。

此題是實際問題中的方案問題，對于此類題目，學生有困難，如果把此題直接呈現給學生，很多學生會無從下手，導致學生害怕此類問題，不愿意動手去做。有前面的熱身作為鋪墊，學生會順著前面題目的思路，引發更深層次的思考，再結合小組討論交流，問題就可以用迎刃而解了。

根據《新課程標準2012》數學要重視建立學生的數感，數感對于學生學習代數非常重要，在平時的教學中要幫助學生建立數感。在對問題二的思考和討論的過程中，學生通過對各個數據的分析，在此過程中也建立了學生的數感。

四、教材習題再變式

某公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，其中A型每臺6000元，B型每臺4000元，C型每臺2500元。某中學從這家電腦公司購進36臺兩種型號的電腦，總費用不超過100500元，請你設計幾種不同的購買方案供這個學校選擇，并說明理由。

分析：此題目與上一題目的區別在于，把“資金100500元全部用于”改為“總費用不超過100500元”。此題目也是有三種選擇方案，類似于上題目的分析過程，可以知道，只有方案二：A型和C型和方案三：B型和C型有可能。從“總費用不超過100500元”可知，通過建立一元一次不等式模型來解決。

解：若按照方案二購買：設購進A型電腦x臺，C型電腦（36-x）臺，

6000x+2500（36-x）≤100500，

解這個不等式得：x≤3.

因為x表示的是臺數，故x只能是正整數，所以x取3，2，1.

此時，購買A型和C型的方案如下：方案1：A型3臺，C型33臺;方案2：A型2臺，C型34臺;方案3：A型1臺，C型35臺。

若按照方案三購買：設購進B型電腦y臺，C型電腦（36- y ）臺，

4000y+2500（36-y）≤100500，

解這個不等式得：y≤7.

因為y表示的是臺數，故y只能是正整數，所以y取7，6，，5，4，3，2，1.

此時，購買B 型和C型的方案如下：方案4：B型7臺，C型29臺;方案5：B型6臺，C型30臺;方案6：B型5臺，C型31臺;方案7：B型4臺，C型32臺;方案8：B型3臺，C型33臺;方案9：B型2臺，C型34臺;方案10：B型1臺，C型35臺。

綜上所述，有以上10種購買方案。

此題目是在上題目的基礎上，難度的梯度又大了一些，學生有前面的三題作為鋪墊，對于此題目，可以沿著前面題目的思路去解決，經過小組的合作交流、討論，學生可以合作解決。對于建立一元一次不等式模型來解決實際問題，學生感到更加困難，讓學生通過題目之間的聯系和區別，掌握在何種情況下建立一元一次不等式模型解決問題，通過上述幾道題目的對比，提高了學生解決此類問題能力。學生的分析實際問題和解決實際問題的能力再一次得到升華。

五、教材習題再升華

某公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，其中A型每臺6000元，B型每臺4000元，C型每臺2500元。某中學現有資金99500元，計劃全部用于從這家電腦公司購進三種型號的36臺電腦。請你設計幾種不同的購買方案供這個學校選擇，并說明理由。

問題一：對比上一題目，此題需要買幾種型號的電腦？資金99500元需要用完嗎？

問題二：你找到了幾個等量關系？

問題三：通過建立何種模型來解決此題目？問題中隱含的對數字要求是什么？

本題需要三種型號的電腦都要買，并且資金99500元要全部用完，在此我們能找到的等量關系有兩個，一個是：三種類型的電腦一共買了36臺，另一個是：買電腦一共用去資金99500元，既然找到的是等量關系，此題目要通過建立二元一次方程模型來解決，并且在此題目中，所買電腦的臺數都要是正整數。

解：設購買A型x臺，B型y臺，則購買C型（36-x-y）臺，

6000x+4000y+2500（36-x-y）=99500，

此二元一次方程可以化簡為：7x+3y=19，

根據題目的要求，x，y都必須是正整數，所以方程7x+3y=19的正整數解為，此時C型的臺數為：36-x-y=36-134=31.

答：只有一種購買方案，即購買A型1臺，B型4臺，則購買C型31臺。

對于此題目，大部分學生能找出等量關系并列出二元一次方程，學生的困惑是，有兩個未知數，但是只列出了一個方程，沒有辦法接出方程的解。學生比較難想到此實際問題的隱含條件，每一種類型電腦的數量必須是正整數，也即是說，是求上述二元一次方程的正整數解，通過小組合作討論，再結合教師適當的引導，學生可以完美完成此題目。通過此題目分析和解答，學生學會在以后實際問題中挖掘題目的隱含信息。

對于方案問題的解決，學生要根據題目提供的信息，找到等量關系或者是不等關系，建立二元一次方程組或者一元一次不等式的模型，再根據實際問題隱含的對解的特殊要求條件，找到相應的方案，還可以再延伸到最優的方案。

當前的教育倡導素質教育，素質教育的要求學生全面發展，注重數學核心素養的培養。在課堂的教學中，要充分發揮學生的主觀能動性，讓學生主動地去學習，在活動中養成習慣，在活動中獲得知識和技能。根據前蘇聯教育家維果茨基的最近發展區理論，教學應著眼于學生的最近發展區，為學生在原有的基礎上提供帶有梯度的更難的內容，把學生的積極性和主動性調動起來，讓學生的潛力得到發揮，超越現在的水平而達到下一階段的水平。因此，教師在課堂的設計上，要有臺階，讓學生一個臺階一個臺階的上，難度一點一點增加。通過對課本習題的變式，學生通過熱身訓練，結合題目一系列的變式，在這樣的活動中，課堂更自然，學生的思維更順暢。根據教師提供的一系列的問題，學生不僅進行的深層次的思考，又可以讓自己的的潛能得到激發，能力得到提升。

教學中根據具體的教學內容，設計有效的數學探究合作活動，使學生經歷數學知識的發生發展過程，積累數學活動的經驗，及合作交流的經驗。在解決建立二元一次方程組或者是建立一元一次不等式解決方案問題中，從基礎出發，步步提升，注重啟發學生積極思考，發揚小組合作、交流。教師做好學生教學活動的組織者、引導者、合作者，激發學生的潛能，鼓勵學生大膽的思考、大膽創新。學生合作、交流尋找問題答案，學生是數學學習的主體，學生獲得數學知識，是在學生積極主動思考的基礎上，通過自主探索和接受學習的方式獲得。學生只有積極的參與教學活動，才能在數學思維、發現問題、提出問題、解決問題方面得到發展，進而提升學生的邏輯思維、建立模型和數感的數學素養。

參考文獻：

[1]章建躍. 數學教育隨想錄[M]. 杭州. 浙江教育出版社，2017.

[2]劉華為. 基于深度學習的初中數學課堂教學[M]. 上海：華東師范大學出版社，2020.

[3]曹才翰，章建躍. 中學數學教學概論[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

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