不確定給付下的DB 型養老金的最優投資決策問題

烏云高

（1.華北電力大學 經濟與管理學院 北京102206；2.鄂爾多斯應用技術學院數學與計算機工程系 內蒙古 鄂爾多斯017000）

養老保險，是社會保障制度的重要組成部分，是社會保險五大險種的險種之一。 養老保險的目的是為了保障老年人的基本生活需求，為其提供穩定的可靠的生活來源。養老保險以其給付方式分類為確定繳費（DC）型計劃和確定給付（DB）型計劃。本篇文章討論不確定給付下的DB 型養老保險的最優配置問題。 很多學者已經研究了養老保險的最優投資策略問題[1]。Cairns[2]討論了養老基金的建模與控制問題。 提出了一個連續時間的隨機養老基金模型，該模型既有風險資產，又有無風險資產，且收益支出水平具有隨機性。 Haberman[3]、Haberman 和Sung[4]將DB 型養老金最優化管理問題模型化為線性二次最優控制問題。 與前人假設不同，Josa-Fombellida 和Rincon-Zapatero[5]研究了DB 型養老基金在隨機利率下的最優管理問題。

以上學者都在概率論的范疇內進行研究的。但眾所周知，概率論在估計出的概率將無限趨近于累計頻率時才可以用來解決問題。但我們的生活中，很多研究的問題無法得到足夠的數據來估計概率分布。為了解決這樣的問題，我們需要給出事件發生的信度。 針對這樣的問題，2007 年，劉寶碇教授在Liu[6]中提出了不確定理論。Liu[7]給出了不確定過程的概念，用不確定過程來描述我們生活中的不確定現象隨著時間變化的這一性質。 學者們做了很多不確定理論相關的研究。Xu 和Zhu[8]討論了不確定Bang-Bang 控制問題。高建偉[9]等用不確定理論研究了DC 型養老金的最優投資策略問題。 本文研究不確定給付下的DB 型養老金的最優投資決策問題。

一、不確定繳費下最優化模型

所以， 養老保險金的變化過程可以表示成下面的不確定微分方程

其中，ut表示t 時刻的繳費率，wt是風險資產在養老保險基金中占的比例。

我們的目的是找到最優繳費率ut和最優投資比例wt， 最小化累積損失的期望，即要研究為下面的不確定養老金問題：

其中α1＞0，α2＞0，且α1+α2=1，用um表示目標繳費率，xp表示目標基金水平投資在風險資產的比例，用ρ 表示折現因子。

根據不確定動態規劃問題，值函數定義為：

那么，不確定養老金問題（12）變為：

為了求解最優化問題（13)，先考慮下面的不確定最優控制問題：

其中，Dt是決策變量，Xt是狀態變量，F 是目標函數，G 是終止收益函數，J(t,b,x)是值函數，υ，γ 和χ 是狀態變量Xt，時間t 和決策變量的Dt函數。

下面給出最優性原理。

定理1對任意的(t,b,x)∈[0,T)×R×R，Δt＞0 且t+Δt＜T，我們有

其中，x+ΔXt=Xt+Δt，b+ΔBt=Bt+Δt。

下面給出最優性方程。

定理2假設J(t,b,x)在[0,T)×R×R 上二次可微，則我們有

其中，Jt(t,b,x)，Jb(t,b,x)和Jx(t,b,x)分別是函數J(t,b,x)分別對t，b和。 為了簡便，分別用Jt，Jb和Jx來表示函數Jt(t,b,x)，Jb(t,b,x)和Jx(t,b,x)。

二、模型求解

下面求解最優化問題（3）的解。

由最優性方程（6)，有

令

對函數L(wt,ut)，分別求關于wt和ut的偏導數，并令它們等于零，即

解得

將式（8）代入式（7)，我們得到

剩下要解偏微分方程(10)。 我們猜測解的形式為

J(t,b,x)=e-ρtF(x,b)

在函數J(t,b,x)=e-ρtF(x,b)的兩邊分別對x，b 和t 求導，我們得

Jx=e-ρtFx，Jb=e-ρtFb，Jt=-ρe-ρtF(x,b)

把它們代入式（10)，得下面的式子

令F(x,b)=A(x2+2jxb+kb2+lx+pb+q)，則有

Fx=2Ax+2Ajb+Al，Fb=2Ajx+2Akb+Ap

從式(11)，我們得

通過解方程(12)，有

因此，

這樣，得到最優給付率和最優投資策略為

結束語：

在不確定理論的框架下， 研究了當給付率服從不確定增長的DB 型養老金的最優投資決策問題。 養老金投資于無風險資產與風險資產，以最小化二次損失函數為目標，建立養老金的最優化模型。通過求解模型，最后得到了最優投資策略和最優繳費率的顯式解。 將來，我們做進一步的研究，考慮風險資產波動率為不確定情形時對最優配置問題的影響。