加周期縱肋圓柱殼聲輻射

童韞哲，范 軍，王 斌，湯渭霖

（上海交通大學高新船舶與深海開發裝備協同創新中心；海洋工程國家重點實驗室，上海200240）

0 引 言

水下圓柱殼體的振動和聲輻射問題一直是噪聲控制領域研究的熱點[1-2]，圓柱殼作為水下潛器的主要結構形式通常采用環肋和縱肋作為加強筋。環肋沿圓柱殼軸向周期分布，它所產生的反力主要改變軸向振動狀態，引起軸向模態的耦合。而本文所研究的縱肋則是沿周向周期分布，它所產生的反力主要改變周向振動狀態，引起周向模態的耦合。

目前對于加環肋、特別是周期性環肋圓柱殼的振動和聲輻射的理論[3-5]和實驗[6]都有了較深入的研究，對類似的加筋平板聲輻射問題也有較詳細的研究[7-9]，而對加周期性縱肋圓柱殼的聲輻射問題尚缺乏深入的研究。謝官模等[10]導出了環肋、艙壁板和縱肋增強的無限長圓柱殼輻射聲場的計算公式，分析了環肋、艙壁板和縱肋對輻射聲壓的影響。之后廖長江等[11-13]將它推廣到有限長圓柱殼的情況，分析了縱肋對殼體表面平均振動速度的影響。但是，目前對于縱肋的作用僅僅是把它當成附加質量，忽略了周期縱肋間的相互作用對殼體振動和聲輻射的影響。對加肋平板聲輻射問題的一系列研究顯示，當肋骨等間隔分布時，周期性結構中存在的Bloch彎曲波對板的振動和聲輻射有顯著影響[7]。

為了研究周期性縱肋對圓柱殼聲輻射的影響，本文首先導出周期加縱肋無限長圓柱殼的振動和聲輻射公式。殼體振動用薄殼理論的Donnell方程描述，考慮縱肋的縱振動和彎曲振動。通過周向模態展開和軸向Fourier 變換導出圓柱殼體徑向振速表達式，使用穩相法積分得到遠場輻射聲壓的解析解。在此基礎上，計算了接收點正對激勵點時，加不同數量縱肋的遠場輻射聲壓級，對比了考慮和忽略周期縱肋間相互作用的情況，并據此進行了周期性縱肋對輻射聲場影響的機理分析。研究表明：周期縱肋增加的附加質量能夠使圓柱殼體中固有的彎曲波共振峰發生微小偏移，而周期性縱肋間的相互作用則能產生一系列附加的共振峰，它們由周期性結構的Bloch彎曲波中低于水中聲波數的分量通過相位匹配方式高效輻射到遠場。也就是說，周期性加肋結構增加了能有效輻射聲波的低波數分量。

1 振動與聲輻射控制方程

設圓柱薄殼的中面半徑為a，殼體厚度為hs，楊氏模量為Es，泊松比為σs,密度為ρs，且hs/a?1，縱肋橫截面的高和寬用H和W表示。取原點為O的正交坐標系，R是觀察點到原點的距離，如圖1所示。殼體振動用中面在z、φ和r方向的位移u、v和w來表示。殼體浸沒在密度為ρf，聲速為cf的流體介質中。

圖1 無限長縱向加肋圓柱殼示意圖Fig.1 Geometry of infinitely long cylindrical shells with periodic lengthwise ribs

無限長圓柱的振動在縱向形成行波，設解為

同時將激勵力也分解為

利用正交關系式得到展開系數

將縱肋簡化為橫截面積為A=H×W的等截面直細梁，設縱肋的材料與圓柱殼的相同。縱肋的振動包括縱振動、彎曲振動和扭轉振動。由于扭轉振動的等效力是扭矩的導數，當肋很細時扭轉的作用相當于四極子源，輻射效率比較低，可以忽略。殼體振動采用Donnell 方程，省略時間因子e-iωt，得到n階振動滿足的控制方程[14]為

n'=n時為n階自阻抗，否則為互阻抗。φl是第l根縱肋的圓周角，在均勻分布的情況下，縱肋間隔Δφ= 2π/T。為簡單起見，當縱肋均勻分布時設φ0= 0，利用等比級數求和的公式得到

即

2 數值計算和結果分析

基于以上理論分析，通過數值算例分析周期性縱向加肋對水中圓柱殼振動和聲輻射的影響。取圓柱殼體的基本參數：a= 1 m，殼體厚度hs= 0.01 m，殼體上均勻排列了T根縱肋；密度ρs=7 850 kg/m3，Es=210 GPa，泊松比σs= 0.3；縱肋橫截面寬W= 0.03 m，縱肋橫截面高H= 0.05 m；水的密度為ρf= 1 000 kg/m3，聲速為cf= 1 500 m/s。本文用來描述殼體聲輻射的量為在單位集中力（1 N）作用下，參考聲壓為1 μPa，接收點正對激勵點，從遠場輻射聲壓折算到距聲中心1 m處的聲壓級。

首先計算了加8 根縱肋圓柱殼與基本圓柱殼的遠場輻射聲壓，并對比了考慮互阻抗和忽略互阻抗的情況，如圖2所示。橫坐標為頻率，取值范圍是0.1-2 000 Hz，計算點間隔隨頻率指數增長。

圖2 加8根縱肋圓柱殼遠聲輻射聲壓級Fig.2 Sound pressure level of a cylindrical shell with 8 ribs

對比圖2（a）和圖2（b）可以看出，在低頻段（小于10 Hz），基本圓柱殼和加縱肋圓柱殼均可觀察到3 個共振峰，這是由彎曲波在周向形成共振產生的[17]。不同的是加縱肋后，這三個彎曲波共振峰的位置有所偏移。在中高頻段（大于10 Hz），忽略互阻抗時，加縱肋圓柱殼的輻射聲壓級與基本圓柱殼基本一致；考慮互阻抗時，加周期性縱肋圓柱殼的輻射聲壓級新增了一系列共振峰。

2.1 周期性縱肋對彎曲波輻射的作用

本文主要計算的是接收點正對激勵點的遠場輻射聲壓級，此時沿圓柱殼周向傳播的彎曲波對輻射聲場起主要作用。為了研究縱肋對彎曲波輻射的作用，首先計算了水中基本圓柱殼中沿周向傳播的彎曲波頻散曲線。對于只考慮周向傳播的彈性波時，軸向波數K= 0，振動方程可以寫成

基于公式（21），圖3 給出了彎曲波的頻散曲線，分別畫出了彎曲波波數實部和虛部隨頻率變化曲線，并在此基礎上解釋了彎曲波的輻射機理。

由圖3（a）可知，在本文計算頻段（0.1-2 000 Hz），彎曲波波數遠大于水中聲波數，彎曲波是亞音速波，其表面振動能量無法通過相位匹配的方式高效輻射到遠場。但由于圓柱殼表面存在曲率，彎曲波波數在頻率較低時虛部較大，如圖3（b）所示。此時，亞音速的彎曲波也能輻射很小一部分能量到遠場[16]。

由于亞音速彎曲波波數的實部遠大于水中聲波數，其虛部也非常小，所以這些共振峰的帶寬非常窄。隨著頻率的增加，圓柱殼體的聲學特征逐漸趨近于平板，彎曲波波數的虛部逐漸趨近于零，彎曲波共振峰的帶寬也逐漸減小，只有計算間隔足夠小才能捕捉到共振峰。圖2 中只計算到前三個彎曲波共振峰，實際上頻率較高時也存在彎曲波共振峰，只是頻率較高時彎曲波共振峰寬度更窄，計算步長也更大，跳過了這些共振頻點。值得注意的是，此類共振峰在無限大平板的遠場輻射聲壓中并不存在。

圖3 基本圓柱殼彎曲波波數Fig.3 Wave number of flexural wave in unribbed cylindrical shell

為了研究縱肋在低頻時的作用，以第一階彎曲波共振峰為研究對象，計算了加不同數量縱肋時第一階彎曲波共振峰附近的輻射聲壓級，對比了考慮互阻抗和忽略互阻抗的情況，如圖4所示。

圖4 加不同數量縱肋圓柱殼遠場低頻聲輻射聲壓級Fig.4 Sound pressure level of a cylindrical shell with different numbers of ribs in low frequencies

觀察圖4可知，周期性加肋對彎曲波共振峰有影響。隨著縱肋數量的增加，彎曲波共振峰逐漸向低頻移動。但是，縱肋互阻抗對彎曲波共振峰沒有明顯影響，說明起作用的主要是縱肋自阻抗。自阻抗引起的附加質量導致整體結構質量增加，使彎曲波共振峰向低頻移動。

2.2 周期性縱肋的Bloch彎曲波對聲輻射的作用

為了進一步研究周期性縱肋對輻射聲場的影響，本節詳細討論了由周期性縱肋引起的輻射聲場中、高頻段的附加共振峰。圖5是加不同數量縱肋圓柱殼與基本圓柱殼的輻射聲場的對比圖，分別計算了考慮互阻抗和忽略互阻抗的情況。縱坐標是輻射聲壓級，橫坐標為頻率，取值范圍是0.1-2 000 Hz，計算點間隔隨頻率指數增長。

圖5（a）對比了忽略互阻抗時，加不同數量縱肋與基本圓柱殼輻射聲場的對比圖，可以看出除了低頻處三個彎曲波共振峰的位置稍有不同，中、高頻段加不同數量縱肋圓柱殼與基本圓柱殼的輻射聲壓級基本相同。圖5（b）-（c）分別是加4根、8根和12根縱肋圓柱殼輻射的聲壓級，對比考慮互阻抗和忽略互阻抗的情況。可以看出，當考慮互阻抗時，輻射聲壓級的中、高頻段出現了一系列附加共振峰。

縱肋的互阻抗體現了縱肋間的相互作用，當考慮縱肋間的相互作用時，周期性縱肋使得圓柱殼變成沿周向的無限周期結構。對于無限大平板，如果其彎曲波波數為kw，那么周期加肋平板中的第m階Bloch彎曲波可以寫成

推廣到加周期縱肋圓柱殼，將其周向彎曲波波數同樣記作kw，縱肋的間隔L= 2πa/T。那么沿圓柱殼周向的第m階Bloch彎曲波可以寫成

其中m= 0是基本傳播模式，即圓柱殼周向彎曲波。其余是由于周期縱肋的相互作用引起的附加傳播模式，可稱為Bloch彎曲波傳播模式。

圖5 周期性縱肋對圓柱殼遠場輻射聲壓級的影響Fig.5 Influence of periodic ribs on sound pressure level

3 結 論

為了研究周期性縱肋對圓柱殼輻射聲場的影響，本文通過周向模態展開和軸向Fourier 變換導出點激勵情況下加周期縱肋無限長圓柱殼表面振動計算公式，通過穩相法得到了遠場輻射聲壓的解析解表達式。數值計算給出了接收點正對激勵點時遠場輻射聲壓級的頻率譜，并解釋了縱肋自阻抗和互阻抗對輻射聲場的影響，研究表明在無限長加周期縱肋圓柱殼中存在兩類聲輻射機理：

（1）低頻段的彎曲波輻射機理。在圓柱殼中，彎曲波繞行殼體一周相位變化2π的整數倍，殼體在周向形成駐波共振。在本文計算頻段，亞音速的彎曲波波數小于水中波數，這部分振動能量無法通過相位匹配的方式高效輻射到遠場。由于圓柱殼體表面存在曲率，仍有極小部分的能量輻射到遠場，并且形成帶寬非常窄的共振峰。因此，彎曲波共振峰在低頻處帶寬較寬，隨著頻率增加，圓柱殼的聲學特征逐漸趨近于平板，彎曲波共振峰帶寬逐漸減小，只有計算頻率間隔足夠小時才能得到。

（2）中高頻段的Bloch 彎曲波輻射機理。加周期縱肋后，由于縱肋間的相互作用，在圓柱殼周向存在多階次的Bloch 彎曲波傳播模式，Bloch 彎曲波繞行殼體一周相位變化2π 的整數倍，也能在殼體周向形成駐波共振。不同于亞音速的彎曲波，Bloch 彎曲波波數小于水中聲波數的分量，能夠通過相位匹配的機理高效輻射到遠場，并形成一系列的附加共振峰。Bloch 彎曲波輻射頻段存在下限，其頻率下限與縱肋的間距有關，縱肋間距越大輻射頻段的下限越低。