帶軸力混凝土截面彎矩-曲率計算解析

陳 旭， 章勝平， 魯圣鵬， 宋高麗， 王春華

(1. 昆明學院 建筑工程學院， 云南 昆明 650214； 2. 昆明理工大學 建筑工程學院， 云南 昆明 650504；3. 東華理工大學 土木與建筑工程學院， 江西 南昌 330013)

節點塑性鉸轉動能力決定了超靜定結構彈塑性變形能力。塑性鉸變形與截面形狀和尺寸有關，與材料有關(混凝土開裂、鋼筋屈服等非線性本構關系)，與荷載有關(軸力和彎矩大小)。衡量塑性鉸轉動能力大小的是截面軸力、彎矩和曲率關系。軸力、彎矩和曲率關系能夠用于確定截面強度、彎曲剛度、延性和結構荷載-變形性能[1～4]。

目前，截面彎矩和曲率關系計算有兩種基本方法。其一是由內力(軸力和彎矩)計算變形(應變和曲率)的正算法，如增量-迭代法[5～7]，通過平衡法或中心差分法來建立截面剛度矩陣。其二是由變形計算內力的逆算法[8,9]，假定一個混凝土受壓邊緣纖維應變εc，逐級遞增εc，對每一εc由數值逼近方法找到滿足軸力平衡的受壓區高度，得到一組內力和變形。兩種方法在截面承載力計算上，常用基于纖維(或條帶)模型的數值積分法[10]，需進行數值迭代，存在迭代和收斂精度帶來的誤差。因此推導內力和變形解析公式具有更大的數學優勢。

在非線性分析時，近似方法有彎矩-曲率的三折線模型、雙折線模型和定值折減系數，這些簡化方法應用便潔但還不能充分反映影響因素的關鍵部分(如軸力和彎矩相關性)。基于混凝土和鋼筋完整的本構關系，推導解析公式。解析法優勢是一次計算可以便捷地得到所有結果，避免了迭代和收斂困難，是截面非線性關系的合理反映。

1 應變圖構造

1.1 基本假定

(1)假設鋼筋與混凝土之間沒有相對滑移，受拉或受壓鋼筋的應變與其周圍混凝土應變相同。

(2)應變、應力和軸力以受拉為正，受壓為負。

(3)鋼筋的理想彈塑性模型為：

(1)

式中：fy為鋼筋抗拉(壓)強度設計值；εy為鋼筋屈服應變設計值；Es為鋼筋的彈性模量。

(4)按照混凝土結構設計規范[11](以下簡稱混凝土規范)，C50及以下混凝土軸心抗壓極限應變設計值ε0=2‰，極限壓應變設計值εcu=-3.3‰，混凝土應力-應變關系為：

(2)

式中：fc為混凝土軸心抗壓強度設計值。

(5)按照平截面假定，應變圖成直線變化，沿截面高度方向的纖維應變值與該纖維到中性軸之間的距離成正比。引入中性軸位置系數kx(中性軸與截面上邊緣之間的距離與截面高度比值)。kx為負表示中性軸位于截面上邊緣的上面，kx為正表示中性軸位于截面上邊緣的下面。按照中性軸位置，應力圖分為圖1b～1d三種情況。

圖1 混凝土截面應力

幾何關系知kx計算公式為：

(3)

式中：εc和εc1分別為截面上、下邊緣應變。

由截面上任意兩個纖維的應變計算無量綱曲率φ(φ=hΦ，h和Φ分別為截面高度和曲率)：

(4)

式中；h0為有效截面高度；εs為下部鋼筋應變。

1.2 應變圖

正算方法關鍵是確定剛度，而彈塑性分析時剛度是未知量，因為確定剛度的開裂、屈服和荷載關系復雜。逆算方法以應變為自變量，避開了剛度確定的難題，由所有可能的應變分布計算內力和變形，由此實現解析法計算。歐規EN1992-1-1[12,13](以下簡稱歐規2)第6.1條給出了極限狀態可能應變分布圖，但該應變圖不能直接用于彎矩-曲率關系計算。彎矩-曲率應變圖從0逐級加載至極限狀態，應能表示具有一般性的任意受力狀態。因此本文構造圖2所示的應變圖。

圖2中，以OO′的中點為坐標原點，橫坐標為應變ε，縱坐標為截面高度y，OO′的左邊為受拉區，右邊為受壓區。鋼筋極限應變值為10‰。沿截面高度方向五個標志性位置的應變范圍如下：

上邊緣應變εc：10‰≥εc≥-3.3‰；

下邊緣應變εc1：0.01as/h0≥εc1≥-2‰；

上部鋼筋應變εs1：10‰≥εs1≥-0.0033+0.0013as1/h；

下部鋼筋應變εs：10‰≥εs≥-0.002-0.0013×as/h；

旋轉點R位置應變εr：10‰≥εr≥-0.002-0.0013as/h。

區域①：εc>0，εc1>0，對應于圖1b拉彎情況，屬于軸心或小偏心受拉，混凝土抗力為0。

區域②：εc≤0，εc1>0，對應于圖1c 拉彎或壓彎情況，屬于大偏心受拉、純彎或大偏心受壓，混凝土部分受壓。

區域③：εc≤0，εc1≤0，εr≥-2‰，，對應于圖1d 的壓彎情況，屬于小偏心或軸心受壓，全截面上混凝土受壓。

2 公式推導

為確定混凝土應力合力及力臂，引入區域②參數αc和ka、區域③αd和kd。其中，αc和ka由一個自變量(受壓邊緣應變εc)確定，αd和kd由二個自變量(上、下兩個邊緣應變εc和εc1)確定。

2.1 中性軸位于截面內

2.1.1 拋物線分布

混凝土應變位于區域②，當0≥εc≥-2‰時應力為拋物線分布。如圖3所示，以中性軸為原點，建立oz局部坐標，對于任意的z，應變為zεc/x。

圖3 區域②應力-應變 (0≥εc≥-2‰)

由軸力和彎矩平衡條件，將圖3混凝土受壓區應力求積分，得到混凝土受壓區合力Nc，假設Nc=-αcbxfc。軸力n無量綱處理，n=N/(bhfc)，混凝土無量綱合力nc=Nc/(bhfc)=-αckx。則

(5)

假設nc與截面上邊緣距離a=kax=kakxh，則

從表7中可以看到，除了自我效能感與人際關系績效相關性不顯著之外，其余各維度都是顯著正相關的。根據驗證結果可以發現，人格特質與工作績效存在顯著相關。成就需要、控制源、自我效能感與工作績效都是正向相關，但成就需要對任務績效、人際關系影響最大； 控制源與工作奉獻的關系更為密切； 自我效能感對任務績效、人際關系、工作奉獻影響較小。

(6)

2.1.2 拋物線-矩形分布

混凝土應變位于區域②，當-2‰≥εc≥-3.3‰時應力分布為拋物線加矩形，如圖4所示。

圖4 區域②應力-應變(-2‰≥εc≥-3.3‰)

同理可得

(7)

(8)

2.2 中性軸位于截面下邊緣外

2.2.1 拋物線分布

混凝土應變位于區域③，當0≥εc≥-2‰時應力為拋物線分布。如圖5所示，nc1為中性軸至截面上邊緣混凝土壓力合力，nc2為中性軸至截面下邊緣混凝土壓力合力，a1為nc1至截面上邊緣距離，a2為nc2至截面下邊緣距離。

圖5 區域③應力應變(0≥εc≥-2‰)

采用應力分解，直接利用2.1節結果，無需積分運算。混凝土壓力nc是應力均為拋物線分布的nc1與nc2的差值，套用式(5)(6)得：

(9)

假設混凝土壓力合力Nc=-αdbhfc，nc=-αd。假設nc與形心軸之間距離e=kdh。根據平衡條件和式(9)可得：

(10)

2.2.2 拋物線-矩形分布

混凝土應變位于區域③，當-2‰≥εc≥-3.3‰時應力分布為拋物線加矩形。當混凝土應變位于這一區域時，截面內力為一拋物線加矩形應力面積與一拋物線應力面積相減，見圖6。

圖6 區域③應力應變(-2‰≥εc≥-3.3‰)

套用式(5)～(8)，同理可得

(11)

(12)

3 內力計算

混凝土截面抗力包括混凝土壓力、上部和下部鋼筋的壓力或拉力。按照圖2三個可能的應變區域，截面內力有不同的表達式。

(1)區域①(εc>0，εc1>0)

截面抗力完全由鋼筋承擔，由平衡條件得

(13)

式中：無量綱形式軸力n=N/(bhfc)；彎矩m=M/(bh2fc)；強度配筋率ω=Asfy/(bhfc)，As為下部鋼筋截面面積；ns為下部鋼筋的抗力；σs為下部鋼筋的應力；ω為下部鋼筋的強度配筋率；ns1為上部鋼筋的抗力；σs1為上部鋼筋的抗力；ω1為上部鋼筋的強度配筋率。

(2)區域②(εc≤0，εc1>0)

同理，如圖7a所示，由截面平衡條件得

(14)

圖7 內力計算簡圖

(3)區域③(εc≤0，εc1≤0，εr≥-2‰)

如圖7b所示，同理，由平衡條件得

(15)

4 彎矩-曲率的算法

4.1 極限軸壓力和極限軸拉力

假設截面為對稱配筋，ω=ω1，as=as1。給定一個截面，通過平衡條件得到截面的極限承載力(截面強度)。當軸力達到極限值時，彎矩為0，截面為軸心受壓或軸心受拉狀態。

在軸心受壓狀態且截面應變ε=-2‰時，軸壓力達到最大值ncu，需考慮鋼筋屈服應變大于或小于2‰的情況，由式(10)(15)，ncu的計算式為：

(16)

在軸心受拉狀態，混凝土退出工作。當上、下部鋼筋均受拉屈服時，軸拉力達到最大值ntu，截面應變可為10‰至εy之間的任一數值。由式(13)知ntu=2ω。

4.2 混凝土上邊緣應變εc的初始值ε1

彎矩-曲率逆算方法通過逐級遞增εc實現，現有方法通常是假定一個εc(如εc=0.1‰)，沒有考慮軸力影響。通過彎矩-曲率關系曲線分析可知，無論給定多大的軸力，曲線都從原點開始，m= 0，φ= 0，曲線初始狀態是軸心受壓或軸心受拉，εc初始值是給定軸力n求解軸心受壓或受拉應變問題。假設εc初始值為ε1，由平衡條件推導其解析式。

引入參數ncy，ncy是軸壓應變ε1=-εy時截面軸力值。ncy計算需考慮εy與2‰之間的關系，有

(17)

假設軸力n=n1(n1為常數)，比較n1與ncy之間的關系，可判斷鋼筋屈服情況，進而得到應變為ε1時軸力計算表達式，即

(18)

求解式(18)得

(19)

給定軸力和截面特性，通過式(19)計算εc，無需人為假定，提高了逆算方法的效率。

4.3 彎矩-曲率關系的計算過程

(1)計算自變量εc和εs。自變量εc和εs的初始狀態均等于ε1(第4.2節)，考查φ值為正的情況，εc向應變負方向變化，從ε1減小至-3.3‰；欲使n=n1有解，εs向應變正方向變化，從ε1增大至10‰。由此可先確定εc的一組數值：ε1，ε1-Δ，ε1-2Δ，…，其中Δ為數據間隔，如取0.1‰。

(2)對每一個εc對應的εs值，需要求解關于n1與εc和εs的非線性方程(由式(5)～(15)確定)。

(3)已知εc和εs，根據平截面假設可知φ，εc1和εs1也為已知。選取n1為任意定值時，根據εc和εs所屬區域，套用相應計算系數和公式，可得一組m-φ值。

(4)將m-φ的一組值繪制成圖形，得到一條n=n1的彎矩-曲率曲線，見圖8。

圖8 矩形混凝土截面的彎矩-曲率曲線

如圖8所示，彎矩-曲率關系為一從原點開始的單調遞增曲線，切線斜率為截面抗彎剛度。每條曲線被B，C點分成3段，每段幾乎趨近于一直線。其中，B點為開裂點，C點為單側鋼筋屈服點，D點為極值點。

5 算 例

強度配筋率ω=ω1=0.3，截面有效高度h0=0.9h，鋼筋as=as1=0.1h，fy=360 N/mm2，Es=2105N/mm2，εy=1.8‰。按照4.1節，無量綱軸力(軸壓比或軸拉比)的變化范圍：-1.6≤n1≤0.6。

圖9a繪制了從極限拉力n1=0.6至極限壓力n1=-1.6之間的11條曲線。反映了從拉到壓曲線族變化的全貌。極限狀態(n1=0.6，-1.6)m和φ均為0，曲線退化為原點；從n1= 0開始，拉力遞增曲線為順時針變化至原點，壓力遞增曲線為逆時針變化至原點。

圖9表示了軸力水平不同的三類曲線族。

第一類是縱向拉力的m-φ曲線，見圖9a中n1= 0.1～0.5的5條曲線，由于混凝土開裂退出工作，截面承載力全部由鋼筋承擔，彎矩-曲率關系曲線與鋼彈塑性本構曲線相似，曲線族有相同彈性剛度，隨著彎矩增加，出現受壓區，部分混凝土參與工作，截面剛度增加。

第二類是小縱向壓力m-φ曲線，如圖9b中n1=-0.4～-0.1之間的4條曲線。曲線族在開裂前有相同的初始剛度，隨著彎矩增加，C點前的剛度也略有增大，斜率大于第一類曲線。

第三類是大縱向壓力m-φ曲線，如圖9c中n1=-1.6～-0.5之間的6條曲線，這些曲線沒有重疊部分，隨著軸壓力增大，彎矩承載力mu顯著降低，C點前的剛度略有減小。

圖9 軸力不變的n-m-φ曲線族

從圖9可以看出三類曲線的異同。軸力使截面較早地進入塑性階段，軸壓力(拉力)越大，彎矩承載能力越低。在圖9b小縱向壓力情況，軸力存在有利，隨著軸壓力增加，彎矩承載力略有提高。無論受壓還是受拉，軸力均使曲率(變形能力)減小，受壓時軸力作用更明顯，另外軸力越大，曲率越小，軸力越小，曲率越大。塑性段反映了截面塑性發展能力，第一和第二類均有較大的塑性段和較小的斜率，表明這兩種情況下盡管截面曲率(變形能力)有較大增長，帶來彎矩(承載能力)增加卻極為有限。第三類曲線水平段整體大幅度縮短，表明在大縱向壓力作用下截面延性顯著變差，大縱向壓力塑性段也不再接近水平，有一定的斜率。

6 結 論

(1)混凝土結構在進行彈塑性數值模擬時(如ANSYS)，涉及非線性迭代，當混凝土單元裂縫超過一定寬度單位不連續時，存在收斂困難無法繼續加載，不易得到完整的荷載-變形曲線，參數分析困難。本文基于應變法，由應變區域推導了軸力、彎矩、混凝土受壓區邊緣應變初始值的解析公式，解析計算彈塑性軸力-彎矩-曲率關系，沒有迭代和收斂的困難。在長度方向將曲率積分兩次得到撓度，為荷載-變形分析提供了一種便潔計算方法。

(2)混凝土壓彎或拉彎構件，一旦有一側鋼筋出現屈服，截面彎矩承載力沒有多少增長空間，體現在彎矩-曲率曲線C點后近似為水平(見圖8和圖9a，9b)。彎矩-曲率關系與軸力顯著相關，拉力作用下彎矩-曲率曲線接近鋼的彈塑性本構，小縱向壓力作用下隨著軸力的增加彎矩承載力略有提高，而大縱向壓力作用下隨著軸力的增加彎矩承載力顯著下降。軸力對曲率影響較大，隨著軸向拉力增加，極限曲率變化不大，但隨著軸向壓力增加極限曲率卻大幅減小。