基于時(shí)間回歸模型的魚類遷移研究

張湑行 劉錦源

摘 要：研究表明海洋溫度正在逐年上升，許多海洋生物會(huì)受到溫度影響而進(jìn)行大規(guī)模的遷移，對(duì)于依靠捕撈為生的漁民和捕撈公司這將是嚴(yán)重的打擊。本文主要針對(duì)魚類種群的遷移進(jìn)行研究。首先利用時(shí)間回歸（AR）模型進(jìn)行海水溫度的預(yù)測(cè)。為了研究魚群位置的長期變化趨勢(shì)并消除周期性洄游的影響，將計(jì)算的時(shí)間間隔取為一年，結(jié)合魚類選擇適宜環(huán)境的生物學(xué)特點(diǎn)，建立了規(guī)劃模型來模擬每年魚群受溫度影響遷移的過程。最終收集了鯡魚、鯖魚的所需參數(shù)，按照以上模型對(duì)兩種魚群的遷移進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

引言

海洋溫度不僅影響海洋生物物種的穩(wěn)定性，而且與人類社會(huì)和經(jīng)濟(jì)密切相關(guān)。 隨著溫度的升高，海洋魚類和無脊椎動(dòng)物可能遷移到高緯度和更深的水域。 在過去的40年里，海洋溫度的升高影響了全球漁業(yè)的發(fā)展，魚類棲息地的不斷遷移給漁業(yè)公司帶來了更多的不確定性。為了穩(wěn)定這些公司的生計(jì)，盡量減少全球變暖對(duì)漁業(yè)的影響，研究魚類遷移的規(guī)律有著巨大的價(jià)值。

模型的建立與求解

1.基于AR模型海水溫度預(yù)測(cè)

本文從國際海洋物理科學(xué)協(xié)會(huì)（ICES）數(shù)據(jù)庫獲取了1997年-2018年北大西洋海面溫度數(shù)據(jù)。根據(jù)“蘇格蘭海洋地圖集：國家海洋計(jì)劃”提供的海域參考圖，蘇格蘭海域的范圍為-15 ～ 2 ° 和 55 ～ 62 °。 為了避免魚類繁殖的特殊階段，提取1997年至2018年蘇格蘭（9月，10月，11月）的平均海面溫度進(jìn)行研究。 采用三次樣條法對(duì)每年數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，補(bǔ)充選定經(jīng)緯度范圍的溫度數(shù)據(jù)。可以觀察到到海水溫度隨經(jīng)度、緯度、時(shí)間變化的大致規(guī)律：當(dāng)經(jīng)度處于-15°到-5°時(shí)，隨經(jīng)度的改變溫度有明顯上升趨勢(shì)，而經(jīng)度處于-5°到0°時(shí)溫度隨經(jīng)度改變有一定的下降趨勢(shì)。各年份高溫區(qū)域（這里指10°C以上）主要分布在緯度55°到58°范圍，且高溫區(qū)域逐漸向高經(jīng)度、低緯度方向移動(dòng)。

結(jié)合以上分析我們將所研究海域按緯度分為三個(gè)部分：D1（55°到58°）、D2（58°到60°）、D3（60°到62°）。將三個(gè)部分海水溫度取平均值，得到三個(gè)部分平均溫度的時(shí)間序列。分別建立自回歸AR模型，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出模型參數(shù)的估計(jì)值，最終模型為（Ti表示對(duì)應(yīng)區(qū)域第i年溫度）：

將三個(gè)部分分別按照模型對(duì)未來的海水溫度進(jìn)行預(yù)測(cè)，僅展示2031，2041，2051，2061這四年的溫度預(yù)測(cè)結(jié)果：

2.基于規(guī)劃模型魚群遷移預(yù)測(cè)：

魚類通過洄游的方式更換生活水域，以滿足各時(shí)期對(duì)外界環(huán)境的需求，進(jìn)而完成繁殖、索餌等生命活動(dòng)并尋找更加適宜的棲息地 。洄游是魚類對(duì)自然環(huán)境變化的長期適應(yīng)行為 ，能夠使種群獲得更好的繁殖與生存條件。魚類洄游可以分為主動(dòng)洄游和被動(dòng)洄游，其中主動(dòng)洄游是指魚類在進(jìn)行繁殖前種群遷移過程，而被動(dòng)洄游是指繁殖結(jié)束后回到原來?xiàng)⒌氐倪w移過程。鯡魚、鯖魚在一年之內(nèi)由于繁殖或季節(jié)變化離開棲息地而最終又回到原棲息地，將類似的過程稱為周期性洄游;而某年之中外界環(huán)境相比于上一年整體發(fā)生改變而導(dǎo)致魚群棲息地的遷移稱為非周期性遷移，如全球海洋溫度升高而導(dǎo)致的魚群棲息地的遷移就屬于非周期性遷移。

假設(shè)遷移過程中魚群規(guī)模保持不變且分布均勻，可以認(rèn)為魚群區(qū)域總面積保持不變，進(jìn)一步假設(shè)魚群的分布為半徑固定的圓形區(qū)域（記為D），由于水溫隨時(shí)間變化導(dǎo)致區(qū)域中心坐標(biāo)不斷變化，將初始時(shí)刻區(qū)域中點(diǎn)坐標(biāo)記為（x0， y0），取相等的時(shí)間間隔Δt，第i個(gè)時(shí)間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域中心坐標(biāo)記為（xi， yi）。i時(shí)刻魚群所在區(qū)域D可以表示為（其中：r為圓形區(qū)域的半徑）：

為了預(yù)測(cè)魚群位置長期變化趨勢(shì)，將時(shí)間間隔Δt取為一年。魚群的位置受到遷移的影響，由于所取時(shí)間間隔Δt為一年且周期性洄游的周期也為一年，可以認(rèn)為在時(shí)間間隔為一年的前提下魚群的位置變化主要由非周期性遷移決定，將周期性洄游的影響忽略不計(jì)。根據(jù)分析，當(dāng)水溫發(fā)生變化時(shí)，在一定區(qū)域內(nèi)，魚群能夠本能的進(jìn)行遷移并不斷地將棲息地調(diào)整到環(huán)境最適宜的位置。按照這一規(guī)律建立規(guī)劃模型模擬魚群自主尋找棲息地的過程。

目標(biāo)函數(shù)：

由于溫度受到位置的影響且隨時(shí)間不斷變化，將溫度定義為三元函數(shù)T（x，y，ti），魚群會(huì)不斷調(diào)整棲息地使溫度盡可能接近其最適值T0，將魚群所處區(qū)域溫度與最適值的差距定義為目標(biāo)函數(shù)：

按照對(duì)區(qū)域D的定義對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行積分變換，得到：

約束條件：

需將魚群活動(dòng)范圍限制在所研究的海洋區(qū)域（記為Dsea）內(nèi)。且在一年的時(shí)間內(nèi)，魚群需要花費(fèi)大量時(shí)間完成繁殖、索餌、周期性洄游等基本行為，所以考慮非周期性遷移距離有一定限制（最大距離記為tranmax）：

參考了鯖魚、鯡魚在蘇格蘭周圍海域的捕撈位置及捕撈量，提取了其中近年來秋季的捕撈數(shù)據(jù)，根據(jù)這些信息大致確定了兩類魚群中心的初始位置（xi， yi）及魚群區(qū)域的近似半徑r。通過查閱魚類遷移的相關(guān)研究，得知了過去三十年間全球范圍內(nèi)兩種魚的魚群最大移動(dòng)距離為400km，所以近似的將兩種魚群每年最大移動(dòng)距離r選定為13km。確定了模型中的未知參量如下表：

根據(jù)以上參數(shù)并結(jié)合模型二中對(duì)海水溫度的預(yù)測(cè)結(jié)果我們可以預(yù)測(cè)兩種魚的遷移情況如下：

結(jié)論

結(jié)合實(shí)際情況不能簡單的把魚群區(qū)域當(dāng)作固定的圓，實(shí)際分布很可能隨溫度的改變發(fā)生變化。從這個(gè)角度出發(fā)將對(duì)規(guī)劃模型做出調(diào)整。經(jīng)過調(diào)整后的模型可以提高預(yù)測(cè)魚群中心位置變化的準(zhǔn)確性，同時(shí)考慮到魚群外形的變化，這樣更加接近實(shí)際情況。同時(shí)考慮到，即使魚群中心處于適宜溫度范圍內(nèi)，中心位置以外的魚也可能進(jìn)行小規(guī)模遷移導(dǎo)致區(qū)域外形改變。在遇到這種情況時(shí)可以用調(diào)整后的模型解決，保持魚群中心坐標(biāo)進(jìn)行規(guī)劃，即確定了區(qū)域外形的變化。

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