電磁場數值計算仿真實驗設計

周洪娟 金濤 陳鋮

[摘 要]電磁場邊值問題的求解是電磁理論教學中的難點和重點。課題組以簡單的靜態二維電場邊值問題為例，同時采用解析法和數值法求解，基于Matlab仿真平臺編程實現，從解析法和數值法的結論互相呼應的角度來逐層次地設計實驗，使學生對電磁場邊值問題求解方法、抽象復雜的數學結論以及唯一性定理產生感性認識。

[關鍵詞]電磁場邊值問題;唯一性定理;解析法;數值法

[中圖分類號] O411.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）02-0004-04

“電磁場理論”或“電磁場與電磁波”是工科院校電子信息、無線電技術類專業的一門重要基礎課，其涉及的矢量微積分公式繁多、概念抽象，需要學生具備較為扎實的數學和物理基礎，學生普遍反映難度大。“電磁場理論”這門課的教學雖然要側重電磁場、電磁波的基礎理論，但也要注重與工程實踐的結合，為工科院校的學生在相關課程以及方向的學習研究提供較為直接的理論指導。這其中，電磁場邊值問題的求解就是聯系電磁場麥克斯韋方程等基礎理論與各種復雜工程實踐，如天線設計、電磁干擾與電磁兼容以及雷達散射截面積等相關應用的橋梁[1-7]，但由于其涉及數理方程等復雜數學理論，使之成為本科教學中的難點。

電磁場邊值問題指的是滿足特定偏微分方程和邊值條件的數理方程，靜態電、磁場的邊值問題的求解是指滿足泊松方程或拉普拉斯方程和指定邊值條件的數理方程的求解。電磁場邊值問題的求解方法主要分為解析法和數值法兩大類。解析法是指能從電磁理論出發通過公式推導可直接得到所求解問題的精確表達式的方法，該類方法通常只適合一些邊界形狀簡單的特殊邊值問題的求解，如邊界形狀為規則的平面狀、球狀或圓柱狀。數值法是將求解區域劃分成離散的網格、待求解的連續變量離散成求解區域中一系列離散點處的求解的一系列方法，常見的有限差分法[8-10]、有限元法[11]和矩量法[11]。由于該類方法可靈活處理各種復雜的邊界問題，在實踐工程計算中被廣泛采用。現階段本科教學中，一般只強調一些特殊邊值問題的解析求法，如分離變量法和鏡像法，而由于授課學時等的限制，對更通用的數值法講解不透，甚至一帶而過，這樣就難以達到服務于工程實踐的真實目的。

本文以二維靜電場邊值問題的求解為例，設計結合解析法和有限差分數值法的自我驗證式實驗，提高學生對邊值問題求解方法和對邊值問題求解的唯一性定理的理解。

一、待求解的邊值問題及其解析解

待求解的二維靜電場邊值問題如式（1）所示，滿足第一類邊值條件，求解區域內面電荷密度為ρ，x軸和y軸的長度分別為a和b，U0為一個常數，求解區域內的電位滿足的偏微分方程和邊值條件寫成：

根據靜態電磁場問題的唯一性定理，只要求出的位函數滿足相應的泊松方程或拉普拉斯方程，又滿足給定的邊界條件，則此位函數就是所求的唯一正確解。該邊值問題可以由疊加法分解成兩個邊值問題，如式（2）和（3）所示，則有φ=φ1+φ2。

對邊值問題（3），電位滿足泊松方程，可以采用級數展開法求解[12]。考慮四個齊次邊界條件，令解為二重正弦級數，即

將式（5）帶入泊松方程，并由三角函數的正交性，可得系數表達式為：

至此，邊值問題（1）的解析表達式推導完畢。以上求解在唯一性定理的統一框架下，采用分離變量法、疊加法和級數展開法聯合求解，系數求解中需要用到三角函數的正交性原理，推導過程比較復雜，公式繁多，導致學生的接受難度大，因此電磁場邊值問題的求解歷來是本科教學中的難點。

二、數值法原理

本次實驗采用有限差分法求解，該方法代碼實現較為簡單，比較適合本科階段的學生自行編寫代碼實現，既可以體會數值計算方法的精要，在實現上又不占用太多的精力。另外，其求解聯立方程的不同解法也可以體現數值計算中保證計算精度的同時加快收斂速度的需求，讓學生對數值求解方法有一個比較全面的認識。

首先將求解區域劃分成正方形網格，下標i和j分別代表節點的x向和y向的序號，網格長度為h，則泊松方程的差分方程如式（7）所示[9]。

若求解區域劃分的節點數為N，則得到N個聯立方程組，進一步考慮已知邊界條件，主要的求解方法包括矩陣求逆、高斯消元和迭代法。迭代法是先對每個待求節點賦初值，按照一定順序和公式（7）逐步更新每個節點的電位，直至每個節點前后更新值誤差在給定的精度范圍內。由于迭代法更適合求解大規模邊值問題，更具有通用性，同時實現簡單，因此本次實驗采用迭代法求解。迭代法分簡單迭代法和超松弛迭代法兩種，簡單迭代法的更新公式如式（8）所示，即直接根據泊松方程的差分方程（7）用上一次迭代的值來更新本次迭代的值：

其中，上標n和n+1代表迭代次數的序號。若更新順序為從左到右、從下到上，由于簡單迭代法中每次更新時，左邊和下邊的節點已經更新過，為提高收斂速度引入了超松弛迭代法。超松弛迭代法通過引入超松弛因子α（1<α<2），充分利用已經得到的新值，在得到每點新值時立即把舊值沖掉，以提高迭代效率。設每次迭代時，節點更新順序為從左到右、從下而上，則更新公式如式（9）和（10）所示。

當α=1時[φ（n+1）i，j=φ（n+1）i，j]，此時稱為松弛迭代。超松弛因子α的大小決定著收斂速度，迭代次數最小的超松弛因子稱為最優超松弛因子。若計算區域為長方形，設劃分成正方形網格時兩邊的節點數分別為Nx和Ny，則最優松弛因子αopt的經驗值如式（11）和（12）所示[12]。

三、實驗設計

本次實驗要求學生自行編寫代碼來實現解析結論分析、數值法求解等。MATALB提供了一種高效的基于矩陣運算的仿真環境，具有豐富的函數庫和畫圖功能，代碼編寫簡單，在理論研究中被廣泛采用。本次實驗基于MATLAB平臺進行有限差分代碼編寫及后期數據的畫圖分析，實驗設計從學生可以自我驗證計算結論的角度出發，實驗過程及要求設計如下所示：

1.基于公式（4）（5）（6）分析基于疊加法、分離變量法和級數展開法的解析解;

2.利用簡單迭代有限差分法求解，采用不同的網格尺寸，數值解與解析法結論對比，分析求解結果的精確度;

3.利用超松弛迭代法求解，確定不同網格尺寸下收斂速度最快的最優值松弛因子，并與公式（11）（12）經驗值進行對比。

本次實驗是以邊值問題（1）的求解為例展開的，可以根據實際問題需要調整待求解的邊值問題。通過調整網格尺寸，讓學生體會數值計算中網格離散度對計算結論的精確度的影響，以及對計算資源方面的要求;超松弛因子的求解又讓學生體會到數值計算中保證求解精度提高收斂速度方面的切實要求。同時，該實驗無論從采用疊加法的解析求解過程，還是解析解與數值解呼應的驗證過程，都遵循著電磁場邊值問題求解的唯一性定理，即同一邊值問題可以采用不同的方法求解，但所得的解必須滿足指定的偏微分方程和邊值條件。唯一性定理在本科課堂教學中通常只是一掠而過，學生難以體會其在電磁場邊值問題求解中的重要地位，通過該實驗可以讓學生深刻理解唯一性定理的意義和重要性，真正起到了實驗輔助教學的目的。

四、實驗結果分析

設求解區域尺寸a=10 m，b=8 m，U0=100 V，電荷面密度ρ=10x（y-1）/ε0 pC/m2;數值計算中采用三種網格尺寸h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m，要求兩次迭代差值最大為10-10 V，以下為對應的分析結論。圖1中的（a）（b）（c）（d）分別為解析法，網格尺寸h=1 m、h=0.5 m和h=0.1 m的有限差分法得到的整個計算區域內的電位分布彩圖，其中有限差分法采用簡單迭代法。圖2中的（a）和（b）分別為沿著y=1 m和y=5 m兩條線上三種網格尺寸下得到的數值解相對于解析解的相對誤差。可見隨著網格尺寸降低，數值解逐漸趨近于解析解，表明網格分得越細計算精確度越高，同時也證明了在嚴格一致的邊界條件和偏微分方程下，同一邊值問題多種解法的結論是趨于一致的，即解的唯一正確性。

圖1中的（b）（c）（d）的迭代次數分別為393、1508和32771，可見求解精度的提高是以計算時長為代價的，這對所有的數值計算方法都是不可回避的事實，因此需要在保證求解精度的同時盡量提高收斂速度，降級計算時間，提高計算效率。本實驗中進一步采用超松弛迭代法加速收斂速度，設要求的求解精度與簡單迭代法相同。實驗結果表明，超松弛迭代法在保證計算結論精確度的前提下，可以得到更快的收斂速度，且收斂速度與松弛因子有關。圖3中的（a）（b）（c）為三種網格尺寸h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m下不同松弛因子對應的迭代次數，在具體實驗中，首先采用0.1間隔來遍歷搜索，得到最小迭代次數分別為45、90和913，對應的松弛因子分別為1.5、1.7和1.9。由式（11）（12）可得h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m三種網格尺寸下的最優松弛因子經驗值分別為1.484、1.699和1.931，仿真結論與經驗值基本吻合。若要得到分辨率更高的αopt數值，可以進一步在最小值附近進行細搜索，如圖3中的（c）中所示，得到最優松弛因子αopt=1.94，迭代次數為478。還有需要說明的是α=1.93時，迭代次數為482，兩者相差很小，說明經驗公式是非常可信的。還有需要說明的是，在松弛因子αopt=1時，h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m三種網格尺寸下的迭代次數分別為16947、779和204，相對于簡單迭代法的收斂速度已經有很大改進。

最終簡單迭代法和最優超松弛迭代的迭代次數對比如表1所示，其中的比值代表采用超松弛迭代法的最小迭代次數與簡單迭代法的迭代次數的比值。可見，通過調整超松弛因子，在保證計算精度的前提下，可以極大地提高計算效率，并且節點數越多改善效果越明顯，這對大型的邊值問題的數值求解具有非常重要的意義。

五、結束語

電磁場邊值問題的求解由于涉及的數學公式繁雜，方法多樣化，歷來是電磁場與電磁波本科教學中的難點。本文以一個二維靜電場邊值問題的求解為例，首先基于疊加法、分離變量法和級數展開法推導其解析解;然后進一步采用有限差分法進行數值求解，討論了離散網格大小對數值計算精度的影響，并采用超松弛迭代法，讓學生認識到數值算法中改善計算效率的問題。本實驗內容的每一步結論都有參考結論，學生可以自我驗證;基于MATLAB的算法代碼比較簡單，學生通過自己動手編寫代碼，加深了對算法的理解。該實驗設計同時從解析法和數值法多個角度加深了學生對抽象的唯一性定理的理解及其在電磁場邊值問題求解中的重要地位，幫助學生理解電磁場的數值計算方法，進一步促進學生對電磁場理論中的基本方程、邊界條件及各類二階偏微分方程的活學活用。

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[責任編輯：鐘 嵐]