二次域中類數h(k)=1時丟番圖方程整數解探討

王 振 謝 清

（安徽文達信息工程學院，安徽 合肥 230039）

定理1.1[1]：設K為一個二次域，則必有對于K的代數整數環(huán) kO 有：當

當時，

定理1.2[3]：設K是代數數域，OK為K的代數整數環(huán)，且類數為h(k),則：

定理1.3[1]：設M滿足唯一分解整環(huán)，從而對于整數k≥2以及α,β∈M(α,β)=1，當αβ=γk.k∈M時，必有：

其中ε1,ε2兩個元素是M中的單位元素，而且ε1ε2=εk。

1 主要結論證明

證明方程1

無整數解。

分解（1.1）式可知：

整理等式（1.3）可得：

由等式性質比較兩邊系數易知：

若b=±1，代入2.6式得，與矛盾。

若b=±2 , ± 22由于a≡b(mod 2)同奇同偶，從而由等式(1.6)式得：

綜合以上證明可知方程(1.1)無整數解。

證明方程2

無整數解。

分解（1.7）式可知：

整理等式（1.9）可得：

由等式性質比較兩邊系數易知

由等式（1.12）式知：b=±1 ,±2 ,± 22

若b=±1 ，代入（1.12）式可得3a2= 63或71，顯然a?Z與a Z∈ 矛盾。

若b=±2 , ± 22由于a≡b(mod 2)同奇同偶，從而由1.12式得：

左邊22≡22(mod 23)右邊b(3a2-67b2)≡0 (mod 23) 矛盾

從而丟番圖方程(1.7)式無整數解。