章節起始課教學應關注的幾個維度①
——以“圓錐曲線”起始課為例

楊 勇

(江蘇省鎮江市實驗高級中學 212003)

1 問題提出

目前，隨著新課程改革的不斷推進，章節起始課越來越引起大家的關注，章節起始課是新章節的開篇課，作為一章之首，能給學生提供一個要領性、概括性的參考框架，對后續內容的學習起著引領、指導和組織的作用，具有“先行組織者”的功能和價值，理應成為學生學習本章知識的基本示范，但由于該課型知識跨度較大，概念產生久遠，設計難度較高，可查資料不夠豐富，教師設計起來往往心有余而力不足，不知如何將其作為一節課來開展課堂教學, “告知式”地一帶而過已屬于不易，“閱讀式”地讓學生自己看書或是常態，更有甚者，認為高中內容多、課時緊，從應試角度來看教和不教幾乎沒有差別,無足輕重,干脆 “跳過”.上述現象,嚴重影響章節起始課在高中數學課堂的開展，其實,如果站在高中數學課程全局的高度,從數學知識的內部發生、發展的規律出發，針對學生的認知特點和生活經驗設計出一章的起始課，引導學生既能通過“樹木”看到“森林”，又能依托“森林”俯瞰“樹木”,不僅體現了教師對教材體系的認識和把握,也是把新一輪課程改革目標落實到課堂教學實踐中的具體要求.

筆者圍繞章節起始課進行了研究，形成了自己的一些認識和思考，現以普通高中課程標準實驗教科書(蘇教版)選修2-1“圓錐曲線”為例，結合本人在江蘇省師資處舉辦的“2019年江蘇省高中數學骨干教師專題培訓活動”中上的一節“圓錐曲線”章節起始課為例，談談章節起始課教學應關注的幾個維度，敬請同行指正.

2 教學設計

2.1 預備知識(以預習學案形式，提前發給學生)

(1)圖1中，兩條直線平行，它們之間距離處處相等.那么，兩個平面平行，它們之間的距離相等嗎？為什么？

圖1

(2)圖2中，過圓外一點，引圓的兩條切線，所得切線長相等。那么，過球外一點，引球的兩條切線，所得切線長相等嗎？為什么？

圖2

(3)圖3中，在圓柱內放置兩個與圓柱底面等半徑的小球，它們與圓柱側面的公共點將形成圓，我們把這兩個圓記作圓C1和圓C2.請問，圓C1與圓C2所在平面有怎樣的位置關系？任意作出圓柱的一條母線PQ與圓C1和圓C2分別交于P和Q點，則線段PQ的長度是否保持不變？

圖3

2.2 創設情境 引入新課

師:我們來探究一個生活中的問題(圖4).

圖4

(1)藍球在地面上所形成的影子什么時候是一個圓面？

(2)太陽光線與藍球相切的切點所組成的是什么圖形？

(3)當太陽光線傾斜照射時， 形成的影子輪廓是一個什么圖形？

生：(1)光垂直于地面照射時;(2)圓;(3)橢圓.

設計意圖從真實生活問題入手, 創設情境，激發興趣,引發思考, 讓學生體會數學來源于生活.

2.3 實驗演示 合作探究

師:我們將上述圖形進行抽象,得到一個數學模型(圖5),設籃球與地面切點為F, 設P是橢圓上任意一點,我們知道, 圓周上的任意一點到圓心的距離都等于半徑,線段PF的長度也會像圓那樣是定值嗎?

圖5

生:不是,PF的長度不斷變化.

師: 由于點F為籃球與地面的切點, 則地面內過點F的任意一條直線和球具有怎樣的位置關系?

生: 都是球的切線.

師: 借助幾何畫板,大家分組思考一下,隨著點P在橢圓上運動,球的切線PF的長度在變化過程中,有什么規律可循?

生:因為過球外一點引球的切線長相等,得到PF=PQ,P1F=P1Q1,P0F=P0Q0……. (見圖6)

圖6

設計意圖留給學生足夠的時間和空間，通過追問和質疑的形式引導學生由表及里、由淺入深、逐步推進，親身經歷數量關系的探究過程.

2.4 突破難點 感悟新知

師:為了研究問題方便,我們把圖6垂直豎起來,得到圖7.從辯證的角度看,事物是一分為二的,有上必有下，圖7應該有它的“另一半”圖8, 同理可得:PF1=PR(輔助動畫演示),大家有什么想法?

生:從圖8中可以看出該橢圓是一個圓柱被一個平面斜截得到的截面,我很想把它們合二為一.

眾生:掩口而笑,點頭稱是.

師:若把圖7 、圖8合二為一，可得圖9，你有什么發現?

圖7

圖8

圖9

生：PF=PQ,PR=PE,PE+PF=PQ+PR=QR=定值(幾何畫板直觀演示).

師:真的很棒，這就是數學史上著名的但德林雙球模型“雛形”，你用數學家的眼光發現了隱藏在橢圓中數量關系, 即：橢圓上的任意一點到兩個定點的距離之和為常數.我們把其中兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距.

師: 多么巧妙的構造,為你“合二為一”點贊.之所以叫但德林雙球模型“雛形”,是因為19世紀法國數學家但德林的證明是在圓錐背景下進行的(圖10)，老師為了大家探究方便將其簡化為圓柱背景.如果改為圓錐背景，你能否用類似的方法得到橢圓的性質,請大家課后繼續思考.

圖10

2.5 動畫展示 揭示課題

師:下面我們觀看視頻,直觀感知一個平面截一個圓錐面所得到的各種曲線.當截面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線.它們分別是相交直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線.我們通常將橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線，其證明過程都可以通過但德林雙球模型來完成.

設計意圖通過視頻剪輯了解圓錐曲線名稱的來源.

2.6 起源追溯 史料滲透

師:關于圓錐曲線的史料十分豐富，大致可分為下面6個階段，分別請6位同學予以大聲朗讀.

(1)萌芽與起源

相傳最早是古希臘人通過削尖的圓木樁發現 了一條像圓又不是圓的曲線，把它命名為橢圓.公元前4世紀古希臘數學家梅內克繆斯(公元前375—公元前325，古希臘數學家)在解決“倍立方”問題時，用垂直于錐面母線的平面來截三種正圓錐——銳角、直角、鈍角的圓錐，發現了圓錐曲線.

(2)理論與奠基

阿波羅尼斯(約公元前262～190年，古希臘數學家，與歐幾里得、阿基米德齊名)是第一個依同一個圓錐的截面來研究圓錐曲線的人，也是第一個發現雙曲線有兩支的人，他按照歐幾里得《幾何原本》公理演繹的方式把圓錐曲線理論系統化，所著《圓錐曲線論》從“平面斜截圓錐”出發，運用純幾何方法，證明了近500個命題，含有許多獨到新穎的創見，把圓錐曲線的性質網羅殆盡，成為數學史上的一座豐碑 ，他本人也被譽為古希臘“偉大的幾何學家”.

離聯考還有將近三個禮拜，為了確保我們這種準考生會努力不懈，校方希望我們畢業后還是要來學校，老師也可以來幫我們復習功課。差別的只是可以比之前晚一個鐘頭到校。而夜間也開放一間閱覽室到晚上九點半，讓準考生自由利用。

(3)停滯與積累

《圓錐曲線論》問世后將近2000年的時間， 整個數學界對圓錐曲線的研究幾乎沒有什么進展. 古希臘時期還沒有代數的符號體系和坐標，阿波羅尼斯的證明是建立在純粹的論證幾何基礎上的，并用文字表述證明的過程與結論，這是后人很難讀懂其著作的原因之一.

(4)突破與發展

直到16世紀末，開普勒(1571—1630,德國天文學家、數學家 )揭示出行星按橢圓軌道繞太陽運行，伽利略(1564—1642,意大利數學家、天文學家)得出斜拋運動的軌道是拋物線，人們發現圓錐曲線不僅是依附在圓錐上的靜態曲線，也是自然界物體運動的普遍形式。于是，對圓錐曲線的處理方法開始有了變化.

(5)開拓與創新

17世紀，法國數學家笛卡爾(1596—1650，法國數學家、物理學家，解析幾何創始人)和費爾馬(1601—1665，法國數學家，解析幾何創始人)的《空間與平面軌跡入門》，(寫于1629年，出版于1679年)使解析幾何走向數學舞臺，人們對圓錐曲線的研究朝著解析法的方向發展.即通過建立坐標系，得出圓錐曲線的方程，再利用方程研究圓錐曲線的性質，擺脫了幾何直觀，獲得對圓錐曲線研究的高度概括與統一.

(6)完備與總結

18世紀，牛頓(1643—1727,英國物理學家，數學家)、貝努利(1623—1708，瑞士數學家)等先后提出不同的坐標系，尤其影響深刻的是極坐標系，隨著坐標系的系統化，關于圓錐曲線性質研究逐漸系統化起來.歐拉(1707—1783，瑞士數學家、自然科學家)1745年發表的《分析引論》，被譽為解析幾何發展史上的重要著作，系統地研究了圓錐曲線的各種情形，并證明通過坐標變換，一定可以把任何圓錐曲線化為某種標準形式. 歐拉之后，三維解析幾何的研究蓬勃開展，由圓錐曲線導出了圓錐曲面.至此，關于圓錐曲線的理論被廣泛應用，直至今天.

設計意圖通過介紹圓錐曲線的歷史，使學生了解圓錐曲線的最初定義和歷史成果，進一步感受幾何圖形抽象于生活的特征，欣賞古希臘數學家的信念與智慧.通過對解析幾何的簡要介紹，使學生了解解析幾何誕生的歷史必然性、解析幾何的核心思想以及它在數學學科中的地位和作用.

3 教學設計應注意的幾個維度

章節起始課不同于一般章節內的課，它具有幫助學生建構知識體系、指導學習內容、探尋研究方法的功能,具有獨特的教育教學價值，下面從教學目標、問題探究、史料滲透、素養培養等幾個維度談一下教學中應注意的問題。

3.1 目標定位的“準確度”

章節起始課需要準確的目標定位.章節起始課的目標定位不同于一般的概念課，它既要兼顧知識發生發展的過程又要統攝全章的框架，因此，目標定位的“準確度”尤為重要.如本課中，在圓錐曲線發展史上，橢圓定義最早是依附于圓柱或圓錐中的(斜截面)，而課本中的定義則是人們為了方便用解析法研究圓錐曲線，在歷經幾千年解析幾何誕生之后，根據橢圓的性質，從數量關系角度對橢圓進行的再次定義.雖然兩定義從本質上講具有等價性，但從表達形式上看卻相去甚遠.因此在引導學生建立橢圓定義時，如果盲目拋開圖形角度的橢圓定義，急功近利地脫離圖形直接給出數量關系形式的橢圓定義，這樣的定義教學看似易于操作，但學生會感到“一臉懵”，因為不符合橢圓定義形成與發展的歷史自然,更有悖于學生的認知心理.學生會產生“老師是怎么想到這樣定義橢圓的？”“為什么這樣定義得到圖形就是橢圓？”、“這樣定義的橢圓和我們生活中的橢圓一樣嗎？”顯然，這些疑惑源于老師在本節教學中直接“掐頭去尾燒中斷”，事實證明，“直接拿繩子畫橢圓,然后大量做題”，這樣對橢圓定義發生過程的忽略，會導致“為什么定點是2個？而不是3個？為什么是距離之和而不是之差？為什么是距離？而不是其他的呢？”這些問題一直縈繞腦中.因此,為了解決上述問題,我們提出下面的教學目標：經歷從具體情境中抽象橢圓的本質特征以及橢圓定義的過程，通過類比進而形成橢圓、雙曲線、拋物線的概念并能簡單應用；通過歷史的回溯，了解圓錐曲線的背景(產生、發展)、應用，感受其產生、發展的歷程.

3.2 問題探究的“可行度”

章節起始課需要用問題來引領探究.作為章節起始課，一般來說具有知識點較多、知識產生的跨度比較大的特點，學生對該部分的知識基礎比較薄弱，一時找不到探究的切入口，探究的熱情自然就不高，習慣于被動地等待老師講解，我們要從數學知識發生發展過程的合理性和學生思維過程的合理性兩個方面考慮去設置問題情境,增加探究的可行性，但不是所有數學知識都要完整、詳盡地呈現其發生、發展的過程，因為那樣需要占用大量課堂時間，這就要求探究過程遵循“可行度”，誠如波利亞所言：“在教授一個科學概念時，我們應讓孩子重蹈人類思想發展中那些最關鍵的步子，而不是讓他們重蹈過去的無數錯誤. ”重演不等于重復，如果將圓錐曲線數學史不加選擇地讓學生去重走探究的老路，不僅不利于學生掌握知識，而且還易于造成學生思維的混亂,這是設計章節起始課問題探究需要注意的，如何站在數學知識和方法的高度提出既符合學生最近發展區又能形成認知沖突的問題顯得尤為重要. 如本課中，橢圓的內在數量關系呈現高度的形式化，在以圓錐為背景的“但德林球”模型中，學生感到抽象，很難找到突破口，就需要老師不斷鋪設臺階，我首先設計了預備知識，以預習學案形式提前發給學生，做好知識鋪墊，拉近問題與學生的心理距離. 課堂上，為了進一步激發求知欲,我們從生活中籃球的影子入手設置問題串，引導學生在圓柱背景的“但德林球”中發現橢圓的性質,最后再通過思考題的方式去證明在圓錐背景的“但德林球”模型中三種圓錐曲線間的數量關系，這種直指核心問題，“真刀真槍”的實戰模擬探究，既避免了“照本宣科”式的一帶而過，又避免了在細枝末節上的拖沓冗長，提高了問題探究的可行性，激發學生的探究欲望，積累了在生活情境中處理復雜問題的解題活動經驗，培養了學生發現問題和解決問題的能力，在揭示知識產生脈絡和背景的同時使核心素養的落實不再是“紙上談兵”.

3.3 史料滲透的“適切度”

章節起始課的史料滲透要適度.章節起始課中通常蘊藏著豐富的數學史料，這是由數學概念長期的發展過程所決定的.圓錐曲線中的史料相當豐富, 有的內容很難,還有目前還富有爭議,發展過程中也蘊含著豐富的數學文化,除了概念、性質、標準方程這些顯性數學文化之外，還包含著數學思想、數學方法、信念品質、價值判斷和審美追求等豐富的隱性數學文化.老師要將這些豐富的數學史料進行深加工, 選取學生能夠理解的且有一定教學價值的部分按歷史順序“去支強干”進行重組,以符合學生認知基礎和認知規律的適切的教學形態呈現給學生.本課中筆者通過對圓錐的起源追溯，理清發展脈絡，分六個階段對學生進行史料滲透，就是基于上述考慮.

3.4 素養落實的“深入度”

章節起始課中的素養培養要深入.章節起始課要注重還原“數學家當時的思考過程”，讓學生感覺自己“也能當數學家”，在發現和提出問題、分析和解決問題的實踐中積累活動經驗，用心來感受那些對全章具有統領和輻射作用的思想方法，通過思想方法的感悟促進核心素養的深層次落實.本課中老師引導學生把籃球進行抽象，進而得出一般的研究模型，然后層層深入，再通過球切線的研究得出橢圓中隱藏的數量關系，最后在但德林雙球模型中得到橢圓的性質，這其中涉及到諸多數學中研究問題的方法:歸納猜想、類比推理、分析綜合等等，伴隨著這些方法的顯現和落實，學生的數學抽象、數學建模、數學運算、數據分析、直觀想象和邏輯推理等數學素養得到了不同程度的提升.因此，對于章節起始課，我們要在突出章節的核心知識或核心研究方法的同時，把深入落實核心素養作為課堂的追求，通過思想方法的積累促進核心素養的不斷深入發展，讓課堂加速從“知識傳授”向“素養落實”的轉變.