順應(yīng)學(xué)生思維 尋找突破路徑①

張文海

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215011)

1 問題背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)既要關(guān)心學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.在學(xué)習(xí)的過程中掌握數(shù)學(xué)方法，解決實(shí)際問題，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成不懼困難、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.”因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)掌握學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，順應(yīng)學(xué)生思維的發(fā)展，找準(zhǔn)思維的障礙節(jié)點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生一起攻克困難，親歷難點(diǎn)突破的過程，才能讓學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，真正掌握解決數(shù)學(xué)問題的方法.

近期我校高三年級進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，其中一道解析幾何題的答題情況讓人大吃一驚.本題第(1)問4分，第(2)①問6分；②問6分，最終筆者所任教理化班的班級均分只有10.59，全班44人只有6人將(2)②問完全解答正確，8人得到△PQG面積的表達(dá)式后無疾而終.究其原因，其與解析幾何教學(xué)中的一些弊端有關(guān).

目前，解析幾何的教學(xué)存在重思路分析、輕運(yùn)算示范的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生想想都會，一算就錯的情況.針對解析幾何中運(yùn)算繁瑣的直接思路，筆者認(rèn)為不宜簡單越過，選擇其他的解決方法，而有必要沿著學(xué)生的思路，站在學(xué)生的角度實(shí)施教學(xué)計(jì)劃，幫助學(xué)生將解題的“最后一公里”打通，這對學(xué)生關(guān)鍵能力及必備品格的培養(yǎng)是重要的.

2 題目再現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連QE并延長交C于點(diǎn)G.

①求證：△PQG是直角三角形；②求△PQG面積的最大值.

3 展學(xué)生之惑，尋突破之道

從學(xué)生的答題情況來看，主要存在兩個問題：一是對圖形結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不清，沒有能夠表示出面積的表達(dá)式；二是建立了面積的數(shù)學(xué)模型，但對式子的本質(zhì)認(rèn)識不到位，沒能找到恰當(dāng)?shù)慕饽７椒?今天這節(jié)課，我們一起來探討如何突破這兩個難點(diǎn)．

3.1 教學(xué)片段1：觀察圖形，合理選擇面積表征路徑

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．由此可見，運(yùn)算的基礎(chǔ)基于運(yùn)算對象，表示運(yùn)算對象的路徑選擇不同，運(yùn)算方法的選擇也不同，導(dǎo)致運(yùn)算的長度和繁簡程度也不盡相同．因此，在直觀感知圖形建立運(yùn)算模型時，結(jié)合自己已掌握的基本知識、基本方法以及基本活動經(jīng)驗(yàn)，從大腦中選擇相應(yīng)的元認(rèn)知對圖形信息進(jìn)行最近的表征，在觀察比較分析中，合理選擇面積的表征路徑．

師：要解決第②問的問題，我們首先要把△PQG的面積表示出來，大家有哪些想法？

生5：我發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O是線段PQ的中點(diǎn)，PE⊥x軸，由此我們可以換一種方式來建立面積模型，

S△PQG=S△PQE+S△PGE=2S△POE+S△PGE

大部分同學(xué)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P是一個“主”動點(diǎn)，只要它的位置確定，其余點(diǎn)的位置隨之而定，故采用了路徑(1)、(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法來建立面積函數(shù).路徑(1)是直線和橢圓聯(lián)立解二元二次方程組，路徑(2)是兩條直線聯(lián)立解二元一次方程組.從運(yùn)算的繁瑣程度來看，可以發(fā)現(xiàn)解二元一次方程組比解二元二次方程組要簡單，所以路徑(2)要更優(yōu)化.路徑(3)、(4)是先設(shè)直線PQ的斜率寫出方程，求出點(diǎn)P、G的坐標(biāo)，再表示面積.問題在于點(diǎn)G的坐標(biāo)不易表示，導(dǎo)致解題失敗.路徑(5)利用圖形的幾何特征，將三角形進(jìn)行分割表示，解題過程相對簡潔.

對于多個動點(diǎn)變化的問題，以“主”動點(diǎn)為研究對象是常規(guī)思路之一，它的優(yōu)勢在于表示其他點(diǎn)的坐標(biāo)較為方便，劣勢在于目標(biāo)中至少會含有兩個變量以上，消參對學(xué)生來講是一個棘手的問題.設(shè)斜率作為變量表示目標(biāo)，也是處理解析幾何問題的常規(guī)思路之一.它的優(yōu)勢在于變量少，學(xué)生心理感受好，易于接受，敢于下筆，劣勢在于表示點(diǎn)的坐標(biāo)略顯繁瑣，導(dǎo)致運(yùn)算量增大，也是導(dǎo)致運(yùn)算無法進(jìn)行到底的主要障礙.故在選擇解題路徑之前，應(yīng)結(jié)合題目的具體條件，確定大致的解題方向，預(yù)估解題的運(yùn)算量，合理選擇設(shè)“點(diǎn)”法或設(shè)“斜”法.此外，解析幾何研究的對象是幾何圖形，既強(qiáng)調(diào)用代數(shù)的方法刻畫幾何圖形，也強(qiáng)調(diào)用幾何特征來引導(dǎo)代數(shù)的運(yùn)算和證明.這就是“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決”，也是解決解析幾何問題的一種基本思想．

3.2 教學(xué)片段2：分析算式，恰當(dāng)預(yù)判運(yùn)算過程方法

解決數(shù)學(xué)問題的過程實(shí)質(zhì)上是從未知到已知的轉(zhuǎn)化過程．要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，必須堅(jiān)持科學(xué)的觀察方法和理性的思維方式．對同一數(shù)學(xué)材料進(jìn)行觀察，如所選擇的觀察角度不同，往往會產(chǎn)生不同的處理方式．我們要用數(shù)學(xué)的思維方式去分析題目條件和目標(biāo)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，激活原有的知識和經(jīng)驗(yàn),恰當(dāng)預(yù)判運(yùn)算過程方法，不僅能培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察能力、分析能力和知識的綜合運(yùn)用能力,同時每一個問題的解決過程都是一次知識的重組和整合,對建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有促進(jìn)作用.

路徑1直面問題，消元求導(dǎo)，夯實(shí)運(yùn)算硬功夫

生眾：第1個，變量只有一個，可以求導(dǎo)處理.

導(dǎo)數(shù)法是研究單變量函數(shù)最值問題的常用方法之一，它對求導(dǎo)公式的掌握及因式分解的能力要求較高，需要我們具備扎實(shí)的基本功和運(yùn)算能力.

師：如果當(dāng)初建模時，選擇的是設(shè)點(diǎn)法，得到目標(biāo)函數(shù)中就含有兩個變量，那么又該如何處理呢？處理雙變量或多變量函數(shù)的基本方法是什么？

生6：利用消元法將雙變量減為單變量，再用導(dǎo)數(shù)法求解.

師：你說說，怎么消元？

師：生6的問題，誰能幫忙解決的？

師：大家思考一下生7的想法可行嗎？

生眾：行.可是次數(shù)有點(diǎn)高，恐怕有點(diǎn)繁.

師：我們來試試，既然理論上行得通，我們來實(shí)際操作一下，看到底行不行得通.

師：接下來，是作為分式函數(shù)求導(dǎo)，還是將分子展開，轉(zhuǎn)化為一個多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)方便？

生8：因?yàn)榉肿邮侨齻€因式之積，而分母很簡單，所以我認(rèn)為后者方便一些.

師：分析得有道理！

令f′(m)=0，因?yàn)閙∈(2,8)，所以解得m=4，當(dāng)20，故y=f(m)單調(diào)遞增，從而當(dāng)m=4時，f(m)min=-32，

路徑2觀察結(jié)構(gòu)，構(gòu)造齊次，激活直覺新思維

對于二元齊次分式，我們常見的處理方法是什么？

路徑3引參變換，三角換元，妙用轉(zhuǎn)化巧突破

生眾：三角換元.

師：運(yùn)用三角換元的好處在于可以讓變量之間的內(nèi)隱關(guān)系外顯，有利于根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，尋求到合適的處理方法.

師：大家觀察一下這個式子的結(jié)構(gòu)，結(jié)合三角函數(shù)的知識，你會如何處理？

生11：因?yàn)檫@是一個分式，所以我想到“弦化切”，但它又不是齊次式，需要在分母上添加“sin2α+cos2α=1”構(gòu)造齊次分式，將面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于“tanα”的單變量函數(shù).

對于上式，我們還可以有如下兩種處理方案：

一般而言，研究二元或多元函數(shù)的問題，消元法是其中的主要方法之一，它包含直接消元和間接消元兩種.直接消元就是將其中一個變量用另一個變量來表示，特別要注意的是被消去變量的范圍要轉(zhuǎn)移給留下來的變量；間接消元就是引進(jìn)第三個變量來表示原有的變量，便于溝通之間的關(guān)系，常見的有三角換元、均值換元等.對于單變量函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)法是有效手段之一，除此之外還可根據(jù)式子結(jié)構(gòu)的特征，采用不等式的方法求解.

反觀上述解題過程，可以發(fā)現(xiàn)思路易得，運(yùn)算不易，主要原因在于直接運(yùn)算繁瑣，字母參數(shù)多，內(nèi)在聯(lián)系隱晦.對于這類問題，在平時的教學(xué)中，我們要以學(xué)生的思維方式、認(rèn)知心理為教學(xué)起點(diǎn)，讓教師的思維順應(yīng)或契合學(xué)生的思維，才能使教的過程和學(xué)的過程融入一體.不僅要注重思路分析，更要手把手地親身示范，帶領(lǐng)學(xué)生一起經(jīng)歷障礙突破的過程，才能培養(yǎng)學(xué)生不畏艱難困阻的自信心，提高學(xué)生的理解能力、運(yùn)算能力和思維能力.

新一輪課程改革已經(jīng)拉開帷幕，核心素養(yǎng)理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)如何進(jìn)行？學(xué)生的思維能力怎樣才能得到更好培養(yǎng)？我認(rèn)為，核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)循著學(xué)生的思維軌跡，讓學(xué)生不斷地產(chǎn)生“沖突”，思考“沖突”，化解“沖突”.從學(xué)生的視角解決問題，不僅能讓學(xué)生“知其然”，還能“知其所以然”.如果不考慮學(xué)生已有的認(rèn)知，一味地將自己的想法強(qiáng)加給學(xué)生，那么課堂探究只能流于形式，不僅不能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，反而會對他們的思維發(fā)展起到負(fù)面影響.數(shù)學(xué)知識是學(xué)生自己建構(gòu)的，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)為學(xué)生有效自主建構(gòu)而教.因此，數(shù)學(xué)教師要營造學(xué)生自主建構(gòu)知識的氛圍與條件，遵循學(xué)生的思維特性，只有以學(xué)生的思維為起點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)活動，指導(dǎo)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的策略與方法，才能引起學(xué)生思維的共鳴，讓學(xué)生建構(gòu)起自己的數(shù)學(xué)理解，真正達(dá)到發(fā)展數(shù)學(xué)思維的目的.