加強知識的綜合聯系發展學生的理性思維>
——復數的內容分析與教學思考

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

0 引言

關于復數的教學，老師們一般都會覺得“容易”，并且因為高考中的復數題非常簡單，所以許多老師對復數的教學也不太上心.但如果看一下陳省身先生的話，相信大家的感覺會不一樣.陳先生說：

一個數學家應當了解什么是好的數學，什么是不好的或不太好的數學.有些數學是有開創性的，有發展前途的，這就是好的數學.還有一些數學也蠻有意思，卻漸漸地變成一種游戲……比如說，解方程就是好的數學.搞數學的都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同.x2-1=0有實數解，而x2+1=0就沒有實數解.后來就加進復數，討論方程的復數解.大家知道的代數基本定理就是n次代數方程必有復數解.這一問題有很長的歷史，當年有名的數學家歐拉就考慮過這個問題，但一直沒有證出來.后來還是高斯證出來的，還發現復數和拓撲有關系，有了新的理解.因為模等于1的復數表示一個圓周，在這一圓周上就有很多花樣.如果從f(x)=0到解f(x，y)=0，那就進到研究曲線，當然也可能沒有解，一個實點也沒有.于是花樣就來了.假使你在f(x，y)=0中把x，y都看成復數，則兩個復數相當于四維空間，這就很麻煩，出現了復變函數論中的黎曼曲面.你要用黎曼曲面來表示這個函數，求解原來的方程f(x，y)=0，那就要用很多的數學知識.其中最要緊的概念是虧格.你把f(x，y)=0的解看成曲面之后，那么曲面有很多個圈，球面環面的不同等等花樣，都和虧格有關.

此外，你也可以有另外的花樣，比如f(x，y)=0的系數都假定為整數，你也可以討論它的整數解，這就很難了.([1],p.11～12)

從陳先生的這段論述中我們可以體會到，復數是有深遠意義的.盡管中學階段不可能讓學生學習復變函數、復數域方程的內容，但教師要知道這個內容的意義，要幫助學生開好復數學習的頭.其中的要點，根據F·克萊因的觀點，“把復數解釋為所熟悉的數的概念的擴張，避免任何神秘感.首要的是應當使學生立刻對復平面上的幾何作圖說明形成習慣.”([2],p.80)課程標準把復數置于“幾何與代數”主題下，也體現了這樣的意圖.不過，從實數擴張為復數也會出現負遷移，即局限于一維實數的視野看二維的復數會限制人的思維，這樣就會因為“一元三次方程的三個根都是實根，但在用公式求解的過程中會出現虛數”而產生“到底有解還是無解”的困惑.這說明，在復數的教學中，既要遵守已有數系擴充的規則，但又要跳出“一維世界”的局限，引導學生到二維復平面上研究復數，這樣就能使復數與向量、三角函數的聯系成為自然而然，而且使研究范圍大大拓展.

1 課程定位

課程標準提出：復數是一類重要的運算對象，有廣泛的應用.本單元的學習，可以幫助學生通過方程求解，理解引入復數的必要性，了解數系的擴充，掌握復數的表示、運算及其幾何意義.本單元的內容包括復數的概念、復數的運算、復數的三角表示.

分析課程標準的表述可以得出如下認識：

第一，從數學對象的屬性看，和實數一樣，復數是一類有廣泛應用的運算對象，應按研究運算對象的套路展開本單元的學習.

第二，復數的引入是為了方程求解的需要，這是數學史的真實過程，而且這個過程充滿曲折，前后經歷幾百年，直到高斯給出復數及其運算的幾何解釋、復數在解決物理問題中得到應用，其地位才最終確認.這個歷程不僅可以讓學生理解引入復數的必要性，還可以從中體驗數學家的理性思維和科學精神，所以復數的背景和引入的教學是熏陶數學文化的好素材.

第三，要讓學生了解數系擴充的規則和過程.盡管學生從小就學習數及其運算，初中也明確講運算法則和運算律，在指數的擴充和指數冪的運算性質中也強調了運算性質的重要性，但學生對此并不在意，其實他們也確實很難體會到其中的“味道”.不過，復數集是滿足算術運算律的最大數集，我們要借著這最后一次數系擴充的機會，滲透數系擴充的基本思想，培育學生的理性思維.

事實上，一個數學對象，如果它處于不同對象的聯結點處，表示方式可以多樣化，那么它一定可以成為一個強有力的紐帶，可以從中搞出很多“花樣”來.

2 內容與要求

2.1 復數的概念

(1)通過方程的解，認識復數.

(2)理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義.

2.2 復數的運算

掌握復數代數表示式的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義.

2.3 復數的三角表示

通過復數的幾何意義，了解復數的三角表示，了解復數的代數表示與三角表示之間的關系，了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

復數的三角表示是選學內容，但課程標準提出的要求不高.因為這個內容思想深刻，而且可以產生廣泛聯系，是“好的數學”，所以應盡量讓學生學習.

3 本單元學習的認知分析

3.1 認知基礎

復數的認知基礎主要來自于對數系擴充的內容、過程、基本思想與方法等的感性認識，以及解一元二次方程的知識經驗.

3.2 認知困難

復數的認知困難主要可歸結為如下幾方面：

(1)學生在初中建立的數系擴充經驗，理性程度不高，特別是對擴充過程中蘊含的數學思想方法的理解并不深入；

(2)在義務教育階段，從自然數系擴充到有理數系再擴充到實數系，不是從解方程角度，而是從解決現實問題的需要，作為“相反意義的量”、“已知正方形面積求邊長”的數學表達而引入，而引入復數純粹是為了解決解方程中遇到的負數開方問題，因此已有的數系擴充經驗的可遷移性不強；

(3)復數是“二維數”，盡管有數軸上的點表示數的經驗，但在平面直角坐標系中用有序數對表示一個數，這是經驗上的一個飛躍；等等.

4 內容的理解與教學思考

4.1 復數發展史概述

在古希臘學者丟番圖時代，人們已知道一元二次方程有兩個根，但其中有一個根為虛數時，寧可認為方程不可解.直到16世紀，人們普遍認同丟番圖的辦法.

迫使人們認真對待復數的是因為求一元三次方程的解.意大利數學家卡爾丹在1545年出版的著作《重要的藝術》中，全面介紹了求解一元三次方程的代數方法，給出了十三種求解的公式.在公式中出現了十分尷尬的情況：即便一元三次方程的三個根都是實根，但在用公式求解的過程中會出現虛數.例如，方程16+x2+x3= 24x的三個根都是實根，但直接用卡爾丹一元三次方程求根公式，求解過程中會出現虛數.那么，這樣的方程是有解還是無解呢？

虛數這個名稱是笛卡兒在1637年出版的《幾何》中給出的.歐拉在1777年的論文中首次使用符號i表示虛數.

1797年，丹麥測量學家韋塞爾在一篇論文中引入了虛軸，并把復數表示為平面向量.瑞士數學家阿爾岡在1806年出版的著作中把復數對應的向量的長度稱為模，他還進一步利用三角函數表示復數.([3],p.122～123)

給出復數的幾何表示后，使人真正“看到”了復數的存在，人們才逐漸接受復數.在19世紀，經柯西、高斯、黎曼、魏爾斯特拉斯等人的努力，復數才以漂亮的復變量函數論贏得歷史地位.

在物理學界，一直認為能夠測量的物理量只是實數，復數是沒有現實意義的.盡管在19世紀，電工學中大量使用復數，有復數的動勢、復值的電流，但那只是為了計算的方便.計算的最后結果也總是實數，并沒有承認在現實中真有“復數”形態的電流.

牛頓力學中的量全都是實數量，但到量子力學，就必須使用復數量.1959年，物理學家設計了一個實驗，表明向量勢和數量勢一樣，在量子力學中都是可以測量的，打破了“可測的物理量必須是實數”的框框，但這一實驗相當困難，最后于1982年和1986年先后完成.這樣，物理學中的可測量終于擴展到了復數.

復數源于純粹的數學推理，是理性思維的產物.虛數以及復數概念的引入經歷了一個曲折的過程，其中充滿著數學家的想象力、創造力和不屈不撓、精益求精的精神.由于學生認知水平的限制，中學階段對復數的運算和應用不能提出太多要求，因此在復數的教學中，通過介紹復數的發展歷史，讓學生感受數學的文化和精神，理解復數的概念和意義，應該成為重點.

4.2 本單元的內容結構

本單元內容不多，但可以體現研究一個運算對象的“基本套路”，即：

背景——概念——基本性質——運算及其幾何意義、運算律——聯系與應用.

背景：解方程的歷史，遇到的挑戰；

概念：數系擴充的思想、過程，復數的定義、表示和分類；

復數的基本性質：復數的幾何意義，復數與向量的聯系(復數就是向量，向量就是復數)，復數之間的某些特殊關系(如共軛復數)；

復數四則運算的定義、運算律及其幾何意義；

復數的三角表示(相關概念、互化)、運算(乘、除、乘方、開方)及其幾何意義；

應用：代數中的應用，聯系向量、三角的綜合應用，幾何中的應用等.

4.3 具體內容的理解與教學

1．引入復數要關注哪些要點

復數的引入要解決兩個基本問題：一是引入復數的必要性，即要通過解方程歷史的追溯，介紹數學家對這種“虛無縹緲的數”的認識過程，引發認知沖突，自然而然地提出問題；二是要引導學生回顧已有數系擴充過程，歸納其中的基本思想，形成基本套路，從而構建本單元學習的先行組織者.

2．如何從解方程中歸結出將數系擴充到復數系所要解決的根本問題

首先，分析遇到的難題，明確要解決的問題.在介紹解方程歷史的基礎上，先從一般的實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(Δ=b2-4ac<0)出發，用配方法進行同解變形，歸結為x2=-a(a>0)的形式，最后歸結出：只要能解x2+1=0，那么就能解決任意的負數開方問題.

再梳理從自然數系逐步擴充到實數系的過程與方法，得到數系擴充的基本思想：在擴充后的數系中規定的加法、乘法，與原數系中的加法、乘法協調一致，并且使加法和乘法所滿足的運算律仍然成立.

最后，在上述思想引導下，考慮通過擴充實數系而使方程x2+1=0有解.擴充過程中，要強調“希望在擴大的數集中，新的加法、乘法運算保持運算律”的關鍵性作用.

根據上述想法，引進一個新的數i，其定義是i2=-1.將i添加到實數集中，并和實數進行加、乘運算，就會產生新數.例如，把實數a與i相加，結果記作a+i；把實數b與i相乘，結果記作bi；把實數a與實數b和i相乘的結果相加，結果記作a+bi；等.把a+i看作a+1i，bi看作0+bi，a看作a+0i，i看作0+1i，總之，實數與i進行加、乘運算后的結果都可以寫成a+bi(a，b∈R)的形式.

為了促進學生領悟數系擴充思想，人教A版在這里給了一個“思考”欄目：([4],p.68)

把新引進的數i添加到實數集中，我們希望數i和實數之間仍然能像實數那樣進行加法和乘法運算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結合律，以及乘法對加法滿足分配律. 那么，實數系經過擴充后，得到的新數系由哪些數組成呢？

教學中要注意落實這個“思考”的意圖，讓學生開展獨立思考，進行上述“思想上的數系擴充實踐”，發展理性思維.

3．引入復數概念要完成哪些事情

引入復數概念要完成的事情是：定義——分類——幾何意義——基本性質.這里有幾個問題要討論一下.

(1)定義：要說清楚復數的內涵、要素.從a+bi(a，b∈R)的形式看，虛數單位i是關鍵性的，這是定義的核心；有兩個組成部分a，bi，稱a為實部，b為虛部(不是虛部系數).

(2)復數的相等：引入新對象后，為了保證對象的確定性，就要明確兩個元素相等(或相同)的含義(定義).這里，當a，b∈R時，a+bi=0?a=0且b=0.由兩個復數相等的定義，可以把復數看成一個有序實數對，從而為復數的幾何意義奠定基礎.在定義一個數學對象時必須說清楚什么叫“相等”，學生對此可能沒有這種意識，并不認為這一點很重要，教學時應給予說明.

(3)如何引導學生研究復數的幾何意義？這里可以引導學生解放思想展開想象.首先可以類比實數的幾何意義，其次可以聯系向量的坐標表示.類比用數軸上的點表示實數，提出是否可以對復數作出幾何表示；由復數是二維數，引導學生從確定復數的條件出發思考復數的幾何意義.

復數z=a+bi(a，b∈R)由a，b唯一確定，而且a，b不能交換順序，本質上是一對有序實數對(a，b)，所以復數集與直角坐標系上的點集之間可建立一一對應關系：z=a+bi?Z(a，b)，這就是復數的一種幾何意義.

關于“復平面”的教學，要注意如下幾點：

①復數z=a+bi用復平面內的點Z(a,b)表示.復平面內的點Z的坐標是(a,b)而不是(a,bi)，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1而不是i；

②不要強調復平面與一般坐標平面的區別；

③對于虛軸上的點表示的數，除原點外都表示純虛數.不要在“y軸叫做虛軸”、“y軸(去除原點)叫做虛軸”哪種定義更“合理”上糾纏，這是沒有意義的.

復數的向量表示：因為復數z=a+bi(a，b∈R)與有序實數對(a，b)一一對應，即復數集與復平面內的點集一一對應，而有序實數對即為平面直角坐標系中向量的坐標，所以復數集C與復平面內以原點為起點的向量組成的集合也是一一對應的，這是復數的另一種幾何意義.

復數的模與實數的絕對值具有內在一致性，由此可知模與距離概念的關聯，可以表達平面上的距離問題.如果再與復數的輻角結合起來，那么復數就與兩個最基本的幾何量建立起了內在關聯，由此可以利用復數及其運算研究幾何、三角的問題，其作用與向量是異曲同工的.

(4)基本性質：已有的經驗是數的基本性質指“數的大小關系”，但復數沒有大小關系，或者說：若兩個復數都是實數，則可以比較大小；否則，不能比較大小.

實際上，“大小關系”的本源是自然數的大小關系：自然數源于對數量的抽象，因為“數量有多少”，所以“自然數有大小”，大小關系是自然數的最本質關系.所以，實數的大小關系基于生活直覺.由此，可以從皮亞諾公理出發，用數學歸納法證明：

①對于任意兩個自然數a，b，ab有且只有一種關系成立(稱為“三歧性”)；

②自然數的大小關系具有傳遞性；

③傳遞性在四則運算中仍然成立：我們用符號“*”統一表示四則運算，用“≈”統一表示①中的三種關系，只要注意到乘或除一個負數要改變大小關系，那么對于有理數a，b，c，有

a≈b?a*c≈b*c，

所以大小關系在有理數中仍然成立.

④根據實數理論，實數是通過有理數列的極限得到的，而有理數列四則運算的極限等于有理數列極限的四則運算，即

所以，基于自然數的大小關系對于實數仍然成立.

因為復數不是源于度量的需要，而是源于解方程，解方程的運算一般不具有上述③、④所示的性質，所以就傳遞性而言，復數不能像自然數那樣比大小.

進一步地，數學推理論證的本質在于傳遞性，因此復數的“大小關系”是不能像實數那樣，基于自然數的大小關系經過邏輯推理而得到.

我們可以定義復數的順序，如

a+bi

?a

這個順序與實數的大小關系相容，似乎非常像大小關系，但它不是大小關系.

如果我們引導學生把眼光從一維直線提升到二維平面，可以發現，在復平面上看，對于復數的關系，可以從更廣泛的“對稱性”進行討論.這樣，引入“共軛復數”的概念就自然而然了：

復平面內關于x軸對稱的兩個點所對應的兩個復數有特殊關系，稱為共軛復數.

4.復數的四則運算及其幾何意義

引入一種新的數，就要研究關于它的運算；定義一種運算，就要研究其運算律(運算性質).這里需要讓學生思考的問題是：

如何定義復數加法、乘法的運算法則才是合理的？

(1)關于復數的加法

可以采用分析法：設z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，希望加法結合律成立，所以

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)；

希望乘法對加法滿足分配律，所以

z1+z2= (a+c)+(bi+di)

= (a+c)+(b+d) i.

按這樣的法則，當b=0，d=0時，復數的加法法則與實數的加法法則一致，這說明這樣定義復數的加法法則與實數中的加法運算是和諧的.

乘法法則的分析類似.

定義運算法則后，如何引導學生研究運算的幾何意義是需要重點考慮的一個問題.特別是，能不能讓學生自己提出這個問題？

為此，可以從兩個角度進行引導：一是從數及其運算的一般研究路徑出發，提出需要研究的基本問題；二是從復數的幾何表示出發，復數有幾何意義，那么關于它的運算也一定有幾何意義.在此基礎上，聯系向量運算的幾何意義，就比較容易由學生自己發現和提出問題了.

那么，復數加法的幾何意義的教學重點是什么呢？

教學重點是：引導學生探究復數加法與向量加法的統一性.可以從三個方面進行引導：①復數與復平面內以原點為起點的平面向量一一對應；②向量加法的坐標形式及其幾何意義；③復數的加法法則.將這三個方面放在一起，并借助復平面進行分析，就能使學生領悟復數加法的幾何意義就是復數的加法可以按照向量的加法來進行.

(2)關于復數的減法

首先，類比實數的減法，規定復數的減法是加法的逆運算；

然后，依據復數的加法、復數相等的定義，通過解實系數方程，得到復數的減法法則.

教學中可提醒學生，這里實際上使用的是待定系數法，它也是確定復數的一個一般方法.

復數減法的幾何意義，等同于向量減法的幾何意義.

(3)復數的乘、除運算

復數的乘、除運算與加、減運算的研究過程大同小異.

復數的乘法與多項式乘法有很強的可比性，將復數a+bi看成是關于i的“一次二項式”， 將復數的乘法按多項式的乘法進行，只要在所得的結果中把i2換成-1，并且把實部與虛部“合并同類項”即可.

復數的除法可以類比根式的除法，寫成分數的形式后，利用共軛復數進行“分母實數化”就可以得出結果.

原則上，在完整地進行復數加法教學后，減法、乘法和除法可以讓學生自學.

(4)共軛復數的性質

這是一個有意思的問題，可以引導學生在思考“具有特殊關系的復數在運算中是否也會出現什么特殊性”的基礎上，自己展開探索活動，并注意從代數、幾何兩個角度作出解釋.

5.復數的三角表示

復數的三角表示是復數的一種重要表示形式，它溝通了復數與平面向量、三角函數等之間的聯系，可以幫助我們進一步認識復數，也為解決平面向量、三角函數和平面幾何中的問題提供了一種重要途徑，同時還為今后在大學期間進一步學習復數的指數形式、復變函數論、解析數論等高等數學知識奠定基礎.

比較強烈地建議：要把本節內容作為必學.

(1)復數的三角表示式

這里的首要問題仍然是：如何引導學生發現和提出“復數的三角表示式”這一問題？

從知識基礎看，前面已經建立了復數與向量的坐標之間的聯系.另外，三角表示式與三角函數相關聯，三角函數中學生曾經研究過“水車模型”，求解過在半徑為2的圓周上做勻速圓周運動的點的坐標問題，特別是在三角函數概念一節，證明了

如果角α終邊上任意一點P(x,y)(不與原點重合)到原點的距離為r，那么

這些都為用三角函數表示半徑為r的圓上點的坐標做了較為充分的準備.如果教師直接講解，那么學生聽懂應該沒有困難，但這樣就失去了一次提高學生發現和提出問題能力的機會.所以，應該設法讓學生自己來“捅破窗戶紙”.為此，人教A版設置了一個“探究”欄目引導學生展開研究：

圖1

這個“探究”是如何提出來的呢? 實際上，其背后的思想是：一個事物有多種表示方式，那么它們之間一定有內在聯系，探索這些聯系并得出相應的數學表達是數學研究的主要任務之一.教學中應引導學生仔細體會這一點，其實這是使學生領悟數學基本思想、積累基本活動經驗的過程.

復數的三角表示式實際上是用另一種有序實數對(r,θ)確定一個復數，與極坐標一樣.因為復數的三角表示式有固定的結構，需要通過概念辨析活動讓學生加深認識：

第一，直角坐標系中，設角θ的終邊與半徑為r的圓(圓心在原點)的交點坐標為Z(a，b)，則有

z=a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ).

學生可能會認為，含有正弦、余弦的復數就是復數的三角式，需要給一些反例.例如：

左邊不是三角式，右邊是三角式.

(2)復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義

復數的乘法、除法、乘方和開方，用三角表示非常簡潔，而且反映本質，特別是這些運算的幾何意義非常明顯、好用，在解決問題中威力巨大.另一個重要性是，與旋轉變換、伸縮變換的聯系，例如：

圖2

這就是復數乘法的幾何意義，是用旋轉和伸縮變換來表示的.

另外，只要令z=z1=z2=r(cosθ+isinθ)，就有

z2=z1z2=[r(cosθ+isinθ)]2

=r2(cos2θ+isin2θ).

這里，z的次數可以推廣到一般的n，有

[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)，

這就是棣莫佛定理.

利用三角表示作為知識的綜合與聯系的紐帶作用，可以發現很多有意義的問題.

例如，與解一元n次方程的聯系，特別是xn=1，其中蘊含的內容非常豐富；與三角函數的聯系，可以方便地得出一些三角恒等式；證明一些幾何題(實際上就是向量法)；與旋轉變換、伸縮變換等幾何變換的聯系；等等.

5 小結

我們以陳省身先生的一個故事來結束本文.2003年歲次癸未，第二年是甲申(猴)年.陳先生突發奇想，要設計一套題為“數學之美”的掛歷.他親自構思、設計，用通俗的形式展示數學的深邃與美妙.掛歷中的12幅彩色月份畫頁的主題分別為：復數、正多面體、劉徽與祖沖之、圓周率的計算、高斯、圓錐曲線、雙螺旋線、國際數學家大會、計算機的發展、分形、麥克斯韋方程和中國剩余定理.……陳先生特別青睞復數，故把它作為掛歷的首頁主題.事實上，他發現的“陳示性類”就是復向量叢上的拓撲不變量.陳先生說：復數是一個神奇的領域.例如有了復數，任何代數方程都可以解，在實數范圍就不可以……我的眼光集中在“復”結構上，“復叢”比“實叢”來得簡單.在代數上復數域有簡單的性質.群論上復線性群也如此，這大約是使得復向量叢有作用的主要原因.“幾何中復數的重要性對我而言充滿神秘.它是如此優美而又渾然一體.”([1],p.22～23)作為整體微分幾何的開創者，他所領略到的復數之美、復數之用是我們難以企及的，以陳先生的故事和論述來結尾，似乎扯得太遠，但我的想法是要以此引起廣大高中數學教師對復數教學的充分重視，徹底拋棄“考什么教什么”的習慣，著眼于學生的終身學習、致力于學生數學學科核心素養的發展進行教學，為學生奠定后續數學學習的良好基礎.