適用于山地城市的Logistics速度-密度模型

周約珥, 龔華鳳*, 趙聰霄, 黃博亞, 徐小童

(1.林同棪國際工程咨詢(中國)有限公司, 重慶 401121； 2.重慶市山地城市可持續(xù)交通工程技術(shù)研究中心, 重慶 401121)

由于特殊地形條件,山地城市普遍存在主干道上設(shè)置低等級(jí)互通立交的情況,且相關(guān)技術(shù)手冊(cè)[1]缺少對(duì)低等級(jí)立交基本段通行能力的研究,導(dǎo)致了道路設(shè)計(jì)與交通運(yùn)行不匹配等一系列問題。為了解山地城市的連續(xù)交通流特性,逐步解決上述問題,作為通行能力理論基礎(chǔ)的交通流要素關(guān)系模型不可或缺。

通常,交通流要素關(guān)系模型可分為速度-密度模型與速度-流量模型。其中,速度-密度模型是Greenshields為間接計(jì)算道路通行能力而首先提出的,但其模型的適用范圍有限,僅適用于中等交通密度的交通流[2],與之類似的模型還有僅適用于高交通密度的Greenberg模型[3],以及僅適用于低交通密度的Underwood模型[2]。相對(duì)于上述模型,作為分段模型的Edie模型[4]可適用于不同的交密度條件,但該模型中的部分參數(shù)物理意義不明,不具備可復(fù)制性。除了適用條件的約束與模型參數(shù)的物理意義不明,模型表達(dá)式復(fù)雜等問題也普遍存在于類似的速度-密度模型研究中[5-9]。相對(duì)而言,基于速度-流量的關(guān)系模型可直接確定道路的最大通行能力[10-14]。但該類模型的參數(shù)多為經(jīng)驗(yàn)值,物理意義不明,欠缺客觀性,如由美國聯(lián)邦公路局(bureau of public road, BPR)函數(shù)演化而來的Nielsen模型[10]。此外,在高密度交通流條件下,速度-流量的數(shù)據(jù)散點(diǎn)一般呈放射發(fā)散分布,導(dǎo)致該類模型的擬合效果欠佳,計(jì)算結(jié)果難以趨于穩(wěn)定。因此,在一般研究中,基于速度-密度的關(guān)系模型表現(xiàn)更優(yōu)。

針對(duì)速度-密度關(guān)系模型,Macnicholas[15]認(rèn)為理想的速度-密度模型應(yīng)具備不分段、邊界明確、適用于不同的交通密度條件、表達(dá)式簡單、參數(shù)物理意義明確等特點(diǎn)。目前,僅基于Logistics的速度-密度模型比較符合Macnicholas[15]標(biāo)準(zhǔn)。該類模型原是計(jì)量化學(xué)模型[16],后被Wang等[17]用于交通領(lǐng)域研究,取得了十分理想的擬合結(jié)果。但Wang等[17]采用的五參數(shù)Logistics模型,未就實(shí)際交通運(yùn)營規(guī)律做相應(yīng)調(diào)整,導(dǎo)致部分模型參數(shù)的物理意義不明。為此,馬曉龍等[18]基于Logistics的基本理論,提出了新的Logistics速度-密度模型,并根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證與分析。但在馬曉龍等[18]的研究中,速度上界與自由流速度的關(guān)系模糊,難以在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)兩者進(jìn)行界定。因而目前基于Logistics的速度-密度關(guān)系模型的研究,還有進(jìn)一步的優(yōu)化空間。

綜上,針對(duì)速度-密度模型的研究還存在以下問題:①早期模型的應(yīng)用范圍有限,難以應(yīng)用于交通密度復(fù)雜多變的山地城市；②多數(shù)模型參數(shù)的物理意義模糊,且不具備可復(fù)制性；③部分模型的表達(dá)式復(fù)雜,參數(shù)標(biāo)定困難等。為解決上述問題,本研究以Logistics理論為基礎(chǔ),根據(jù)實(shí)際交通流運(yùn)行的特點(diǎn),推導(dǎo)了關(guān)鍵交通流參數(shù)之間的關(guān)系,從而建立了各參數(shù)物理意義明確,模型表達(dá)式簡單,且符合一般交通流運(yùn)營規(guī)律的Logistics速度-密度模型。最后,本研究基于重慶市的交通數(shù)據(jù),對(duì)模型在山地城市中的適用性進(jìn)行了驗(yàn)證與分析。

1 Logistics模型

Logistics的本質(zhì)是描述自變量與因變量變化速率關(guān)系的微分方程。在交通研究背景下,Logistics模型的微分方程表達(dá)式為

dv/dk=Rv(k)

(1)

式(1)中：v為速度；k為密度；R為速度變化率函數(shù)。根據(jù)等號(hào)左側(cè)的表達(dá)式可知,R的量綱為交通密度量綱的倒數(shù)。

速度、密度、流量兩兩相關(guān)是一般交通流的基本特性。結(jié)合實(shí)際交通流運(yùn)行特點(diǎn)可知,交通速度必然是隨交通密度的增加而降低。因此,基于Verhulst的阻滯增長假設(shè),假定速度變化率函數(shù)R為一元函數(shù),在密度變化的區(qū)間內(nèi),R的表達(dá)式為

R=rk(k/kf-1)

(2)

式(2)中：rk為速度變化率常數(shù),與道路條件相關(guān),量綱同R。由一般的速度-密度關(guān)系可知,該參數(shù)應(yīng)為負(fù)數(shù)；kf為維持自由流狀態(tài)的最大密度,理論上該值趨近于0。而在HighwayCapacityManual[1]中,kf可通過自由流速度與維持自由流狀態(tài)的最大流量,間接計(jì)算獲得。

綜上,自變量與因變量變化率的關(guān)系、一般交通流特性中的速度-密度關(guān)系是建立Logistics速度-密度關(guān)系模型的基礎(chǔ)。如何將上述兩種關(guān)系有機(jī)結(jié)合,是模型成敗的關(guān)鍵。

2 速度-密度模型的建立

2.1 模型基本表達(dá)式

基于對(duì)Logistics模型理論的分析,可對(duì)式(1)微分方程求解得到速度-密度模型的基本關(guān)系式為

(3)

式(3)中：c為求解微分方程時(shí)產(chǎn)生的常數(shù)。根據(jù)交通流的邊界條件可知,當(dāng)密度k=0時(shí),應(yīng)存在v=vf,其中vf為自由流速度。式(3)可改寫為

(4)

式(4)中：速度變化率常數(shù)(rk)仍存在物理意義不明的問題。為此,本研究對(duì)速度-密度模型的基本關(guān)系式進(jìn)行了分析與討論,以明確速度變化率常數(shù)(rk)的物理意義。

2.2 速度變化率常數(shù)

基于Logistics曲線的幾何特征,對(duì)速度變化率常數(shù)與其他參數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行了相關(guān)推導(dǎo),從而通過參數(shù)消元,優(yōu)化了速度-密度模型基本關(guān)系式,進(jìn)而分析了模型邊界的合理性。

基于速度的物理意義可知,速度-密度模型基本關(guān)系式的一階導(dǎo)數(shù)為加速度,二階導(dǎo)數(shù)為加速度變化率。考慮到Logistics模型的函數(shù)為平面S形,存在拐點(diǎn)(kt,vt),使得v″=0。因此,速度-密度模型基本關(guān)系式的特點(diǎn)可歸納如下。

(1)速度-密度基本關(guān)系式的一階導(dǎo)數(shù)(加速度)始終存在v′≤0。當(dāng)v′=0時(shí)為自由流狀態(tài)或絕對(duì)擁堵狀態(tài)。

(2)在速度二階導(dǎo)數(shù)為0的拐點(diǎn)處,加速度變化率由負(fù)轉(zhuǎn)正。

由各階導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系與交通流的特性可知,Logistics 曲線中的拐點(diǎn)同時(shí)存在3種身份:①該點(diǎn)是Logistics曲線的幾何拐點(diǎn)；②該點(diǎn)是速度一階導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)；③在速度-密度關(guān)系中,該點(diǎn)是標(biāo)志著交通流由穩(wěn)定流向擁堵流轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的交通流量為最大通行能力。因此,拐點(diǎn)(kt,vt)處的交通流密度又稱為最佳交通密度(km),交通流速度又稱為最佳交通速度(vm)。

關(guān)于拐點(diǎn)的數(shù)學(xué)描述可歸納為

(5)

對(duì)式(5)進(jìn)行求解,得到速度變化率常數(shù)(rk)、最佳交通密度(km)及維持自由流狀態(tài)的最大密度(kf)三者間的關(guān)系式為

(6)

由式(6)可知,當(dāng)且僅當(dāng)rk<0時(shí),式(6)成立,且此時(shí)的rk符合交通流運(yùn)行的一般規(guī)律。通過參數(shù)消元,式(4)的速度-密度關(guān)系模型可進(jìn)一步改寫為

(7)

該模型具有參數(shù)物理意義明確、表達(dá)式簡潔等特點(diǎn)，但仍需進(jìn)一步分析模型的數(shù)學(xué)邊界,以確定模型的合理性。

2.3 速度-密度關(guān)系模型的邊界

基于Logistics的速度-密度關(guān)系模型的一階導(dǎo)數(shù)為

(8)

綜上,在k∈[0,kf)區(qū)間內(nèi),Logistics曲線近似于平行k軸的水平線,v≈vf恒成立；在k∈[kf,)區(qū)間內(nèi),0

3 模型驗(yàn)證

3.1 數(shù)據(jù)采集

為驗(yàn)證模型在山地城市的適用性,基于重慶市的實(shí)測(cè)交通流數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證分析。數(shù)據(jù)通過固定檢測(cè)器、視頻記錄采集。其中,固定檢測(cè)器的數(shù)據(jù)采集間隔為1 min,是由斷面流量、單點(diǎn)速度組成的全天交通流數(shù)據(jù)。密度可通過流量、速度與密度的一般關(guān)系式計(jì)算獲得；視頻記錄數(shù)據(jù)作為補(bǔ)充部分,調(diào)查了部分立交基本段的早晚高峰期情況。調(diào)查時(shí)間為8～10月份。調(diào)查范圍涵蓋了重慶市渝中、渝北等7區(qū)14座互通立交,合計(jì)36個(gè)互通立交基本段的有效數(shù)據(jù)。樣本涉及了各級(jí)道路與不同的運(yùn)行速度水平,其中主線23條、匝道13條,各基本段的限制速度介于25～100 km/h不等。

3.2 擬合分析

選取12條不同等級(jí)、不同限制速度、不同交通條件的互通立交基本段作為模型驗(yàn)證的案例,基本涵蓋了重慶市各等級(jí)道路。各基本段模型的標(biāo)定均基于1stOpt軟件平臺(tái)完成,標(biāo)定所得的主要模型參數(shù)結(jié)果如表1所示。

在表1中,僅自由流速度vf是實(shí)際調(diào)查獲得,最佳交通密度(km)與維持自由流的最大密度(kf)均為1stOpt輸出的標(biāo)定結(jié)果。

基于表1結(jié)果,計(jì)算了最佳交通密度(km)的平均值、中位數(shù)以及標(biāo)準(zhǔn)差,分別為38.55、39.11、6.94 pcu/(km·ln)。而在HighwayCapacityMa-nual[1]中,連續(xù)流最佳交通密度建議值為 28 pcu/(km·ln),顯著低于山地城市的實(shí)測(cè)平均值與中位數(shù)。此外,標(biāo)定獲得的最佳交通密度(km)離散程度較小,可能存在一個(gè)最佳交通密度(km)的標(biāo)準(zhǔn)值適用于各類連續(xù)交通流。

為進(jìn)一步驗(yàn)證模型在山地城市復(fù)雜交通條件下的適用性,研究對(duì)比了模型與各基本段實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的擬合情況,如圖1所示。由擬合結(jié)果可知,所建立的模型在不同交通流條件下,均取得了較好的擬合效果,最小擬合優(yōu)度為0.41,最大擬合優(yōu)度則高達(dá)0.94,平均擬合優(yōu)度為0.79,擬合優(yōu)度的中位數(shù)為0.84。

表1 各互通立交基本段參數(shù)標(biāo)定結(jié)果

圖1 基本段A～L的模型擬合結(jié)果Fig.1 Data fitting results of basic segment from A to L

如圖1(c)、圖1(e)、圖1(g)、圖1(i)所示的基本段擬合結(jié)果,針對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量高,且交通流密度變化范圍較大的路段,模型具有極高的擬合優(yōu)度，為0.84～0.94,能較好地反映不同交通密度條件下的速度-密度關(guān)系。

圖1(d)、圖1(f)、圖1(i)所示的基本段數(shù)據(jù)質(zhì)量與擬合優(yōu)度均依次升高。該結(jié)果表明針對(duì)交通流密度變化范圍較大的路段,采集數(shù)據(jù)的質(zhì)量越好,模型的擬合優(yōu)度越高。

圖1(k)、圖1(h)、圖1(g)、圖1(i)所示的各基本段樣本數(shù)據(jù)的交通流密度變化由小到大依次排列,且模型擬合優(yōu)度依次升高。該結(jié)果表明針對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量較好的路段,交通流密度的變化范圍越大,模型的使用效果越好。

如圖1(h)、圖1(k)所示的案例基本段擬合結(jié)果,針對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量較好,但交通流密度變化范圍較小,僅存在自由流狀態(tài)的路段,模型仍可根據(jù)既有的交通數(shù)據(jù)擬合得到相對(duì)合理的最佳交通密度km,但擬合優(yōu)度明顯偏低。

綜上所述,所建立的Logistics速度-密度關(guān)系模型適用于不同交通密度條件下的交通流。但模型的擬合精度與采集數(shù)據(jù)的質(zhì)量、路段交通密度的變化范圍密切相關(guān)。

3.3 中外同類模型對(duì)比分析

為驗(yàn)證模型的優(yōu)越性,研究選取路段F數(shù)據(jù),對(duì)比了不同模型擬合結(jié)果,該路段數(shù)據(jù)覆蓋了不同的交通密度條件,能充分驗(yàn)證不同模型的擬合優(yōu)劣。結(jié)果如表2所示。

表2 不同模型擬合結(jié)果對(duì)比

基于各模型的對(duì)比結(jié)果(表2)可知,在文獻(xiàn)[17]模型的結(jié)果中,θ1、θ2為無物理意義的參數(shù),且密度無窮大時(shí),擁擠速度不為0,與實(shí)際交通運(yùn)行規(guī)律相悖。在文獻(xiàn)[18]模型的結(jié)果中,擁擠速度與實(shí)際交通相符,但擁擠密度、最大交通速度(Vmax)卻遠(yuǎn)超正常值。在本模型結(jié)果中,km與城市道路工程設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的建議值基本一致，kj則趨近于0,與交通運(yùn)行規(guī)律與模型假設(shè)契合。綜上結(jié)果可知,在擬合優(yōu)度基本一致的條件下,本研究模型的擬合參數(shù)較少,且各參數(shù)擬合結(jié)果符合一般交通運(yùn)行規(guī)律,更具實(shí)用價(jià)值。

4 結(jié)論

針對(duì)山地城市的復(fù)雜交通條件,建立了基于Logistics的速度-密度關(guān)系模型,并得出如下結(jié)論。

(1)模型的表達(dá)式簡單,且各參數(shù)的物理意義明確,符合連續(xù)交通流運(yùn)行的一般規(guī)律。

(2)針對(duì)模型中的主要標(biāo)定參數(shù),山地城市道路的最佳交通密度要明顯高于HCM提供的建議值,平均最佳交通密度為38.55 pcu/(km·ln)。

(3)模型適用于各類交通密度條件,最高擬合優(yōu)度可高達(dá)0.94。盡管模型的擬合優(yōu)度受數(shù)據(jù)質(zhì)量、交通流密度變化范圍等制約,但其擬合結(jié)果仍具有較強(qiáng)的借鑒意義，尤其針對(duì)僅存在自由流狀態(tài)的道路,本文模型仍可標(biāo)定相對(duì)合理的模型參數(shù)。