磁浮列車懸浮系統的反步控制方法及實驗研究

張文躍， 佟來生， 朱躍歐， 徐俊起， 榮立軍

(1.中車株洲電力機車有限公司磁浮系統研究所, 株洲 412001； 2.同濟大學(國家)磁浮交通工程技術研究中心, 上海 201804)

磁浮車輛作為新型軌道交通工具,具有無摩擦,低噪音,轉彎半徑小,爬坡能力強等優點。中外已有多條磁浮交通線路投入運行,未來這種新型交通工具有望得到大力發展和應用[1-3]。但由于磁浮車輛的懸浮系統是一種復雜的非線性系統,具有開環不穩定,易受擾,耦合性強等特點,傳統的線性控制方法(proportional-integral-derivative, PID),已經難以滿足運載速度不斷提高對懸浮控制精度和魯棒性的要求[4]。

懸浮系統是磁浮車輛的核心和關鍵部件之一。近些年來在現代智能控制技術的推動下,中外學者對高性能磁懸浮自動控制進行了大量的研究,取得了一定進展。劉德生等[5]利用中間變量將原非線性系統以線性形式表達,但本質仍然是非線性系統,進而利用豐富的線性理論對控制器進行設計。呂志國等[6]基于反饋線性化和在線參數辨識提出一種自適應控制方法,能夠實現小球的穩定懸浮。Zhou等[7]針對electro magnetic suspension(EMS)型磁浮列車懸浮系統設計了帶有FIR(finite impulse response)濾波器的自適應控制方法來減小車輛的振動。孫友剛等[8]將可變邊界層和指數趨近律結合,設計一種改進型的滑模控制方法,仿真和實驗證明該方法可以提高系統魯棒性。張靜等[9]針對磁懸浮系統提出了無源控制器,仿真結果表明該方法能提高磁懸浮系統抗干擾性能。Sun等[10]基于模糊控制理論設計了自適應控制器。該方法能夠自動調整控制參數以使閉環系統遠離Hopf分叉點,避免車軌耦合振動的發生。Xu等[11]提出了一種基于磁通密度反饋的自適應滑模控制器,該方法可以提高系統的穩定裕度。這些現代智能控制方法推動了磁懸浮控制系統的發展,但是仍然存在一些問題。如反饋線性化控制抗干擾能力較差；模糊控制無需建立精確的數學模型,但是控制穩態精度較低。無源控制一般只能借助注入阻尼來設計控制律,穩定性難以保證。反步(Backstepping)法可將復雜的非線性系統分解成不超過系統階數的子系統,然后為每個子系統分別設計Lyapunov函數和中間虛擬控制量,通過設計和修正虛擬控制律確保非線性系統的穩定性,可實現磁浮車輛系統的懸浮控制。該方法具有穩定性分析無須線性化或近似,控制性能優良的優點。

首先搭建了磁浮車輛懸浮系統動力學模型,然后基于反步法設計了新型懸浮控制器,借助 Lyapunov 函數最終獲得懸浮系統實際的控制律,然后基于 Lyapunov穩定性理論嚴格證明了控制系統的穩定性。 最后通過仿真和實驗證明所提控制方法的有效性。

1 磁浮車輛懸浮系統動力學建模

懸浮系統是磁懸浮列車的核心部件之一,結構如圖1所示。電磁鐵模塊沿磁浮列車的左側和右側兩邊排列。磁浮列車的懸浮架具有結構解耦功能[12],每個單點懸浮控制系統可以認為在一定范圍內彼此獨立。因此,研究單點懸浮系統的控制性能具有通用性,可以將單點懸浮系統視為控制器設計的最小動力學單元[13]。

Nm為電磁鐵線圈匝數；xm(t)為懸浮間隙;Am為電磁鐵的磁極面積；Fm[im(t),xm(t)]表示電磁吸力；um(t)和im(t)分別表示電磁鐵線圈的電壓和電流；m為名義懸浮質量；fd(t)為擾動力；g為重力加速度圖1 磁浮列車懸浮系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of suspension system of maglev train

根據麥克斯韋方程和畢奧-薩伐爾定理,懸浮電磁鐵和軌道間的電磁吸力為

(1)

式(1)中：Wm[im(t),xm(t)]為磁場能量,可表示為

(2)

由電磁學的基爾霍夫定律可得

ψm[im(t),xm(t)]=Nmφm[im(t),xm(t)]=

(3)

式(3)中:ψm[im(t),xm(t)]表示間隙磁鏈；φm為總磁通量；R(xm)為磁阻,可表示為

(4)

式(4)中：μ0為真空磁導率。依據式(1)～式(4)可將懸浮電磁鐵和軌道間的電磁吸力改寫為

(5)

電磁鐵線圈的電壓可以表示為

(6)

(7)

式(7)中：Lm為電感,可描述為

(8)

由式(6)～式(8)做簡單數學變化,整理后有

(9)

將式(9)代入式(6)得

(10)

式(10)可以重新寫為

(11)

根據牛頓第二定律,得到系統垂向運動方程為

(12)

將式(5)代入式(12)有

(13)

綜上所述,常規單點磁浮系統的數學模型可表示為

(14)

顯然,式(14)表現出強非線性,對控制器的設計提出了很大的挑戰。

2 控制器設計

圖1所示的磁浮列車懸浮系統的動力學方程可由式(14)完全確定。目前懸浮控制系統采用串級控制的結構,將懸浮系統分為電流環和位置環兩個子系統[14]。電流環可由斬波器實現,而針對位置環進行控制器的設計,此時為電流控制器u=im(t)。

e1=x1-xd

(15)

(16)

選取一級子系統的Lyapunov候選函數為

(17)

第一級子系統的虛擬控制量定義為u1,則

(18)

式(18)中：e2(t)為輔助信號誤差，其表達式為

e2(t)=-u1(t)+x2(t)

(19)

根據式(15)～式(19),設計u1為

(20)

式(20)中：c1為控制系數,且c1>0。

將式(20)代入式(18)可得

(21)

對式(17)兩邊求導可得

(22)

(23)

式(23)中：V2為二級子系統的Lyapunov候選函數；V1為一級子系統的Lyapunov候選函數；e2為輔助信號誤差。

對式(23)兩邊求導,并代入式(14)可得

(24)

根據Backstepping法和(24),設計非線性的懸浮控制器為

(25)

式(25)中：c2為控制器系數,且c2>0。

為了證明Backstepping控制器的穩定性,將式(25)代入式(24)可得

(26)

3 仿真分析

磁浮列車懸浮系統的參數取值如表1所示。

表1 懸浮系統的參數

對于Backstepping控制器,c1=40,c2=20。為了證明所提控制器的優越性,將所提控制器的仿真結果和線性PD控制器的仿真結果進行對比。

PD控制器的設計過程為:首先,利用泰勒公式在平衡點位置附近求得系統線性狀態。

令

通過簡單的計算,最終可得平衡點附近的懸浮系統的線性化方程為

(27)

設計線性PD控制器為

(28)

式(28)中：upd為PD控制器,kp為比例系數,kd為微分系數。

根據式(27)和根軌跡法[4],可以選取PD控制器的參數為kp=4 500,kd=1 500。

通過MATLAB/Simulink搭建磁浮列車仿真模型,并分別采用線性PID控制器與Backstepping控制器,氣隙響應的仿真結果如圖2所示。

從圖2可以看出，Backstepping法沒有傳統線性PD控制器中超調的現象,且所提控制方法的靜態誤差基本為零,而PD控制器靜態誤差為0.91 mm。超調和靜態誤差容易導致磁浮列車有效懸浮間隙變小,容易引發車輛撞擊軌道,威脅磁浮列車運行安全。

圖2 懸浮氣隙響應比較的仿真結果Fig.2 Comparison of response of suspension air gap of simulation results

磁浮列車在運行中不可避免地會遭受外部干擾的影響。為了驗證本文方法在干擾下的魯棒性,在仿真中引入如圖3所示的外部非線性干擾力。仿真結果如圖4所示。

圖3 外部干擾力Fig.3 External disturbance force

圖4 干擾下懸浮氣隙響應的仿真結果Fig.4 Response of air gap with disturbance of simulation results

由圖4可以看出,懸浮系統在外部干擾下存在0.31 mm的氣隙波動,但仍然能穩定懸浮。這說明所提出的Backstepping具有很強的魯棒性。

4 實驗結果

通過單點磁懸浮實驗平臺來進一步驗證所提出的控制策略的有效性。因為在全尺寸的磁浮列車上做實驗比較困難,搭建了如圖5所示的單電磁鐵懸浮系統。由電磁鐵、車廂載荷(添加鋼板改變質量),二系彈簧和dSPACE 實時控制系統組成。相關控制算法都可以在MATLAB/Simulink中編程實現對單點懸浮試驗臺實時控制。

圖5 單點磁懸浮實驗平臺Fig.5 Single point maglev experimental platform

實驗將單點懸浮模塊從初始位置懸浮到目標位置。其氣隙動態響應如圖6、圖7所示。

由圖6、圖7可知,所提出的Backstepping控制方法能夠實現系統穩定懸浮,且沒有超調和靜態誤差,進一步證明了該方法的有效性。

圖6 氣隙動態響應Fig.6 Dynamic response of air gap

圖7 控制電流響應Fig.7 Control current response

5 結論

針對磁浮列車的單點懸浮系統的懸浮控制,提出了Backstepping控制方法。選取磁浮列車的單點懸浮系統為最小動力學單元,建立了系統的動力學模型,并在MATLAB/Simulink中搭建懸浮控制系統,進行仿真研究。將Backstepping控制器和線性PD控制器進行比較,結果表明Backstepping控制方法具有更好的動態表現,且沒有穩態誤差。當存在外界干擾時,也能很好的抑制干擾對懸浮系統的影響,魯棒性較強。最后,實驗結果表明該控制方法具有很快的響應速度和很高的懸浮精度。因此該控制方法有效,符合磁浮列車懸浮系統設計的要求。