基于仿生子結構的鋁合金板式節點拓撲優化

張 帆, 杜文風, 張 皓

(河南大學土木建筑學院, 開封 475004)

鋁合金空間結構具有自重輕、比強度高、防腐蝕性能好等優點,在大型公共建筑中得到了極大的應用[1],如上海悅達廣場[2]、長沙招商服務中心[3]、中國花博會主場館[4]等。鋁合金結構中節點的設計及加工是一個十分重要的環節,結構整體是否穩定、施工安裝是否方便、工程造價是否符合要求都與節點密切相關[5-6]。板式節點是目前鋁合金空間結構中普遍使用的節點形式,這種節點是通過螺栓將兩塊鋁合金圓蓋板及若干H型桿件裝配而成的半剛性節點[7]。

趙金城等[8]開展了板式節點的數值模擬分析,指出節點蓋板上的應力主要為正應力,其大小由中部向邊緣遞減；Bradshaw等[9]探索了工程中板式節點的施工問題,提出每個節點應至少連接3根構件才能有效抵抗不平衡力產生的扭轉效應；賴盛[10]對鋁合金板式節點進行了有限元分析,探索了節點的受力狀況和破壞機理,提出板式節點承受荷載時的屈服順序為桿件屈服、蓋板屈服、螺栓受剪屈服；鄒磊等[11]對鋁合金穹頂中的板式節點進行分析,證實了節點中螺栓孔周圍存在應力集中現象,且從蓋板外邊緣往節點中心逐步減輕；Maljaars[12]對鋁合金高溫性能進行了研究并建立了一套抗火性能評價體系,以此來確保鋁合金空間結構在火災下的使用性能；Guo等[13]建立了板式節點的有限元模型并對其進行了試驗及理論分析,得到了節點的受力性能與主要破壞模式。從目前中外對傳統鋁合金板式節點的研究狀況來看,主要進行了節點性能試驗、數值模擬分析、施工方法探索等方面的研究,針對節點的優化設計研究較少。當前鋁合金板式節點在結構構造設計時主要采用基于經驗的設計方法,即設計者根據經驗提出板式節點的初始模型,然后根據有限元分析結果進行反復修改和參數調整,但在實際工程中由于工期、荷載不確定性、設計經驗等因素的影響,鋁合金節點通常存在自重較大、材料利用率不高、應力集中明顯等問題[14],因此對傳統鋁合金板式節點進行優化設計研究是有意義及必要的。

結構的優化設計不僅能有效提升其自身性能,并且可在一定程度上減少結構材料的使用[15]。而拓撲優化是在滿足一定約束及負載條件下,找尋材料在優化區域內最佳的分布形式,獲得輕量化或某些性能最優的設計方法,是最高層次也是最為復雜的優化階段[16-17]。隨著計算機技術的進步和現代結構設計產業的高速發展,拓撲優化技術已成為結構優化設計中不可或缺的手段[18-19]。將拓撲優化應用到鋁合金板式節點的設計中,可對結構材料的分布進行空間上合理安排,尋求節點新構型并找尋其最佳傳力路徑,提高設計優化水平。

目前,傳統的拓撲優化方法把整個設計區域的材料密度作為優化對象[20],但在這種約束條件下得到的拓撲構型并不完全適用于所有實際工程,例如對狹長的懸臂結構進行傳統拓撲優化后,材料總集中在固定端附近,而起到承受荷載作用的懸臂端部和中部不占或只占較少材料,其拓撲結果難以得到實際應用。因此,Zhao等[21]提出了基于子結構的拓撲優化方法,其基本思想是將整個設計區域劃分為若干個子結構,并對每個子結構設置不同的結構體積分數上限,從而得到材料分布更加合理的拓撲結果,但此方法中的子結構是根據經驗和想象劃分的,其數量的多少和形狀的確定需要大量拓撲試驗,很難快速得到理想拓撲構型。近年來,杜家政等[22]提出了一種基于子結構的內力約束連續體拓撲優化,該方法主要用于解決結構模型較大情況下的拓撲優化問題；張保等[23]提出了一種基于子結構的數值計算技術,該技術可在保持求解計算精度的同時顯著提高其計算效率；袁康等[24]分析了大型復雜結構的有限元模型,其在子結構分析方法的基礎上,建立了子結構模型的簡化準則。從中外學者對傳統子結構拓撲優化的理論研究結果來看,在優化過程中需要大量子結構選型的拓撲試驗才能獲得相對較優的拓撲構型,根據經驗和想象進行子結構數量和形狀的劃分不僅時間消耗大,而且優化結果往往不佳[25-26],尋找合適的方法對子結構進行快速有效地劃分是十分有意義且關鍵的。

結構仿生學是以生物界中某些有機體的生命體征或組織結構規律為基礎,并利用這些原理來豐富和發展結構形式的一門學科[27]。根據結構仿生學來指導拓撲優化子結構的設計,從而使子結構的形狀劃分、尺寸設定及數量選取得到參考依據和理論支持,有利于快速得到最佳拓撲構型,提高拓撲結構性能。

現將仿生學原理應用到子結構的設計中,提出一種仿生子結構劃分方法,并將該方法應用于鋁合金板式節點的拓撲優化中,尋求節點的最佳傳力路徑,并構建一種新型鋁合金節點。

1 仿生子結構拓撲優化方法

1.1 仿生子結構拓撲優化方法的數學模型

研究的節點是連續體結構,故而采用連續體拓撲優化中的變密度法進行優化分析。變密度法(solid isotropic material with penalization model，SIMP)屬于材料(物理)描述方式的結構拓撲優化方法,此方法是在優化區域內,令每個已離散化的單元的相對密度ρ作為優化設計變量,用關于單元相對密度ρ的函數顯式地展示出其與彈性模量之間的關系,單元密度ρ在[0～1]內變化,當ρ=0時,代表此單元無材料填充；當ρ=1時,代表此單元材料填充滿；而在大多數情況下,單元相對密度ρ介于兩者之間。為了使材料能清晰地分辨出有或無這兩種分布狀態,則需引入冪指數懲罰項,令單元剛度k和楊氏模量E同單元相對密度為指數關系,既可表示為

(1)

式(1)中：k0為單元充滿材料時的剛度矩陣；E0為充滿材料時的單元楊氏模量；p是懲罰因子,其值常取3。

空間結構的節點剛度是影響其承載能力的重要因素,因此以最大化剛度(最小化柔度)為首選目標函數；在使用仿生子結構拓撲優化時,通常把整個拓撲優化區域按照生物結構進行子結構劃分,并且對不同子結構設置不同的體積分數約束,相對重要的部分取較高數值的體積分數約束,而其他部分取較低數值的體積分數約束。建立仿生子結構拓撲優化方法的數學模型,用數學語言描述可表示為

(2)

式(2)中：xp為第p個優化設計變量形式；s為整個結構的有限元總數；C為關于xp的函數,代表結構的柔度；u為結構位移；K為結構整體剛度；f為結構體系的節點力矢量；Vi為第i個較為重要的拓撲單元結構體積分數,Viu和Vil為其上界和下界；Vj為第j個較為次要的拓撲單元結構體積分數,Vju和Vjl為其上界和下界；m為較為重要的結構拓撲單元總數；n為較為次要的結構拓撲單元總數；V為結構的實際體積關于變量xp的函數；Vu代表整個優化問題所需的約束體積分數；在計算過程中引入較小的δ值以避免奇異性。

1.2 仿生子結構拓撲優化方法的驗證

為便于說明傳統拓撲優化與仿生子結構拓撲優化的區別,驗證所提方法的有效性,以Y型節點為例對這兩種拓撲方法進行比較分析。首先通過SolidWorks軟件建立Y型節點原始模型，如圖1所示,整個模型被分為優化工作區域(中間圓柱形區域)與非優化工作區域(3根H型鋼)。

圖1 原始Y型節點模型Fig.1 Original model of Y-type joint

然后參考2.1節的甲蟲前翅內部結構,將優化工作區域劃分成仿生甲蟲前翅子結構及其他子結構,如圖2所示。取仿生甲蟲前翅子結構體積分數約束為0.5,其他子結構體積分數約束為0.2,以最大化剛度為優化目標對原始Y型節點模型進行仿生子結構拓撲優化。

基于本文方法得到的單元密度等值面圖如圖3所示,為了比較,給出傳統拓撲優化方法得到的單元密度等值面圖如圖4所示。

經仿生子結構拓撲優化后的節點明顯不同于傳統拓撲節點,優化后出現大量孔洞,優化區域整體為實心類桁架結構。優化區域外側與H型鋼連接區域呈曲線形過渡,且過渡部分為薄壁結構。基于仿生子結構拓撲優化得到的結果能較為清晰地分辨出有材料填充與無材料填充的界限,材料分布更加合理,優化程度明顯高于傳統拓撲優化。

圖2 仿生子結構的區域劃分Fig.2 Regional division of bionic substructures

圖3 仿生子結構拓撲優化的單元密度等值面圖Fig.3 Isosurface map of element density of bionic substructures topology optimization

圖4 傳統拓撲優化的單元密度等值面圖Fig.4 Isosurface map of element density of traditional topology optimization

2 鋁合金板式節點的仿生子結構拓撲優化

以甲蟲前翅為仿生對象,進行鋁合金板式節點的仿生子結構拓撲優化研究。首先介紹甲蟲前翅的內部結構及仿生機理,然后詳細展示仿生子結構拓撲過程及拓撲結果,最后將其與傳統拓撲優化進行對比分析。

2.1 仿生甲蟲前翅結構

自然界中生物為了生存及適應環境,在經過漫長的歷史進化后往往形成了具有優異性能的生物體結構[28]。對于甲蟲前翅而言,為了便于飛行,結構整體需輕量化,并且其前翅暴露在外表保護軀干,因此還需有一定的強度[29]。甲蟲前翅所具有的優異性能與特殊功能源于其獨特的內部結構,根據陳錦祥等[30]拓萬永[31]對甲蟲前翅的研究可知,經KOH溶液處理后的甲蟲前翅內部結構如圖5(a)所示,其由蜂窩壁及小柱結構共同組成。基于甲蟲前翅結構在建筑構造學、結構美學等方面的優勢,張曉明[32]發明了一種仿生甲蟲前翅板，如圖5(b)所示,仿生甲蟲前翅板具有結構堅固、節省材料的優點,根據蜂窩壁結構的正六棱柱形狀特點再輔以小柱結構,使仿生甲蟲前翅板具有優良的抗壓、抗彎特性,此外還有自重較輕、不易變形、不易開裂等優點。

T為蜂窩壁厚；R為蜂窩單元半徑；d為小柱單元直徑圖5 甲蟲前翅內部結構及仿生應用Fig.5 Internal structure of beetle’s forewing and bionic application

將甲蟲前翅結構應用到拓撲優化子結構的設計中,將子結構分為仿生甲蟲前翅子結構及其他子結構,從而使子結構的形狀劃分有了仿生對象,不僅避免了傳統子結構拓撲優化中大量的拓撲試驗,還為相應子結構的體積約束取值提供了參考依據。

2.2 仿生子結構拓撲優化

(1)通過SolidWorks軟件建立鋁合金板式節點的初始模型，如圖6所示,整個模型分為優化工作區域(中間圓柱體)與非優化工作區域(6根H型鋁合金)。優化模型共計8個幾何參數，如表1所示。

圖6 板式節點初始模型Fig.6 Gusset-type joint original model

表1 初始模型的幾何參數Table 1 Geometric parameters of the original model

(2)定義材料屬性。將鋁合金板式節點優化模型導入HyperMesh軟件并采用OptiStruct求解器,創建并賦予材料PSOLID實體屬性,材料類型為鋁合金,對應的彈性模量E=70 374 MPa,泊松比μ=0.33,密度ρ=2.7×10-9t/mm3。

再進行仿生子結構劃分。根據圖5所示的甲蟲前翅內部結構及仿生模型,將設計優化區域劃分成仿生甲蟲前翅子結構及其他子結構,如圖7所示。

圖7 仿生子結構的區域劃分Fig.7 Regional division of bionic substructures

(3)進行網格劃分。采用tetramesh中的Volume tetra模塊進行網格劃分,最終劃分了608 040個節點,1 340 860個單元。并在已進行網格劃分的模型上布置荷載與約束。在5根桿件頂面每個節點處分別布置大小為100 N的軸力,每個分管頂面邊緣有536個節點,5根桿件共計268 kN,在第6根桿件底部設置為固定端約束。

(4)定義最大化剛度(最小化柔度)為目標函數,取仿生甲蟲前翅子結構體積分數約束為35%,其他子結構體積約束為15%進行仿生子結構拓撲優化。所得到的單元密度靜態云圖如圖8所示。密度值越大的單元越重要,是設計中需要保留的單元,相對應的區域是材料有效使用的區域；密度值較小的單元則是優化后可以去除的單元,相對應的區域可以根據實際要求在施工中選擇性忽略。

在HyperWorks的后處理軟件Hyperview中ISO面板內設置輸出結果為單元密度,均值方法設定為Simple,得到單元密度等值面圖如圖9所示。單元密度等值面圖可以更直觀地顯示出材料分布情況和載荷的傳遞路徑,所保留的單元均是新型節點主要受力的核心區域,同時也是材料必要分布的關鍵區域。

圖8 單元密度靜態云圖Fig.8 Cloud map of element density

圖9 單元密度等值面圖Fig.9 Isosurface map of element density

2.3 與傳統拓撲優化結果的對比分析

為對比傳統拓撲優化與仿生子結構拓撲優化的區別,定義最大化剛度為優化目標,以30%的結構整體體積為約束進行傳統拓撲優化,得到單元密度等值面圖如圖10所示。

圖10 傳統拓撲優化的單元密度等值面圖Fig.10 Isosurface map of element densityunder traditional topology optimization

經仿生子結構拓撲優化后的節點明顯優于傳統拓撲優化后的節點,優化區域存在7個明顯的孔洞,且桿件與優化區域外側連接部分呈曲線形過渡,過渡部分為薄壁結構,優化區域體積明顯減小。此拓撲結果能較為清晰地分辨出有材料填充與無材料填充的界限,上、下板應力大小不同的區域材料密度區分明顯,結構的材料分布更加合理,此優化程度明顯高于傳統拓撲優化。仿生子結構拓撲優化方法在降低子結構找形時間及減少子結構劃分數量的同時,使拓撲結果更加清晰明確。

3 新型鋁合金節點的創建與分析

參考仿生子結構拓撲優化的結果,構建一種便于工廠制作和工程安裝的新型鋁合金節點模型,并與傳統板式節點進行性能的對比分析。

3.1 新型鋁合金節點模型

(1)把基于仿生子結構拓撲優化得到的單元密度等值面圖形數據通過HyperMesh軟件中的OSSmooth模塊進行FEA reanalysis處理,并采用四面體單元進行了網格重新劃分,在等值面模型的基礎上生成新的有限元模型作為拓撲優化的最終結果。

(2)以新的有限元模型為基礎,利用SolidWorks三維建模軟件進行新型鋁合金節點的重建模設計。為充分發揮鋁合金材質的可擠壓性,便于實際工程中的加工制造,先在HyperMesh軟件中測量拓撲節點的詳細尺寸數據,在重建模過程中將拓撲節點表面凹凸特征進行光順化處理,而孔洞位置、連接板尺寸等保持不變,曲線過渡處均設置為圓弧過渡,然后在SolidWorks里進行精確還原,最終得到新型鋁合金節點模型,如圖11(a)所示,H型鋁合金尺寸已在表1列出,節點板的幾何特征如圖11(b)所示。

圖11 新型鋁合金節點Fig.11 New-type aluminum alloy joint

3.2 新型鋁合金節點靜力分析

將新型鋁合金節點幾何模型導入HyperMesh有限元軟件進行靜力分析。

(1)定義材料屬性。創建并賦予材料PSOLID實體屬性,材料類型為鋁合金6061-T6。

(2)進行模型處理。由于模型創建時會因不規整的線面交合而生成多余的微小曲面,所以在進行網格劃分之前,必須要對節點模型進行基于曲面的自動清理,以減少網格劃分過程中出現的失敗網格數目,局部位置需要手動劃分以提高模型質量,保證后續網格劃分的成功率。

(3)進行網格劃分。在劃分網格時,考慮網格數量、單元階次及網格質量等因素對計算精度的影響,綜合利用六面體和四面體網格劃分技術對本模型進行網格劃分。為保證3D網格質量,網格劃分過程中首先進行結構表面2D網格劃分,面網格全部通過網格質量檢查后,再分別利用solid map和tetramesh工具進行六面體與四面體網格劃分。在H型鋁合金桿件的單元劃分過程中,先采用2D-automesh進行桿件表面劃分,并且沿壁厚方向至少劃分3層網格,否則有限元結果可能嚴重失真,再使用3D-solid map進行桿件實體網格劃分,如圖12所示。對于鋁合金板式節點的上下圓蓋板采用tetramesh中的Volume tetra模塊對模型進行3D網格劃分。然后進行3D網格質量檢查,經檢查warpage、skew、jacobian及tet collapse這4項參數均在合理的數值范圍內。最終得到625 464個節點,2 571 715個單元,節點板質量約為4.77 kg。

(4)進行螺栓簡化。由于本文關注點在于不同節點在工況相同時其性能的對比,故可不考慮螺栓的預緊力作用,對于螺栓的處理可采用剛性單元法。該方法利用3個剛性rbe2單元模擬螺栓連接,其中2個剛性單元分別連接2個結構孔周圍的網格節點,第3個剛性單元則模擬螺栓桿的作用連接前述2個剛性單元,如圖13所示。

(5)在已進行網格劃分的模型上布置荷載與約束。在5根桿件頂面每個節點處分別布置大小為100 N的軸力,每個分管頂面邊緣有536個節點,5根桿件總荷載共計268 kN,并定義為載荷步1。選定第6根桿件底部邊緣面上所有節點,約束dof1、dof2、dof3、dof4、dof5、dof6 6個自由度(其中dof1、dof2、dof3分別表示x、y、z方向上的平動自由度,dof4、dof5、dof6分別表示x、y、z方向上的轉動自由度),并定義為載荷步2,如圖14所示。

圖12 有限元網格劃分Fig.12 Finite element mesh generation

圖13 螺栓連接模擬Fig.13 Simulation of bolted connection

(6)進行有限元靜力計算。鋁合金材質具有明顯的塑性現象,并服從Von-Mises屈服準則。計算結果如圖15所示,新型鋁合金節點最大位移為0.411 3 mm,位于H型桿件頂部；最大等效應力為137.5 MPa,位于各桿件與節點板的交界處內側。

對傳統鋁合金板式節點進行相同工況下的靜力分析,得到的靜力分析云圖如圖16所示。并且將傳統鋁合金板式節點與新型鋁合金節點的最大位移、最大應力及質量進行匯總對比分析,如表2所示,由于兩種節點所用螺栓相同,故僅統計節點板質量。

圖14 節點模型受力簡圖Fig.14 Force diagram of joint model

圖15 靜力分析結果圖Fig.15 Static analysis results

圖16 傳統板式節點靜力分析結果Fig.16 Static analysis results of original gusset-type joint

表2 結果對比Table 2 Results comparison

由計算結果云圖可知,這兩種節點的最大位移都位于桿件頂部,最大等效應力都位于桿件與連接板的交接處附近,但數值卻相差很大,應力分布及質量也各不相同。

由表2的結果對比數據可知,傳統鋁合金板式節點最大的位移為0.384 6 mm,最大的等效應力為171.8 MPa,質量為10.13 kg；基于仿生子結構拓撲優化得到的新型鋁合金節點最大的位移為0.411 3 mm,最大的等效應力為137.5 MPa,質量為4.77 kg。相較于傳統鋁合金板式節點,新型節點最大等效應力降低了19.97%,最大位移增加了6.94%,質量降低了52.91%。新型鋁合金節點比傳統板式節點的最大位移略有增加,但最大等效應力降低了約1/5,質量降低了約1/2,達到了保持節點受力性能良好的同時大大減輕自身質量的目的。

分析傳統鋁合金板式節點自重可以大幅優化的原因,在于上、下圓蓋板的等效應力遠低于節點的最大等效應力,造成圓蓋板結構材料的大量浪費,從而使節點的質量過大。并且等效應力最大值位于圓蓋板與桿件的交接處,應力集中現象明顯,對節點的穩定性及安全性產生不利影響。

由兩種節點的靜力分析結果云圖的對比可知,新型鋁合金節點連接板的等效應力分布較為均勻,雖然大部分區域的等效應力高于傳統板式節點對應區域的等效應力,但新型鋁合金節點的最大等效應力明顯低于傳統板式節點,說明傳統板式節點應力集中現象顯著且節點連接部分材料存在大量浪費的現象,而新型鋁合金節點有效緩解了應力集中問題,并充分發揮了材料性能優勢,其傳力路徑更加清晰明確且節點質量較輕。

4 結論

提出了一種仿生子結構拓撲優化法,綜合利用仿生學原理與拓撲優化方法,為拓撲優化子結構的劃分設計提供了新思路,并將此方法成功應用到鋁合金板式節點的優化設計中。主要結論如下。

(1)仿生子結構拓撲優化理論上是有依據的,參考仿生結構進行子結構的劃分,使其形狀、數量得到合理布置,并且規定不同子結構對應的拓撲約束合理取值范圍,有效避免了傳統子結構劃分方法的經驗性及設計過程的復雜性。

(2)Y型節點應用仿生子結構進行優化后的拓撲構型明顯區別于傳統拓撲構型,其拓撲結構材料分布更加合理,優化程度更高,表明本文所提出的方法在實踐上是可行的。

(3)對鋁合金板式節點進行仿生子結構拓撲優化,顯著改善了鋁合金板式節點采用傳統拓撲優化效果不佳的情況,低應變能區域得到有效刪除,并有效改善了傳統節點的應力集中現象,為鋁合金板式節點的創新設計提供了新的解決思路。

(4)基于仿生子結構拓撲優化結果,構建了一種輕質高強的新型鋁合金節點,相較于傳統鋁合金板式節點,其最大等效應力降低約1/5、質量降低約1/2,在提升節點力學性能的同時大幅降低了自重。