基于直線倒立擺的自控實驗平臺研究

易 磊，張 蓉，鄧春花，尹 仕

（華中科技大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

傳統(tǒng)自動控制原理實驗多采用實驗箱作為研究對象，系統(tǒng)相對封閉，缺少工程背景，開設(shè)的多是驗證性實驗，無法提高學(xué)生的設(shè)計和創(chuàng)新能力。針對以上問題，部分高校選用產(chǎn)品級的運(yùn)動控制對象，如倒立擺、平衡車等進(jìn)行實驗教學(xué)。倒立擺作為一個復(fù)雜、非線性、多變量、強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，能有效反映自動控制系統(tǒng)中穩(wěn)定性、快速性等指標(biāo)，是開設(shè)綜合性試驗的良好實驗平臺[1-2]。

然而現(xiàn)有的倒立擺實驗平臺占地空間大、價格貴，控制器接口封閉[3]。為此本文設(shè)計出結(jié)構(gòu)緊湊，硬件可視化、接口開放化、模塊化的倒立擺實驗平臺。通過開放接口可兼容不同微處理器，在實現(xiàn)層次性學(xué)習(xí)的同時，營造開放、多元的實驗環(huán)境，模塊化結(jié)構(gòu)有利于提高學(xué)生設(shè)計、應(yīng)用及創(chuàng)新的能力，培養(yǎng)學(xué)生解決實際工程問題的能力。

本文首先構(gòu)建基于微處理器的直線倒立擺實驗平臺，建立了直線倒立擺數(shù)學(xué)模型，搭建了倒立擺控制系統(tǒng)，利用根軌跡法和 SISO工具相結(jié)合的方法完成位置環(huán)和角度環(huán)控制器設(shè)計與仿真，然后對控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真與波形分析，最后完成軟硬件實驗平臺測試與分析。

1 直線倒立擺平臺和控制系統(tǒng)

直線倒立擺實驗平臺如圖1所示，包括控制器和倒立擺。其中倒立擺由直流電機(jī)、編碼器、帶輪、同步帶、滑塊、角位移傳感器、勻質(zhì)擺桿、限位開關(guān)及導(dǎo)軌等部件組成?？刂破饔晌⑻幚砥?MCU核心板、采樣調(diào)理板、電機(jī)驅(qū)動板和OLED顯示屏等構(gòu)成。

圖1 直線倒立擺實驗平臺實物圖

直線倒立擺控制系統(tǒng)由減速直流電機(jī)驅(qū)動帶輪旋轉(zhuǎn)，帶輪連接同步帶后帶動滑塊水平運(yùn)動，通過控制滑塊的運(yùn)動位置實現(xiàn)對擺桿的角度控制?？刂破魍ㄟ^編碼器和角位移傳感器采集滑塊位置x和擺桿角度φ反饋信息，采用位置和角度閉環(huán)控制算法輸出控制信號，經(jīng)驅(qū)動電路放大后驅(qū)動直流電機(jī)運(yùn)動。控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 直線倒立擺控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖2中，采用微處理器實現(xiàn)系統(tǒng)數(shù)字閉環(huán)控制，位置信號通過正交編碼器（QEP）計算得到，角度通過模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器（ADC）采樣，經(jīng)過數(shù)字調(diào)節(jié)器閉環(huán)控制后由定時器發(fā)出脈寬調(diào)制（PWM）信號控制直流電機(jī)運(yùn)動，輔助電源提供3.3、5、15 V電壓給相應(yīng)芯片。

2 直線倒立擺數(shù)學(xué)模型

在分析和設(shè)計控制器時，首先要建立被控對象的數(shù)學(xué)模型。本文采用牛頓第二定律和剛體轉(zhuǎn)動定律進(jìn)行直線倒立擺建模，在實際建模過程中進(jìn)行如下假設(shè)：

（1）將系統(tǒng)抽象成滑塊和勻質(zhì)擺桿組成，無形變；

（2）帶輪與同步帶無滑動摩檫，且同步帶無伸長；

（3）忽略擺桿和支點及各接觸環(huán)節(jié)的摩擦力。

簡化后的直線倒立擺物理模型如圖3所示[4-6]。

圖3 直線倒立擺物理模型

圖3中，F(xiàn)為滑塊受直流電機(jī)驅(qū)動力，x為位移，l為勻質(zhì)擺桿質(zhì)心與支點距離，φ為擺桿與垂直方向的夾角，m和M分別為勻質(zhì)擺桿和滑塊的質(zhì)量，N和P分別為滑塊與擺桿之間水平和垂直方向作用力大小。

現(xiàn)對滑塊進(jìn)行水平受力分析：

擺桿水平受力分析：

擺桿垂直受力分析：

擺桿繞重心轉(zhuǎn)動方程：

式中J為擺桿轉(zhuǎn)動慣量。

考慮φ在（-10°, 10°）調(diào)節(jié)，近似有：

式（2）―（4）可簡化為：

將式（6）、（7）代入式（1）、（8）可得：

對式（9）經(jīng)拉氏變換后整理得倒立擺傳遞函數(shù)：

從式（10）可知，F(xiàn)和x決定了φ，通過控制F和x可實現(xiàn)倒立擺直立控制。本直線倒立擺物理參數(shù)為M= 0.227 5 kg；m=0.092 3 kg；l=0.185 m；J=0.004 2 kg·m2；g=9.8 m/s2。將這些參數(shù)代入式（10）后得φ和F之間的傳遞函數(shù)為：

x和φ之間的傳遞函數(shù)為：

從式（11）可知，直線倒立擺是一個二階的系統(tǒng)，系統(tǒng)存在2個極點，分別位于原點兩側(cè)，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾時將無法維持原有平衡狀態(tài)，因此為實現(xiàn)倒立擺直立控制，必須引入反饋以形成閉環(huán)控制，同時為改善系統(tǒng)性能指標(biāo)，需要加入校正控制器。

3 控制器設(shè)計與仿真

3.1 控制系統(tǒng)設(shè)計

根據(jù)控制對象和性能指標(biāo)要求，控制器選用串聯(lián)校正的方式以改善系統(tǒng)性能，構(gòu)建的直線倒立擺位置角度控制系統(tǒng)框圖如圖 4所示?？刂破鳛镚c1(s)、Gc2(s)。

圖4 直線倒立擺位置角度控制系統(tǒng)框圖

位置給定信號xref與位置反饋信號x計算誤差運(yùn)算，經(jīng)控制器Gc2(s)輸出，角度給定信號φref與角度反饋信號φ作差后經(jīng)控制器Gc1(s)輸出擾動量Δ，位置環(huán)輸出與擾動量Δ相減后作用到被控對象倒立擺，由此實現(xiàn)滑塊位置控制和擺桿的直立控制。

當(dāng)φref=0時，圖4可簡化為圖5所示位置和角度雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)。

圖5中，控制器設(shè)計的好壞直接影響校正后倒立擺系統(tǒng)的性能指標(biāo)，其中串聯(lián)校正控制器多采用PI、PD和 PID等控制方式，而控制參數(shù)的設(shè)計方法有解析法、根軌跡法、頻域分析法及狀態(tài)空間法等。本文根據(jù)被控對象和控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，決定采用 PD控制算法，利用根軌跡法設(shè)計比例和微分參數(shù)[7]。

圖5 直線倒立擺位置角度雙閉環(huán)控制系統(tǒng)

3.2 角度環(huán)PD控制器設(shè)計

對于圖5中雙環(huán)控制系統(tǒng)，首先利用根軌跡法對角度環(huán)控制器Gc1(s)進(jìn)行 PD參數(shù)設(shè)計。角度環(huán)被控對象傳遞函數(shù)G1(s)為：

對應(yīng)雙實數(shù)極點+5.1、-5.1。

現(xiàn)對式（13）進(jìn)行校正，角度環(huán)控制器Gc1(s)為：

其中，Kp1為角度環(huán)控制器比例參數(shù)，Kd1為角度環(huán)控制器微分參數(shù)。

為達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)閉環(huán)極點位于S坐標(biāo)系左半平面，在設(shè)計 PD控制器時，將控制器零點設(shè)計在左實數(shù)極點-5.1位置處，即

將式（15）代入式（14）得到校正后角度開環(huán)傳遞函數(shù)：

校正后系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：

系統(tǒng)閉環(huán)極點為-5.1和5.1-1.626 8Kp1，為滿足極點位于左半平面，要求：

對于 0型系統(tǒng)，單位階躍輸入下穩(wěn)態(tài)輸出c(t)，由式（15）可得：

按照校正后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差<5%的要求，計算得到Kp1＜ 4 .18。

選取Kp1=4.15

最終得到角度環(huán)控制器Gc1(s)為：

校正后角度環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)Gb1(s)為：

在MATLAB命令窗口調(diào)用相應(yīng)的指令函數(shù)[8]，得到對應(yīng)校正后角度環(huán)閉環(huán)極點根軌跡如圖6所示。

圖6 校正后角度環(huán)根軌跡

校正后角度的單位階躍響應(yīng)曲線如圖7所示。

圖7 校正后角度環(huán)階躍響應(yīng)曲線

從圖6、7可知，校正后角度環(huán)閉環(huán)極點滿足穩(wěn)定性條件且階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差很小，說明角度環(huán) PD控制器設(shè)計具有可行性，可以實現(xiàn)直立控制。

3.3 位置環(huán)PD控制器設(shè)計

將角度環(huán)Gb1(s)等效為二階慣性環(huán)節(jié)，可以將圖5簡化為圖8。

圖8 簡化后直線倒立擺控制系統(tǒng)

圖8中校正前開環(huán)傳遞函數(shù)為：

從式（21）可知，位置環(huán)校正前存在4個開環(huán)極點和2個開環(huán)零點，極點為2個原點、-5.1和-1.626 5，零點為+4.77和-4.77。其中一條根軌跡起于原點，終于零點+4.77，可知在這條根軌跡上的閉環(huán)極點位于坐標(biāo)系右半平面，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

現(xiàn)對式（21）進(jìn)行校正，位置環(huán)控制器Gc2(s)為：

式中Kp2為位置環(huán)控制器比例參數(shù)，Kd2為位置環(huán)控制器微分參數(shù)。

考慮到控制對象的復(fù)雜性，引入 MATLAB圖形化單輸入單輸出設(shè)計工具 SISO進(jìn)行控制器波特圖和根軌跡設(shè)計，SISO可手動設(shè)置控制器零點和極點位置，并實時顯示單位階躍響應(yīng)曲線和根軌跡等。

在 MATLAB命令窗口輸入式（21）被控對象傳遞函數(shù)，然后啟動 SISO圖形化設(shè)計窗口，設(shè)置上升時間為2 s，調(diào)節(jié)時間為5 s，超調(diào)量為10%，在根軌跡圖形中選擇加入零點，并將零點位置放置在-0.05處，保證閉環(huán)極點處于左半平面。最后拖動波特圖中波形上下移動，調(diào)整增益以滿足參數(shù)要求。

設(shè)計完成后，位置環(huán)控制器Gc2(s)為：

位置環(huán)控制器設(shè)計完成后，對應(yīng)校正后位置環(huán)閉環(huán)極點如圖9所示。

圖9 校正后位置環(huán)根軌跡

校正后位置階躍響應(yīng)曲線如圖10所示。

圖10 校正后位置環(huán)階躍響應(yīng)曲線

從圖9、10可知，校正后位置環(huán)閉環(huán)極點滿足穩(wěn)定性條件且能快速穩(wěn)定，說明位置環(huán)PD控制器設(shè)計具有可行性，可以實現(xiàn)位置控制。

基于以上根軌跡法和 SISO工具設(shè)計完成位置環(huán)和角度環(huán)PD控制器，在Simulink搭建系統(tǒng)閉環(huán)控制仿真模型如圖 11所示。圖 11中角度環(huán) PD控制器Gc1(s)和位置環(huán)PD控制器Gc2(s)參數(shù)如前所述，控制對象傳遞函數(shù)如式（11）、（12）所示，位置給定為單位階躍信號，角度給定為0。

圖11 校正后系統(tǒng)閉環(huán)控制仿真模型

對圖11閉環(huán)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到對應(yīng)角度和位置仿真結(jié)果如圖12所示。可以看到，位置和角度均能快速穩(wěn)定，并且位置穩(wěn)態(tài)誤差滿足指標(biāo)要求，角度跟蹤效果較好。說明位置環(huán)和角度環(huán)控制器設(shè)計具有可行性，控制系統(tǒng)能實現(xiàn)位置和角度控制。

圖12 校正后位置和角度仿真波形

4 系統(tǒng)軟硬件平臺

4.1 最小系統(tǒng)設(shè)計

主控芯片采用意法半導(dǎo)體公司生產(chǎn)的 32位微處理器STM32F103，工作頻率為72 MHz，工作電壓為3.3 V，自帶兩路12位的ADC轉(zhuǎn)換器，支持SPI、I2C、CAN，具有多達(dá)7個定時器模塊，每個定時器模塊都可產(chǎn)生PWM控制信號。

4.2 位置檢測電路設(shè)計

擺桿位置通過阻值為5 kΩ（誤差±15%）、獨(dú)立線性度為0.1%的可調(diào)電位器檢測，由主控板ADC接口采樣分壓電阻電壓，從而獲得擺桿位置。

電機(jī)位置由帶A、B相的光電編碼器檢測，線數(shù)為 500。主控板正交編碼器接口通過邊沿計數(shù)的方式對A、B兩路脈沖進(jìn)行計數(shù)，通過程序讀取計數(shù)器的數(shù)值獲得電機(jī)位置[9-10]。

4.3 電機(jī)驅(qū)動電路設(shè)計

電機(jī)驅(qū)動電路采用英飛凌生產(chǎn)的BTN7960芯片，單個芯片內(nèi)部包含一個P溝道高端MOS管和一個N溝道低端 MOS管組成的半橋結(jié)構(gòu)，此外還集成有驅(qū)動電路，可直接通過主控板輸出PWM信號控制開關(guān)管的通斷。采用兩片BTN7960組成一個全橋結(jié)構(gòu)，外接負(fù)載為直流電機(jī)，通過控制PWM占空比和電平實現(xiàn)電機(jī)正反轉(zhuǎn)運(yùn)行，進(jìn)而控制滑塊位置。

4.4 程序設(shè)計

采用keil5進(jìn)行STM32程序開發(fā)，主要使用的外設(shè)包括：ADC、高級定時器TIM1、通用定時器TIM2正交編碼器接口、TIM3定時中斷、SPI、USART等。主程序主要完成外設(shè)初始化和工作模式設(shè)定，之后進(jìn)入死循環(huán)，其中TIM3設(shè)定為每5 ms產(chǎn)生一次中斷并執(zhí)行中斷服務(wù)程序，TIM2設(shè)置為邊沿計數(shù)讀取編碼器信號，TIM1計數(shù)器設(shè)置為增計數(shù)，PWM開關(guān)頻率為 10 kHz。

TIM3中斷服務(wù)程序如圖13所示。

圖13 倒立擺中斷服務(wù)程序

中斷服務(wù)程序每5 ms執(zhí)行一次，角度環(huán)執(zhí)行周期為5 ms，位置環(huán)執(zhí)行周期為25 ms，角度和位置環(huán)輸出相減后賦值給定時器的比較器，從而控制PWM占空比輸出。

5 實驗測試與結(jié)果分析

5.1 直立控制實驗

在倒立擺實驗平臺上，對擺桿進(jìn)行直立控制實驗，先保持?jǐn)[桿處于垂直向下的狀態(tài)，開機(jī)后通過手動起擺的方式將擺桿拉至向上直立的狀態(tài)，松開手后控制器通過位置環(huán)和角度環(huán)控制電機(jī)旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而控制擺桿處于直立狀態(tài)。

實驗過程中通過上位機(jī)每50 ms采集一次擺桿角度和滑塊的位置信號，并對數(shù)據(jù)處理后繪制成相應(yīng)波形，最終得到滑塊位置和擺桿角度波形分別如圖 14和15所示。

圖14 穩(wěn)態(tài)時滑塊位置波形

圖15 穩(wěn)態(tài)時擺桿角度波形

當(dāng)滑塊處于中心位置，脈沖為 0。滑塊其他位置的脈沖數(shù)通過編碼器獲取，然后拖動系統(tǒng)進(jìn)行確定。可以看到，系統(tǒng)能快速到達(dá)給定位置和角度，并且滑塊和擺桿均能穩(wěn)定在系統(tǒng)期望值附近，且穩(wěn)態(tài)誤差較小。以上實驗說明所采用的控制系統(tǒng)能保證控制對象穩(wěn)定運(yùn)行，且滿足設(shè)計要求。

5.2 抗擾動實驗

在實驗平臺上進(jìn)行抗擾動實驗，在系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)后，通過手動撥動擺桿的方式加入2次較小的擾動，上位機(jī)每50 ms采集一次信號并對數(shù)據(jù)處理后繪制成相應(yīng)波形，最終得到擾動過程下的滑塊位置和擺桿角度波形分別如圖16和17所示。

圖16 擾動過程下滑塊位置波形

通過圖16和17可知，擺桿和滑塊初始處于穩(wěn)定狀態(tài)，在1.5和7.5 s突加擾動后擺桿和滑塊在控制器作用下進(jìn)行調(diào)整，經(jīng)過2 s后又能恢復(fù)到初始狀態(tài)，并最終穩(wěn)定在期望值。說明控制系統(tǒng)具有一定的抗干擾能力，所設(shè)計的控制器滿足實驗要求。

圖17 擾動過程下擺桿角度波形

6 結(jié)語

本文設(shè)計了一種基于微處理器的直線倒立擺控制系統(tǒng)，可實現(xiàn)擺桿直立控制和滑塊的位置控制，能滿足綜合性實驗教學(xué)要求，有助于提高學(xué)生設(shè)計與工程應(yīng)用能力。