一個具有恐懼效應的捕食者-食餌系統(tǒng)的無窮遠平衡點

趙 一 錦

(四川大學 數(shù)學學院，四川 成都 610064)

0 引言

種群動力學模型是描述種群與環(huán)境、種群與種群之間相互競爭、相互作用的動力學關(guān)系的數(shù)學模型，可用于描述、預測、調(diào)節(jié)和控制物種的發(fā)展過程與發(fā)展趨勢[1].兩個不同物種的種群在同一個生態(tài)環(huán)境中生存，它們之間的關(guān)系包括捕食者與被捕食者、寄生物與寄主、相互競爭以及互惠共存[2].早在20世紀20年代，Volterra[3]已經(jīng)利用微分方程解釋了第一次世界大戰(zhàn)期間捕食者魚類數(shù)量增加的事實.隨著種群動力學的發(fā)展，科研工作者們建立了一系列微分方程模型來刻畫捕食者種群與食餌種群之間的關(guān)系.實驗發(fā)現(xiàn)，動物可以對感知到的捕食風險表現(xiàn)出反捕食者反應[4]，除此以外，恐懼可能影響食餌幼年時期的生理狀況并進一步對它們在成年后的生存構(gòu)成不利[5].Zanette等[6]通過實驗證明即使沒有直接捕殺的影響，感知到的捕食風險也會影響食餌種群的繁殖.

2016年，Wang等[7]引入了一個恐懼效應f(k,y)，它滿足

用于解釋由于恐懼導致的反捕食者的防御成本，其中，y表示捕食者的種群數(shù)量，k反映了驅(qū)使食餌做出反捕食行為的恐懼程度.他們由此進一步提出了一個具有恐懼效應且?guī)в蠬olling-II型功能反應的捕食者-食餌模型

(1)

和一個內(nèi)部平衡點E2:(1,y*)，其中y*是由簡化系統(tǒng)

的系數(shù)表示的，其中

它們是由系統(tǒng)(1)作變換

(2)

得到的.在雙曲型情形下，Wang等[7]通過討論系統(tǒng)在平衡點處Jacobi矩陣的行列式和跡的符號給出了平衡點的穩(wěn)定性.利用Dulac-Bendixson定理……