基于凍結磁導率的變壓器漏感計算

張懷亮，操桃秀，齊 悅

（1.海裝裝備項目管理中心，北京 100000；2.中國艦船研究設計中心，湖北 武漢 430064）

0 引言

變壓器漏感是分析變壓器運行的重要參數(shù)，對分析變壓器的性能以及應用有著重要的作用[1]。在變壓器的設計過程中，工程師往往需要對變壓器的漏感進行仿真估算[2-3]；近幾年來，在一些新的變壓器保護理論中，如等值電路參數(shù)法[3-4]、磁通特性判別法[5]、功率差動原理及基于變壓器的回路方程法中也需要已知變壓器各繞組的漏感[6-7]。在已有的研究中，研究者們多注重于計算變壓器的短路電抗，然而短路電抗是原、副邊繞組漏感之和，無法精確確定各繞組漏感的具體值。

文中通過運用有限元數(shù)值分析方法和直接耦合法同時求解電磁場和電路方程，建立了變壓器的三維場-路耦合模型。運用凍結磁導率的方法計算了變壓器的自感互感矩陣，再由自感互感矩陣計算得到了變壓器的漏感參數(shù)。該方法從變壓器的幾何結構出發(fā)，能充分考慮變壓器的制造工藝、結構特征以及連接組別等因素。

1 場-路耦合計算原理

1.1 場域控制方程

三維渦流場的計算主要可以分為矢量磁位A法和標量電位T法兩大類[8-10]。T法（其中典型的為T φφ法）雖然未知數(shù)少，求解效率高；但在場-路耦合計算中，T法與電壓項耦合比較復雜；當模型中含有鐵磁材料時，T法計算的誤差也較大，這也使介質(zhì)參數(shù)磁導率μ的迭代很難收斂[8]；然而在變壓器內(nèi)部短路過程中，鐵心局部區(qū)域會進入飽和，這反而降低了求解速度。矢量磁位A法在場-路耦合計算中易與引入的電壓項耦合，對含有鐵磁材料的模型計算精度較高。由以上分析可見，矢量磁位A法比較適合變壓器的場-路耦合計算，故文中引入矢量磁位A，忽略鐵心疊片渦流效應，根據(jù)Maxwell方程組可得三維非線性磁場的控制方程[11]。

上式中：μ為磁導率，H/m。

變壓器在實際運行中，磁力線一般不會或只有極微小部分會穿出變壓器的油箱。文中以變壓器油箱為整體求解場域，在計算過程中假設變壓器磁力線不會超過求解域，即邊界上磁感應強度的法向分量為零，數(shù)學表達式如下所示。

1.2 有限元離散

有限元離散過程中，插值函數(shù)對計算過程和精度也有較大的影響，傳統(tǒng)的節(jié)點有限元計算時易出現(xiàn)偽解，處理邊界條件也不方便；而棱邊元在這些方面具有一定的優(yōu)勢。針對于變壓器模型，文獻[10]中分析就表明：節(jié)點有限元法在計算變壓器漏磁時誤差較大，而棱邊有限元法具有較高的計算精度，更適合變壓器的三維場計算。故文中運用Whitney型棱單元的形狀函數(shù)[11]，采用最常用的四面體離散單元，單元插值函數(shù)如下所示。

上式中：α為單元棱邊的標號；Ni、Nj為單元節(jié)點的形狀函數(shù)；Aα為矢量磁位在棱邊上的線積分。

根據(jù)式（3），運用加權余量法對式（1）、（2）離散可得如下矩陣方程。

為了文中敘述的方便，此處將變壓器整個求解域分為8部分：鐵心、油箱組成的無電流區(qū)（1部分），原副邊三相繞組、故障繞組組成的源電流區(qū)（共7部分），則式（4）可寫為如下形式。

上式中：Fj、Bj分別為各區(qū)域形成的矩陣對整體矩陣的貢獻（j=0對應無電流區(qū)，j=1~7對應各繞組組成的源電流區(qū)）；其中分別為線圈的匝數(shù)、總截面積（除去繞組外表皮絕緣部分）和切向方向的單位矢量；Ij（j=1~7）為各繞組電流的大小。

1.3 電路方程

對電路中各支路列出方程可得：

上式中：U、I、E、L、R分別為各支路中的電壓源、電流、繞組反電勢、電感以及電阻矩陣；其中繞組的反電勢e可由下式計算[12]。

上式中：Ωc為繞組截流區(qū)，則式（6）可寫成如下形式。

上式中，B*T=[B1B2B3B4B5B6B7]T。

由所得的式（4）場域離散方程和式（8）所示的電路方程可得場-路耦合計算方程如下所示。

1.4 時間離散

采用Crank-Nicholson離散格式[13]，式（9）對應的離散格式為：

由于求解區(qū)域中存在非線性的鐵磁材料，式（10）為非線性的矩陣方程，文中采用牛頓-拉夫遜法進行迭代求解，運用ICCG法進行矩陣求解運算即可實現(xiàn)場-路耦合計算。

1.5 鐵心損耗計算

文中分析過程中，雖然忽略了鐵心渦流效應，但鐵心的損耗依然可通過最常用的損耗分離模型進行估算。損耗分離模型認為鐵心的損耗可分為三部分表示，如下所示。

式中：k1=khf+kcf2；k2=kef1.5；kh為硅鋼片材料的磁滯系數(shù)；kc=π2σd2/（6ρ）為渦流損耗系數(shù)，σ為硅鋼片的電導率（S/m）；d為硅鋼片的厚度（m）；ρ為鐵心的質(zhì)量密度（kg/m3）；ke為附加損耗系數(shù)。根據(jù)硅鋼片廠家提供的損耗曲線，采用最小二乘法可以求出系數(shù)k1、k2，進而求出kh、ke，如下所示。

2 仿真模型

文中以S9-500/10型三相電力變壓器進行計算，變壓器的參數(shù)見表1.

表1 變壓器模型參數(shù)

建立變壓器有限元模型和場-路耦合模型如下圖1、圖2所示。

圖1 變壓器有限元模型

圖2 場-路耦合仿真示意圖

圖2 中：UM、rM（M=A，B，C）為變壓器電壓激勵和內(nèi)阻；LN（N=1~6）分別對應三相原副邊繞組，L7為短路故障繞組，它們分別與式（5）中的Fj、Bj一一對應；rload、Lload為三相對稱阻感負載；圖中開關S的開斷與閉合可以模擬變壓器正常工作和內(nèi)部故障兩種狀態(tài)，變壓器內(nèi)部短路可以被看做是變壓器繞組連接方式的改變，從上文可以看出，式（8）只建立了各繞組的獨立支路方程，并未考慮繞組的連接方式，因此在式（8）左乘考慮繞組連接方式的變換矩陣即可模擬開關S的開斷與閉合（變壓器正常工作與內(nèi)部故障），變換矩陣如下所示。

S斷開（變壓器正常工作）：

S閉合（變壓器內(nèi)部故障）：

3 基于凍結磁導率的變壓器自感互感矩陣

計算瞬時自感互感矩陣的必要性，三相完全對稱，三相漏感也不完全一樣，變壓器工作時，漏感并不是一個定值，漏感參數(shù)對新型的變壓器保護很重要。

3.1 能量法自感互感矩陣計算的原理

對于空間中兩線圈i、j分別通入電流Ii、Ij，則空間中儲存的能量為：

式中：Li、Lj分別為線圈i、j的自感、Mij為其互感。

若對線圈i、j分別通入電流Ii、0 時，空間磁場分布為Bi、Hi，對線圈通入電流為 0、Ij，空間磁場分布為Bj、Hi；當空間中全為線性材料，根據(jù)式（15），線圈i、j分別通入電流Ii、Ij時，由疊加定理可知此時空間磁場儲能為：

由式（15）、（16）可得線圈的自感、互感分別為：

上述計算電感矩陣的前提是模型材料為線性（磁導率為常數(shù)），但對于常常分析的電機等設備，多含有非線性的鐵磁材料，計算自感互感矩陣時應考慮鐵磁材料飽和的影響，計算出來的結果才有實際意義，運用凍結磁導率的方法可解決該問題，具體實現(xiàn)步驟如下：

1）施加激勵，根據(jù)模型參數(shù)，計算模型中非線性材料的工作點，并計算此時每個網(wǎng)格單元的磁導率，凍結各網(wǎng)格單元的磁導率，此時磁導率為常數(shù)。

2）根據(jù)1）中計算的結果，將非線性材料的磁化曲線替換為1）中保存的磁導率，此時模型材料參數(shù)均為線性，對每個繞組施加1 A的激勵，運用式（17）~（19）計算模型的自感與互感。

可見，運用凍結磁導率的方法是計算非線性材料工作在不同工作點處的自感、互感，具實際應用價值。

3.2 自感互感矩陣與漏感之間的關系

變壓器（有m個繞組組成）的自感互感矩陣表示如下：

上式中，[M]為變壓器的自感互感矩陣。

設繞組m上的電壓電流分別為um、im，其關系可由下式表示：

利用短路測試法，僅對一套繞組供電，其余繞組都短路（即繞組端電壓為0），此時上式可寫為：

以某一變壓器計算為例，計算可得變壓器正常工作情況下的漏感變化，如圖3、圖4所示。

圖3 變壓器正常工況時原邊漏感

圖4 變壓器正常工況時副邊漏感

變壓器空載合閘時候的漏感如圖5、圖6所示。

圖5 變壓器空載合閘時原邊漏感

圖6 變壓器空載合閘時副邊漏感

4 結語

1）建立了變壓器的場-路耦合模型，對變壓器內(nèi)部故障進行了仿真分析，模型能充分反映變壓器內(nèi)部故障后的特征，分析表明變壓器內(nèi)部故障同時受故障繞組位置和匝數(shù)的影響，仿真結果可作為分析變壓器內(nèi)部故障的理論依據(jù)。

2）所建立的變壓器場-路耦合模型，具有普適性，能夠用于分析變壓器的其他暫態(tài)現(xiàn)象，對分析其他電磁設備也具有一定的借鑒意義。