從一題多解中感悟橢圓斜率之積問題的多種背景

吳銘豪 黃立

1 問題來源

4解后反思

4.1點參線參，設而不求

對于圓錐曲線中動態背景下的定值問題，基本思路為設出參數來表示與待求目標相關的直線方程或點的坐標，再通過運算消去參數，證明結論.其中設線參和設點參是相同的，兩種方法各有千秋，當設線的方程或者點的坐標不當時，可能會使計算過程復雜，導致半途而廢.反之，設得巧妙時，能簡化運算.設參時要善于發現圖形中線與點之間的關系，并緊扣住引元消參的基本運算方向，從而達到事半功倍的效果.

4.2挖掘背景，高屋建瓴

本題具有雙割線、相交弦的“蝴蝶型”模型特點，常常考慮到極點極線的背景，可將問題分解成先證過定點、后證定值的問題.在高考解析幾何的解答題中，如果能挖掘題目的背景，就能有明確的解題方向.常見的背景有圓錐曲線的第一定義、第二定義、第三定義、垂徑定理、中點弦、極點極線、阿基米德三角形、阿波羅尼斯圓、仿射變換等.

4.3特定方法，簡化計算

在一些特定背景下，合理運用特定方法往往能簡化計算.例如本題可運用點差法、仿射變換、二次曲線系、參數方程、雙斜率齊次化等方法.除此之外，圓錐曲線中常用的特定方法還有：遇到定比分點時可運用定比點差法;求軌跡方程時可運用相關點法;遇到切線可用隱函數求導法等.

5結束語

總之，對于解析幾何解題訓練，蘇聯數學教育家奧加涅說過：“必須重視很多習題潛在著進一步擴展其數學功能、發展功能和教育功能的可行性.”一些典型的背景和方法，往往是某類題目的題根，平時的訓練中嘗試地尋找這類試題的生長點、命題背景，探究題源，挖掘命題的題根，可以達到由例及類、觸類旁通的目的.

（本文系2020年度福建省中青年教師教育科研項目（基礎教育研究專項）《核心素養導向下的高中數學教學模式研究》（項目編號JSZJ20082），2021年度福建省電化教育館教育信息技術研究課題《在線課程的建設與應用研究》（項目編號KT21127）階段性研究成果）