函數奇偶性的逆向教學設計

張凡 董濤

函數奇偶性的學習與函數的概念、函數的其它性質密切相關，同時也是后續學習基本初等函數的一個關鍵知識點.逆向教學設計為函數奇偶性的教學提供了一種全新的教學設計模式，著重突出了學習目標的可操作性，強調學習目標的落實，促使教師聚焦數學基本問題.在實際教學中，我們通常習慣先入為主，從輸入端即教師開始思考教學目標，而非從輸出端即學生開始思考學習目標.逆向教學設計則是一種以終為始，以學生的學為本，從學生的學習結果出發，逆向設計教學過程，在課堂中再正向實施的教學模式.這對培養學生的數學核心素養起到關鍵的作用.

1逆向教學設計的實施過程

函數的奇偶性作為函數的一個特殊性質，是函數概念與函數性質的深化學習.函數奇偶性逆向教學設計過程如下.

1.1確定預期效果

基于課程標準和核心素養的教學理念，結合高一學生的學情，確定如下目標：（1）學生可以結合具體的函數了解奇偶性的含義;（2）學生運用函數圖象理解和研究函數奇偶性，用符號表達奇偶性的定義.

學習目標還需進一步分解成具體的問題，以學習目標為中心，問題為框架，從而幫助學生掌握重要內容，實現對知識的遷移.例如函數的奇偶性教學中可以列出以下問題：（1）為什么要研究函數圖象的對稱性？（2）函數圖象的對稱性特征為什么要符號化？（3）圖象的對稱性如何轉化為點的坐標之間的關系？（4）如何用函數自身的語言刻畫這種對稱性？（5）如何一般性論證經歸納概括所得的這一結論？（6）如何反向說明這一結論的逆命題也是成立的？

基于上述問題，進一步預判學生的學習結果，包括學生所能掌握的知識與技能，學生能夠實現的知識遷移以及最終養成的核心素養.例如函數的奇偶性教學中可以列出以下預期學習結果：（1）學生掌握函數的奇偶性這一性質，理解用數學語言描述函數奇偶性的意義;（2）學生能類比研究偶函數的思想方法去研究奇函數;（3）學生通過對函數的奇偶性的研究，掌握對函數性質的研究方法;（4）學生能利用函數的奇偶性考查和解決實際問題.

1.2確定合適的評估證據

與傳統教學設計有別，逆向教學設計要求教師從一個“評估員”的角度進行思考，而非直接考慮教學.為了證明學生達到預期的學習結果，需要收集一些合適的評估證據，來表明學生已獲得了重要的知識與技能，實現了對知識的遷移.為此，在函數的奇偶性教學中設計了以下表現性任務：（1）觀察函數f（x）=x和g（x）=|x|的圖象，描述其共同特征;（2）結合圖、表，用自然語言描述圖象特征;（3）用符號語言定義偶函數;（4）類比研究偶函數的思想方法給出奇函數的定義.

除了表現性任務，“證據集”還包括傳統的評估方式如：課堂對話（學生對每一個基本問題的及時反饋）、課堂探究（類比研究偶函數的思想方法研究奇函數）以及隨堂檢測（判斷函數的奇偶性、利用函數的奇偶性繪圖等）.

另一方面，學生的自我評價和反饋也很重要，學生不僅需要自評對函數奇偶性的理解，還需要互評對函數性質的研究方法，讓學生及時反思自己的學習理解情況.

1.3設計學習體驗和教學

為了達到預期效果，該如何安排教與學的體驗來幫助學生獲得所需知識和技能？如何創設恰當的問題情境引導學生的思維？基于逆向教學設計的模板，設計出函數奇偶性的關鍵教學活動.

創設情境、引入概念

問題1 哪些函數圖象也具有對稱性？（討論過后幾何畫板展示f（x）=x和g（x）=|x|的圖象）.

設計意圖 喚醒學生的已有知識，在描述其共同特征的過程中引入“對稱”的概念，為后續教學提供感性材料.

新知探究、建構概念

問題2 請同學們觀察函數h（x）=0.0000001x+1的圖象，能否從圖象上判斷出它是否為偶函數？（幾何畫板展示h（x）=0.0000001x+1的圖象）

追問 有沒有其他的判斷方法呢？

設計意圖 基于先前分解出的問題“函數圖象的對稱性特征為什么要符號化？”來設計這個問題，主要是為了引發學生的認知沖突，讓學生體會到利用圖象判斷函數的奇偶性雖然較為直觀方便，但有時候不夠精確.同時也啟發學生利用函數單調性概念的方法，從數與式的角度去解釋“對稱”這一特征.

問題3 對函數f（x）=x和g（x）=|x|，請同學們以小組的形式，通過列表的方法，觀察自變量的值與相應函數值的規律.

設計意圖 圍繞問題“圖象的對稱性如何轉化為點的坐標之間的關系”，回歸學生熟悉的函數f（x）=x和g（x）=|x|，通過列表啟發學生得到對稱圖形的實質是點的對稱，從而去研究對稱點的坐標.這一過程開辟了從定性研究到定量研究的大門，幫助學生將研究的視角從整體轉移到局部;同時讓學生體驗了由“形”到“數”的過程，鍛煉學生的直觀想象能力.

問題4 能否用函數自身的語言去刻畫這種對稱性呢？

設計意圖 由具體x的值和對應的函數值，抽象出這種對稱性的符號表達.由具體函數的特征分析抽象概括出一般函數的性質定義.

即時鞏固、理解概念

問題5 請同學們思考兩個問題（PPT展示問題）

題1 對于定義在R上的函數f（x），請同學們判斷以下命題是否正確.

（1）若f（x）是偶函數，則f（1）=f（-1）;

（2）若f（2）=f（-1），則f（x）是偶函數;

（3）若f（1）≠f（-1），則f（x）不是偶函數.

題2 函數f（x）=x，x∈[-3，2]是偶函數嗎？

設計意圖 題1主要是為了幫助學生加深對偶函數概念的理解，從正反兩面設計問題，利用邏輯的雙向性幫助學生辨析定義，深化認識.題2主要是為了引導學生牢牢把握“定義域優先”的要點，奇偶性是函數在它的定義域上的整體性質，所以判斷函數的奇偶性應先明確它的定義域.

引導探究、深化概念

問題6 請同學們再次以小組的形式，類比剛剛的研究過程，觀察函數f（x）=x和g（x）=1/x（x≠0），嘗試用符號語言描述它們的共同特征.

設計意圖 類比研究偶函數的思想方法給出奇函數的定義，幫助學生發展邏輯思維能力與養成言必有據的科學態度.

學以致用、鞏固概念

問題7 判斷函數f（x）=x+x的奇偶性.圖2是函數f（x）=x+x圖象的一部分，你能根據f（x）的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？

設計意圖 幫助學生理解函數奇偶性定義的內涵，考查學生是否把握奇（偶）函數圖象的性質.

總結反思、提升能力

問題8 通過本節課的學習，如果已知y=f（x）為奇（偶）函數，那么我們怎樣簡化對它的研究？

設計意圖 回顧對函數的奇偶性的研究，組織學生討論對函數性質的一般研究方法，不僅可以幫助學生進一步理解函數奇偶性的內涵和外延，也可以使學生在總結的過程中有意識地思考所學知識在知識體系中的地位和作用.

2啟示

通過對函數奇偶性這節課逆向教學設計的研究與探索，我們可以發現，奇偶性概念蘊含著“轉化思想”，本節課的教學重點是如何依靠思維的加工，把“形”的特征符號化、形式化，從而獲得“理性的抽象”.下面以WHERETO元素（見表1）作為活動編碼，談談逆向教學設計的好處.

2.1教學設計的出發點從“教師中心”轉向“學生中心”

在逆向教學設計中，學生在學習開始前就有明確的學習方向與預期結果，即W.在本節課的教學設計中，函數的奇偶性作為函數的基本性質，它從對稱的角度對函數做了分類.如問題1的拋出，正是基于我們由學習目標分解出的一個問題即為什么要研究函數圖象的對稱性？我們希望學生在觀察函數圖象的過程中能夠引入“對稱”的概念，為后續教學提供思路.真正的基本問題是經得住不斷問索的，教師的任務就是不斷地挑戰簡單、單一的理解，促進學生的深入思考，即R.本節課的關鍵是引導學生從符號的角度去解釋這一分類，而問題2的設計，不僅是為了引發學生的認知沖突，同時也希望啟發學生另辟蹊徑，從數與式的角度去解釋“對稱”這一特征.函數奇偶性的逆向教學設計真正體現了“以學生為中心”的教學理念，關注學生的學習發展貫穿整個教學設計的始終.

2.2教學內容的設計更加注重激活學生思路，幫助學生獨立思考

不同于傳統的教學設計，逆向教學設計體現的是一種為目標而學的教學方式.在上述教學設計中，把握住了以下幾個問題.①教師要把握學生的學習情況和激發學生的學習興趣，即H.如問題1、2、3激活了學生思路;②為保證所有的教學活動都是在為最終目標做準備，教師要設計幫助學生體驗和探索的問題，即E.如問題3的設計，就是讓學生體驗了“函數解析式→函數圖象→函數圖象的特征→點與點之間的位置關系→點的坐標之間的關系”這一由“形”到“數”的過程，鍛煉學生的直觀想象能力.問題4是為了引導學生經由直觀分析到演繹證明、從自然語言到符號表示，使學生認識到數學研究是一條從感性走向理性、從粗糙走向精細的發展之路，并為后續奇函數的研究做了鋪墊;③為確保教學效果的最優化，教師可以通過對比學生能力與預判目標的差距及時調整相應的教學活動，合理安排學習體驗順序，即O.

2.3教學關注塑造學生的數學素養

通過緊扣主要問題與基本方法，幫助學生形成數學素養.如問題2、3、4，引導學生由“數”想到形，由“形”轉化為“數”，由具體函數的特征分析抽象概括出一般函數的性質定義，培養了學生的直觀想象和數學抽象能力.問題6引導學生通過類比得出奇函數的定義，培養了學生的邏輯推理能力.

2.4教學評價由終結性評價轉向實時評價，提供持續性的反饋

逆向教學設計修正了傳統教學設計滯后評價的缺點，更加重視評估的完整性.因此，我們考慮在教學設計中制造學生自我評估的機會，幫助學生學習有效學習策略并應用于自身的學習中，即E.如問題5、6的提出，主要是希望通過自主探究，幫助學生發展邏輯思維能力，同時以動態的評價為導航及時對學生的學習情況進行反饋，有效地促進了數學課程標準與學科核心素養在課堂中的落實.此外，教師還應根據學生的發展需求、學習風格、先前知識和學習興趣來調整設計，即T.如問題8的設計，回顧對函數的奇偶性的研究，組織學生討論對函數性質的一般研究方法.在這一教學過程中，不僅幫助學生實現了知識的遷移，同時也培養了學生的核心素養.