巧用平幾知識解決解析幾何問題

盧燕霞

解析幾何是高中數學的重要內容，也是高考考查的重點內容之一.高考相關試題強調綜合性，綜合考查數形結合、函數與方程、化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般等思想方法，突出考查推理論證能力和運算求解能力，考查形式靈活多樣.一般的解法是設出點的坐標或者曲線方程，通過題設條件列出滿足條件的方程或方程組，解方程（組）求解.但這類解法往往計算繁瑣，且計算過程中可能需要一定的技巧.這可能是導致解析幾何問題的求解過程中“對而不全”現象普遍存在的主要原因.其實解析幾何的本質是用代數的方法研究幾何問題，如果我們能深入挖掘題目中圖形或曲線的幾何性質，借助平面幾何的相關知識和技巧，對題目所給的幾何條件準確代數化（坐標化），往往能達到化難為易、化繁為筒、事半功倍的效果.下面擬以2018年全國Ⅱ卷第12題為引例，談談這類試題的解題思路和方法，供復習教學參考.

1利用三角形的性質求橢圓的離心率

離心率是反映圓錐曲線本質屬性的一個量，也是高考考查的一個熱點.一般有兩種題型：求離心率的值、求離心率的取值范圍.解答的基本思路是求出橢圓或雙曲線的長軸和焦距之間的比值，借助平面幾何知識，我們往往可以回避設點的坐標、直線方程、求點的坐標等繁瑣步驟，從而快速求解.

解析方法1充分發揮平面幾何的作用，利用輔助線的優勢，過點P作x軸的垂線，從而構造一個斜邊長為2c且有一個內角為60°的直角三角形，再利用等腰三角形和直角三角形的性質解題，由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖1所示，

方法2先求出兩條直線PF與PF的方程，再求出兩條直線交點P的坐標，然后把P的坐標代入直線PA的方程即可，這個方法涉及到求兩條直線方程和它們的交點坐標，需要假設適當的參數，顯然計算過程是非常繁瑣復雜的，耗時耗力，而且面臨算不下去的風險，一般不提倡.

評析這是一道中檔題，考查橢圓的離心率，建議要依題構圖，運用等腰三角形的性質，尋求適當幾何關系是巧解此題的關鍵.方法1充分挖掘題目中圖形蘊含的幾何性質，利用平面幾何中等腰三角形的知識，結合直線斜率的幾何意義得出a與c的比例，從而快速得解，具有一定的技巧性.方法2是通性通法，需要設出適當參數，找出幾何關系，而幾何關系又有多種選擇，但是過程都較繁瑣.

2利用圓的相關性質求線段長

圓是平面幾何和解析幾何中最重要的內容之一，圓既是軸對稱圖形，又是中心對太圖形，其中蘊藏著諸多位置關系和數量關系，它有許多重要幾何性質，涉及的知識點主要有圓中切割線定理、圓冪定理、垂徑定理等.對于解析幾何中有關圓的問題，若能充分利用圓的幾何性質，將會使得解題思路簡明，解法簡潔，不僅免去解析幾何繁雜的運算，還能充分感受到平面幾何的魅力.