基于擾動觀測的永磁同步電機單環預測控制

劉鳳揚，康爾良，崔乃政，丁越，王吉

（1.哈爾濱理工大學電氣與電子工程學院，黑龍江 哈爾濱 150080；2.哈爾濱工業大學電氣工程學院，黑龍江 哈爾濱 150000；3.東北農業大學電氣與信息學院，黑龍江 哈爾濱 150038）

永磁同步電機因具有結構緊湊、可靠性高、氣隙磁通密度高、效率高，轉矩安培比大的特點，被廣泛應用于運動控制和新能源領域[1]。目前，廣泛采用的永磁同步電機電流控制策略是基于磁場定向控制的前饋交叉耦合補償控制，由單輸入單輸出的比例積分（PI）控制器執行操作。由于PI控制器具有良好的干擾性能且對系統參數變化不敏感，故在實際應用中被廣泛采用，然而，PI控制器對于系統約束方式是通過抗飽和或過飽和的形式，不能反映出最佳的系統動態響應。針對多變量、強耦合、模型不確定的高度非線性的永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM），PI控制器等傳統的線性控制方法不能保證PMSM伺服系統具有足夠高的控制性能[2]。

為了提高永磁同步電機的控制性能，近年來，開發了許多非線性的控制方法，如內?？刂芠3]、模糊控制[4]、滑?？刂芠5]、神經網絡控制[6]以及模型預測控制（model predictive control，MPC）[7]，在這些方法中，由于其快速的動態響應和具有多變量約束的能力，MPC控制方法被作為繼PID控制后電機控制領域的可行替代方案[8]。與其他方法相比，MPC的主要優點是可以將控制系統中的參數變量在硬件條件下的制約條件引入到控制算法中，并且其非線性模型可以通過分析方法和識別技術來獲得[9]，從而可以進行安全可靠的預測控制。

目前，永磁同步電機模型預測控制主要集中在基于電機線性離散并采用轉速環和電流環級聯結構的模型控制方法的研究，文獻[10-11]提出了一種基于連續時間模型的非線性廣義預測控制方法，該方法根據系統的非線性模型，通過泰勒級數展開得到預測模型，定義預測輸出量的成本函數，得到非線性廣義預測控制器。文獻[12]采用無拍差原理，提出了一種基于廣義預測控制和非線性擾動觀測器的轉速-電流單環控制方法，保證了單環控制下電機工作于電流約束內，提高電機的穩定性。文獻[13]設計了一種應用于感應電機的MPC速度控制器，將負載擾動作為附加狀態變量，并應用卡爾曼濾波器來校正預測狀態以抑制干擾。雖然上述非線性預測控制方法具有眾多優點，但這類方法并沒有直接考慮模型的不確定性，不能完全消除系統中不確定因素和外部擾動的影響。因此，研究基于預測控制方法的永磁同步電機的抗干擾性能具有重要意義。

本文基于PMSM在同步旋轉坐標系下的非線性的離散數學模型，通過線性化數學模型、采用非級聯的控制結構，設計了轉速-電流單環的模型預測控制器，實現PMSM的單環模型預測控制。針對模型不匹配和未建模的非線性干擾項，設計了非線性擾動觀測器作為反饋補償控制來估計系統中存在的擾動。最后，對提出的基于單環無偏模型預測的永磁同步電機控制方案進行仿真和實驗驗證。

1 永磁同步電機數學模型

1.1 電機非線性模型

本文以表貼式永磁同步電機（surface permanent magnet synchronous motor，SPMSM）為研究對象，根據轉子磁場定向理論，SPMSM在同步旋轉坐標系下的數學模型為

式中：id，iq分別為d，q軸電流；ud，uq分別為d，q軸電壓；Lq，Ld分別為交直軸電感；L為定子電感；R為定子電阻；ωe為電機電角速度；Ψf為永磁體磁鏈；B為電機的阻尼系數；J為轉動慣量；p為微分算子；np為電機的極對數；fd，fq，fω為系統參數變化和外部負載引起的擾動，定義如下：

式中：TL為電機的負載轉矩；Rt,Lt,Ψft,Jt,Bt為電機在運行過程中的實時參數。

1.2 電機模型線性化

由于在電機模型中，除了含有不可測擾動量fd，fq，fω外，還存在著電機轉速與d，q軸電流耦合的非線性項。在電機控制中通常采用id=0控制，故耦合項ωeid=0，可以忽略；而ωeiq項不能被忽略，可視該項作為一個PMSM系統中的一個狀態變量ξ，由于該項是隨電機角速度緩慢變化的，在某一時刻k耦合項ξ(k)存在著該時刻的時變的成分，可設計擾動觀測器，通過擾動觀測器可以觀測ξ(k)隨著電流在每個預測周期中快速變化過程中的變化情況，因此，ξ(k)可以視為一個恒定的擾動量，即

式中：Np為預測步長。

將式（1）電機模型采用前向歐拉法進行離散化，同時ξ(k)擴展到電機的離散狀態空間模型，有：

其中

式中：T為系統的采樣時間；xm（k）為狀態變量矩陣；u（k）為輸入變量矩陣；ym（k）為輸出變量矩陣；Am，Bm，Cm分別為系數矩陣。

式（4）的電機線性模型通過應用擾動觀測器來捕獲ξ(k)在穩態下式（1）和式（3）之間的不匹配。在某些條件下，MPC控制器與觀測器一起在穩態下提供零偏移。關于無偏移MPC的條件和證明的更多細節可以在文獻[14]中找到。

2 單環模型預測控制器設計

模型預測控制原理包含三個部分：預測系統未來趨勢、在線實時滾動優化及輸入限幅。模型預測過程如圖1所示，根據模型預測控制原理，需要推導PMSM的預測模型，建立最優代價函數。

圖1 模型預測控制器結構框圖Fig.1 Block diagram of the MPC controller structure

根據式（4）的電機線性模型，采用增廣矩陣模型消除靜態誤差f，得到預測模型為

式中：0m為4×2維的零矩陣。

由于實際模型會與預測模型存在誤差，加上各種擾動的存在，預測模型的輸出會與實際輸出存在誤差，其誤差為

式中：y為實際輸出量；ym為預測輸出量。

為了得到未來時刻的輸出誤差，可將未來時刻的實際輸出由經過前一時刻校正后的輸出代替，即

式中：yc為校正后的預測輸出。

因此可有預測誤差為

在實際輸出與期望輸出之間加入平滑過渡的參考軌跡，取一階指數函數形式為

式中：yr(k)為輸出參考軌跡；y*(k)為輸出期望軌跡；ωref為電角速度期望值。

由于采用id=0的控制策略，故設定y*(k)中id的期望軌跡趨于0。

在模型預測控制理論中具有兩個重要的時域即預測時域Np和控制時域Nc，由文獻[15]可知，預測電流控制變化反應到電機轉速響應需要至少經歷4個預測周期，即Np≥4，而控制周期只需一個周期即可完成，即1≤Nc≤Np。模型預測控制策略最主要的特點是能夠在線滾動優化，通過每一時刻預測該時刻預測輸出，帶入性能指標函數，使得性能指標達到最小值，該性能指標函數采用二次型形式：

式中：q，r分別為輸出量與控制量的加權系數，分別表示跟蹤誤差和控制量變化的抑制，它們沒有固定的值范圍。q＞r強調抑制跟蹤誤差的能力；q＜r強調抑制控制量變化的能力。q和r的合理調整不會影響系統的最終穩定性，只會影響電機趨于穩定的速度。而對于PMSM控制系統中的PI控制器，積分時間常數和比例時間常數的整定既要考慮電機運行的穩定性還要考慮電機轉速的超調量和調節時間，相比之下，q和r的選取則更為簡易。

本文選取控制時域為Nc=1。寫成矩陣向量形式為

其中

式中：Xb為控制增量的系數矩陣；Xo為預測量矩陣。

在kT時刻的電壓控制量為

3 擾動觀測器設計

擾動觀測器是采用Kalman算法，進行檢測定子電流、轉速的狀態和擾動。對于線性時不變（LTI）系統，其輸出量的數量小于擾動量的數量，由文獻[10]可知，系統存在穩定狀態和可測擾動?；谑剑?）的擾動觀測器模型為

式中：Ad，Bd，Cd為系數矩陣；w 為系統噪聲，w ∈ R4，v為測量噪聲，v∈ R2，兩個都為零均值白噪聲且互不相關。

噪聲的協方差矩陣為

Kalman觀測器的狀態估計大致分為兩個階段，第一個階段為預測階段，第二個階段為校正階段，具體步驟如下：

1）對狀態矢量進行預測，通過輸入u(k)和上次的狀態估計；(k)來預測k+1時刻的狀態矢量，即

2）計算誤差及其協方差矩陣，即有：

3）計算卡爾曼觀測器的增益矩陣L(k)為

5）為了下一次的狀態估計過程，需要預先計算出估計誤差協方差矩陣，有：

對于噪聲的協方差矩陣來說，更大的Q能夠使觀測器得到快速的瞬態響應能力，但同時也會降低觀測器的預測可靠性；而更大的R則表明測量結果可信度不高。通常系統噪聲和測量造成的協方差矩陣都被視為常數矩陣，但由于溫度、電流和磁飽和等因素所帶來的電機參數的不確定性，需要合理的調整噪聲的協方差矩陣，在系統的瞬態響應過程中，應采用較大的Q來保證系統更快的收斂過程，在系統接近穩態狀態時，采用較小的Q來提高預測估計的可信度。為此，提出一種誤差協方差矩陣自適應機制，即

式中：λ為觀測器閉環性能的調整參數；err1,err2分別為誤差矩陣的兩個界限值。

λ較大時會提高系統的動態響應能力，但會增加系統噪聲的敏感度，因此需要合理的選擇λ來權衡觀測器的動態性能和噪聲的敏感度。

相對于傳統的擾動狀態觀測器，基于EKF觀測器不僅可以直接求解非線性方程，避免非線性方程線性化過程中造成的誤差和不穩定現象，而且EKF觀測器的反饋增益矩陣是變化的，以狀態變量估計的偏差在統計意義上最小為目的，基于最優控制理論實時改變反饋增益矩陣，使觀測器能保證穩定性和響應速度。加入擾動觀測器的永磁同步電機控制系統結構框圖如圖2所示。

圖2 永磁同步電機控制系統結構框圖Fig.2 Permanent magnet synchronous motor control system block diagram

4 仿真與實驗分析

4.1 仿真分析

本文對所提出的基于擾動預測的單環模型預測控制算法進行了仿真和實驗驗證，采用Matlab/Simulink軟件進行建模仿真，采樣時間為T=0.000 1 s，預測時域步長為Np=4，控制時域步長Nc=1，觀測器閉環性能的調整參數λ=0.3，觀測器的初始誤差為Err=[0.8,0.8]T，仿真和實驗所用到的電機參數為：定子電阻R=0.958Ω，電感L=5.25 mH，極對數p=4，轉動慣量J=0.003 kg·m2，摩擦系數B=0.008 N·m·s，勵磁磁通Ψf=0.182 7 Wb，額定功率P=0.75 kW，額定轉速n=2 500 r/min。

初始時，電機空載運行，給定電機參考轉速為1 000 r/min，分別采用級聯型的PI控制和帶擾動觀測器的MPC控制進行對比仿真，在0.2 s時，負載轉矩變為10 N·m時的轉速響應曲線如圖3a所示；圖3b為電機在0.2 s，電機給定參考轉速增至1 500 r/min時的轉速響應曲線。

圖3 兩種控制方案下電機的轉速仿真波形Fig.3 Motor speed simulation waveforms under two control schemes

由圖3中仿真結果可以看出，采用帶擾動觀測器的MPC方案無論是在電機啟動過程中還是電機變速過程中，電機的轉速超調量均非常小，均約為1 r/min的幅度變化，比相同運行條件下采用PI控制方案的轉速超調量要小很多。同時，兩種方案的轉速上升時間比較接近，但MPC方案趨于穩定的調整時間要明顯小于采用PI的控制方案。

針對擾動觀測器的抗擾動性能，圖4和圖5給出了控制器中電機模型的磁鏈參數存在誤差情況下的d，q軸電流及轉速響應曲線。

在圖4和圖5中，采用的MPC算法未加入擾動觀測器，由電機轉速曲線可知，由于控制器設定的磁鏈參數分別為電機額定值的0.5倍、1倍和2倍電機，故導致電機模型參數不匹配而帶來電機運行偏離給定值，由圖中轉速曲線可知，電機在0.2 s時負載增加10 N，0.5倍額定磁鏈下的電機轉速無法穩定到設定值，同時，電機電流由于磁鏈變化導致波動范圍變大，電機的穩定性降低。

圖6和圖7為存在參數誤差時帶擾動觀測器的MPC控制下的電流和電機轉速響應仿真波形。

圖4 存在參數誤差時不帶擾動觀測器的MPC控制下的電機電流響應仿真波形Fig.4 Motor current response simulation waveforms under MPC control without disturbance observer in the presence of parameter error

圖5 存在參數誤差時不帶擾動觀測器的MPC控制下的電機轉速響應仿真波形Fig.5 Motor speed response simulation waveforms under MPC control without disturbance observer in the presence of parameter error

圖6 存在參數誤差時帶擾動觀測器的MPC控制下的電流響應仿真波形Fig.6 Current response simulation waveforms under MPC control with disturbance observer in the presence of parameter error

圖7 存在參數誤差時帶擾動觀測器的MPC控制下的電機轉速響應仿真波形Fig.7 Motor speed response simulation waveforms under MPC control with disturbance observer in the presence of parameter error

在圖6和圖7中，由于在MPC算法中加入了擾動觀測器，所設計的控制器受參數變化的影響很小，當電機磁鏈參數分別為額定值的0.5倍、1倍和2倍時，由電機的轉速曲線可知，電機運行穩定，并有效地跟隨轉速給定值，同時，由d，q軸的電流曲線可以看出，d，q軸的電流波動范圍明顯小于未加入擾動觀測器下的電流波動，電機轉速和電流具有很好的動態響應性能，能夠快速地跟蹤轉速給定值并且電流能夠約束在電機的合理運行范圍內。通過以上結果可以看出，該控制器能有效地消除電機參數誤差的影響，具有很強的魯棒性。

4.2 實驗分析

本實驗采用DSP28335芯片為核心的控制器，通過驅動永磁同步電機來拖動異步電機運行，采樣周期為0.000 1 s。給定轉速為1 200 r/min，額定電壓220 V。永磁同步電機硬件實驗平臺如圖8所示，異步電機作為負載，由永磁同步電機驅動運轉，機組參數、電機參數與仿真部分一致見4.1節。

圖8 永磁同步電機實驗平臺Fig.8 Permanent magnet synchronous motor experimental platform

圖9為采用MPC控制器和傳統PI控制下的電機轉速波形，初始時電機給定參考轉速為1 000 r/min，在2 s時給定參考轉速變為1 500 r/min，可以觀察到兩種控制方法在電機轉速變化過程中，采用MPC方法下的電機轉速改變平穩，轉速超調在3 r/min以內，明顯小于PI方法下的轉速超調量。在3 s時，增加10 N·m負載轉矩，可以看到MPC方法控制下轉速波動明顯小于采用傳統PI方法，MPC方法提高了電機魯棒性。

圖9 兩種控制方案下電機的轉速實驗波形Fig.9 Motor speed experimental waveforms under two control schemes

為了驗證所設計的擾動觀測器的性能，圖10和圖11為控制器中電機參數存在參數誤差時，采用不具有擾動觀測器的單環MPC控制器下的實驗結果。PMSM控制器采集到電機三相電流，并進行Park和Clark坐標變換，得到d，q軸電流，并通過數模轉換，由圖8所示數字示波器檢測得到，在圖10中，0.5倍磁鏈和2倍磁鏈下的電機d，q軸電流振動幅度均比較大，導致電機轉速出現大幅度波動，嚴重影響了電機運行穩定性。

圖10 存在參數誤差時不帶擾動觀測器的MPC控制下的電流響應實驗波形Fig.10 Current response experimental waveforms under MPC control without disturbance observer in the presence of error

圖12為存在參數誤差時帶擾動觀測器的MPC控制下的電流響應實驗波形。同條件下電機轉速響應曲線如圖13所示。

對于未加入擾動觀測器的MPC方法，從圖10和圖11可以看出，在控制器中磁鏈為額定磁鏈時，電機運行平穩，轉速在啟動過程中基本無超調且啟動過程迅速，在負載增加時，調節時間短，能夠快速恢復給定值，由此可知，該單環MPC控制器具有良好的控制性能。但由于控制器中設定的磁鏈參數與實際電機的額定參數不同，導致電機在運行過程中轉速不能有效地跟隨給定值，在圖11中，控制器中的磁鏈值為額定值的兩倍時，由于在0.2 s時負載增加，電機轉速不能恢復到給定值運行，同時，在圖10中，0.5倍磁鏈和2倍磁鏈下運行時的電流波動范圍也明顯大于額定磁鏈下的電流。而加入擾動觀測器后，圖12中兩種磁鏈參數下的電流波動范圍明顯小于未加入觀測器的波動情況，電流變化穩定，因此，根據電流運行時的曲線可以看出，擾動觀測器的加入提高了電機在運行過程中的穩定性，同時，電機的實際電流范圍能夠有效地受控制器中電流條件約束。由圖13中，電機在三種磁鏈參數情況下的轉速曲線可以看出，電機在運行過程中能夠穩定運行在給定值，特別是在0.2 s時，負載增加10 N的情況下，電機也能快速地恢復并跟隨給定值運行，轉速超調小且沒有穩態誤差。實驗結果與仿真結果保持一致。

圖11 存在參數誤差時不帶擾動觀測器的MPC控制下的電機轉速響應實驗波形Fig.11 Speed response experimental waveforms under MPC control without disturbance observer in the presence of parameter error

圖12 存在參數誤差時帶擾動觀測器的MPC控制下的電流響應實驗波形Fig.12 Current response experimental waveforms under MPC control with disturbance observer in the presence of parameter error

圖13 存在參數誤差時帶擾動觀測器的MPC控制下的電機轉速響應實驗波形Fig.13 Speed response experimental waveforms under MPC control with disturbance observer in the presence of parameter error

5 結論

本文從永磁同步電機的非線性模型出發，基于模型預測控制方法優化并設計了永磁同步電機轉速-電流單環控制器，并基于卡爾曼算法設計了擾動觀測器，以提高系統的魯棒性。所設計的控制器與標準的MPC方法相比，優化了控制系統結構，由級聯型改為非級聯的單環結構，減少了系統的調節時間，提高了系統的穩定性；與傳統的PI控制方法相比，調節參數明顯減少，參數更加易于調節。仿真和實驗結果表明，所提出的具有擾動觀測器的單環MPC方法，對于模型參數不匹配、負載擾動等情況具有良好的動態性能和魯棒性。