基于KPLS 和BA 的直線進給系統伺服參數優化

李鐸

（200093 上海市 上海理工大學 機械工程學院）

0 引言

相比于傳統旋轉電機，直線電機能夠直接將電能轉化為機械能，不需要中間傳動裝置的同時可以高效驅動直線進給系統。隨著現代制造技術的發展，高精尖數控機床對響應性和精密性的要求日愈提高，直線電機因具有高精度、高速度、高加速度和高可靠性等優勢，已廣泛應用于高精數控機床[1-2]。

受到直線電機驅動的高速和高加速進給在提高加工效率的同時不僅降低了系統能耗，也提升了工件的加工精度。然而直線電機由于自身缺少中間緩沖機構，其對各種干擾更加敏感，在運行過程中易受到推力紋波、端部效應、摩擦阻力等因素的影響，以致驅動性能受限[3-5]。通常采用傳統的PID 控制策略可以初步解決上述問題，但是當數控機床的加工精度和穩定性要求進一步提高時，常規PID 控制方式實現的性能往往不夠理想[6-8]。

目前多數結合單一智能算法進行PID 參數優化的研究仍需依賴仿真軟件模擬系統輸出作為優化對象。本文采用結合兩種智能算法的方式以消除仿真模擬的離線和低效等缺點。基于直線電機的力學和電磁學模型，分析了直線進給伺服系統驅動性能的影響因素，選取上升時間和速度超調量作為評價指標，通過核偏最小二乘法(KPLS)建立的可靠回歸模型，應用蝙蝠算法(BA)優化伺服系統PID 參數。實驗結果表明，該優化方法在最大速度超調量的約束下，可有效辨識得到較隨機實驗組上升時間更短的伺服PID 參數組合。

1 永磁同步直線電機數學模型

為構建永磁同步直線電機的數學模型，首先對直線電機驅動的進給系統做出如下假設：

（1）忽略磁飽和的影響，認為電機繞組自感與互感均為線性；

（2）忽略電機渦流和磁滯的損耗；

（3）不考慮頻率和溫變對繞組的影響；

（4）假設定子三相繞組在電機的磁隙間僅產生正弦磁勢；

（5）假設定子空載電勢為正弦波。

將永磁同步直線電機的三相坐標系經過Clark 和Park 變換后，即可在d-q 坐標下研究電機的控制，得出直線電機的數學模型，其電壓方程如下：

以及磁鏈方程為：

式中：ud，uq——d 軸和q 軸的定子端電壓分量；id，iq——d 軸和q 軸的電流；Rs——永磁直線電機繞組的電阻值；ψd，ψq——d軸，q軸的磁鏈分量；ψf——永磁磁鏈的幅值；Ld，Lq——電機d 軸和q軸等效電樞的電感。

直線電機矢量控制策略是使直軸電流id=0，根據坐標分解原則可達到交軸電流最大，即最大化電機輸出力矩，則有電壓平衡方程為：

由此可得電機輸出的電磁推力表達式為：

進而建立永磁同步直線電機動力學方程為：

式中：Fe——電機推力；Kf——電機推力系數；Fl——摩擦力；Fd——非線性因素擾動合力；m——動子和負載總質量。

直線電機伺服系統通常采用三環控制結構，即如圖1 所示由電流環、速度環和位置環組成的3 層閉環PID 調節控制系統。其中電流環位于系統最內層，用于保證繞阻電流對電流參考信號跟蹤的實時和準確性，其輸入i 是速度環的輸出信號；速度環位于電流環和位置環之間，作用是消除速度和力矩波動，提高系統抗負載擾動的能力，其輸入u 是位置環的輸出信號；位置環位于最外層，用以提升電機跟蹤位置指令的準確性，其輸入是運動指令X。圖1 中Kp、Kd、Ki分別為比例、微分和積分增益；Kpi為位置環比例增益；Kvi為電流環積分增益；L 為反電勢常數。一個確定系統中的動子和負載總質量m、固有控制成分1/s 不會產生變動，直線電機選定之后推力系數Kf和電流環參數也不會改變，但是伺服參數（Kp、Kd、Ki）是可以進行調節的，而且與加速時間和運動速度之間有著密切聯系。

圖1 直接進給伺服系統控制框圖Fig.1 Control block diagram of direct feed servo system

2 混合KPLS 和BA 的參數優化方法

2.1 偏最小二乘方法概述

偏最小二乘回歸（PLS）作為一種雙線性模型是KPLS 方法的基礎。PLS 基于自變量和因變量矩陣，綜合利用多元線性回歸、主成分分析和典型相關分析等數據處理方式，并且突破了數據容量的限制，適用于少量樣本回歸建模且回歸效果更加出色。

PLS 首先將觀測n 個樣本所得到的自變量和因變量矩陣分別假設為X={x1，x2，…，xp}和Y={y1，y2，…，yp}。為避免不同數據類型所具有的不同數量級和量綱對回歸模型的可靠性造成影響，預先將所有數據進行標準化處理。根據PLS有：

為了對初始樣本進行充分分析，PLS 分別從兩組變量提取第一對成分t1和u1，t1是自變量集合X 的線性組合，u1是因變量集合Y 的線性組合：

要求二者滿足協方差Cov(t1,u1)最大，即：

而后迭代計算直到第r 個主成分滿足精度要求，即可得到自變量集合X 和因變量集合Y 之間的偏最小二乘回歸方程。

2.2 核偏最小二乘回歸建模

核函數偏最小二乘（KPLS）是一種非線性建模方法，因其具備較強的非線性回歸能力廣泛適用于非線性數據處理[9]。原理是在PLS 中通過引入核函數將變量從低維空間映射到高維特征空間，使非線性問題轉化為高維空間的線性問題，從而建立非線性回歸模型。本文將直線進給驅動控制系統的伺服參數(Kp，Kd，Ki)作為自變量集合X，最大速度超調量σ 和上升時間t 作為因變量集合Y，應用KPLS 方法建立關系模型。回歸建模步驟如下：

（1）首先對樣本數據進行標準化處理，假設 n×3 的自變量矩陣為X=[Kp，Kd，Ki]和n×2的因變量矩陣為Y=[t，σ]。則標準化矩陣X0、Y0為：

（2）標準化處理后的數據xk∈R，k=1，2，…，N，通過如式（10）計算核矩陣K∈RN×N：

（4）對于本文因變量數據類型，采用徑向基函數為：

(5) 利用KPLS 算法計算得出回歸系數矩陣：

(6) 由T=[t1，t2，…，tN]和U=[u1，u2，…，uN]兩個得分矩陣可以得到：

（7）最后應用式（14）得到上升時間和最大速度超調量估計值模型的計算式為:

2.3 基于蝙蝠算法的伺服參數辨識

蝙蝠算法（Bat Algorithm,BA）是Yang 于2010 年提出的一種群集智能算法，研究表明，它在解決工程優化問題上效果優于遺傳算法和粒子群算法[10]。本文應用蝙蝠算法，在自變量集合X=（Kp，Kd，Ki）所生成的三維空間中搜索優化伺服參數組合。在求解過程中，蝙蝠飛行的速度和位置按式（16）迭代更新：

式中：fi——蝙蝠i 發出的聲波頻率，頻率區間為 fi∈[ fmin，fmax]；——蝙蝠i 在t 時刻的位置；——飛行速度；X*——當前搜索的全局最優解；β——一個隨機數，β∈[0，1]。

式（16）表明蝙蝠發射的是波，即遵循波長和速度關系公式v=λ×f。

蝙蝠剛開始搜索獵物時會發出高強度、低頻率的聲波，如此則可以探測更遠的距離，便于搜索較大的空間；而在接近目標獵物的過程中，蝙蝠的搜索空間也不斷減小，此時它會減小聲波強度并增大頻率，以便時刻掌握目標的位置變化。聲波強度和頻率更新可用式（17）模擬：

2.4 優化方法

本文針對直線進給系統伺服參數的回歸建模和優化流程設計如下：首先在固定位移的實驗中，利用位移采集系統獲取不同伺服參數對應的上升時間t 和最大速度超調量σ 數據。然后將伺服參數組合（Kp、Kd、Ki）和實驗結果分別作為自變量和因變量樣本建立統計樣數據庫，再按照2.2中的核偏最小二乘方法建立非線性回歸模型得到算式如下：

最后設定優化約束條件為最大速度超調量不大于5 mm/s，應用蝙蝠算法辨識優化伺服參數。

3 實驗研究

3.1 實驗平臺

為驗證本文所提出優化方法的可行性，搭建如圖2 所示實驗系統，包括一個最大推力690 N、最大速度2 000 mm/s 和一個行程400 mm 的工作臺。實驗平臺的伺服控制系統由Turbo PMAC2 ETH-Lite 運動控制卡和HAR-A12/100I 驅動器構成。位移采集系統由MCV-500 激光多普勒位移測量儀和IPC1-400 高頻數據采集卡組成。

圖2 實驗平臺布局Fig.2 Layout of experimental platform

按照如上描述構建得到一個完整且閉環的伺服控制系統。首先上位機發送運動指令給運動控制卡，控制卡規劃相應的實時運動后發送運動信號給伺服驅動器，驅動器負責控制直線進給系統的運動。同時編碼器測量實際位移并反饋到控制卡對比實際值和理論值，然后通過發送差值信號調節電機的運動誤差，以閉環形式實現直線電機的高精密驅動控制。

3.2 實驗方案與結果分析

因為要在位移固定的條件下觀測上升時間以及最大速度超調的大小來反映直線電機驅動性能的強弱，故參數設置如下：目標距離10 mm，目標速度100 mm/s，采樣率5 000/s，采集時間2 s。考慮到初始樣本數據的均勻性和正交性，本文采用正交實驗設計方法對伺服參數組合進行選定，首先由初步實驗確定各自變量的取值范圍，然后借助SPSS 統計工具，設計出3 個因素×8個水平的正交表，其中，各水平因子取值情況見表1。

表1 因素和水平因子分布表Tab.1 Distribution of factors and horizontal factors

由所測得的實驗數據，應用核偏最小二乘方法構建上升時間和最大速度超調量關于伺服參數的回歸模型。模型預測值與實際值對比及誤差效果如圖3 所示，可見各項偏差均比較小，說明該方法所構建的模型精度較高。而后在速度最大超調量不大于5 mm/s 的約束條件下，利用蝙蝠算法辨識優化伺服參數得到的解為：Kp=12 187.18，Kd=2 467.72，Ki=7 998.68，對應上升時間為29.47 ms。

圖3 模型預測結果與實際對比Fig.3 Comparison between predicted results of the model and actual results

為了驗證蝙蝠算法所優化辨識伺服參數的有效性，本文在相同的實驗環境和條件下，選取100 組伺服參數組合進行實驗并比較得出的結果，其中一組對應優化后的參數，其余組合均為隨機匹配。得到上升時間和最大速度超調量的數據對比如圖4 所示。圖4 中A 點和B 點分別表示優化參數組合所對應上升時間和最大速度超調量的實驗結果。比A 點上升時間更短的點所對應的最大速度超調量均高于約束條件5 mm/s；而B 點代表的優化參數實驗結果不僅滿足此條件，且在所有滿足此超調量要求的數據點中，優于其余4 組的平均值48.9%，說明優化伺服參數組合的驅動性能表現較好。

圖4 評價指標對比效果示意Fig.4 Comparison effect of evaluation indexes

4 結論

本文研究了直線進給系統伺服控制參數的優化方法，選用上升時間和最大速度超調量作為綜合評價指標，在自構建的直線進給實驗平臺上開展了測試研究。應用正交實驗設計方法生成有代表性的實驗組合，并基于核偏最小二乘回歸方法建立伺服參數與所選評價指標之間的數學關系模型，采用蝙蝠算法優化辨識伺服參數。通過實驗分析，所建立的模型能夠準確預測上升時間和最大速度超調。進一步隨機實驗結果表明：在滿足相同速度超調量約束的參數組合中，優化組得出的上升時間優于其余各組平均值48.9%，即代表驅動性能比隨機樣本組更好，說明本文提出的基于核偏最小二乘與蝙蝠算法的直線進給系統伺服控制參數優化方法是可行的。