基于有限元法的雙漸開線齒輪嚙合剛度計算*

樊智敏，江 峰，馬瑞磷，王明凱，徐 俊

(青島科技大學 機電工程學院，山東 青島 266061)

0 引 言

齒輪剛度激勵是齒輪系統的重要激勵形式之一，時變嚙合剛度的周期性變化會導致齒輪系統呈現出強烈的非線性特征。因此，確定齒輪時變嚙合剛度對研究齒輪系統動力學特性有重要意義。

目前，國內外學者分別采用不同方法對齒輪時變嚙合剛度計算進行了大量研究。LIANG X H等[1]推導了齒面點蝕直齒輪的嚙合剛度方程，研究了齒面點蝕對齒輪嚙合剛度的影響，并將該方法與有限元法進行了比較，驗證了該方法在齒輪剛度計算中的有效性；SUN Y N等[2]基于薄片假設，建立了修正的圓柱齒輪副嚙合剛度計算模型，分析了齒寬和轉矩對齒輪時變嚙合剛度的影響；WANG Q B等[3]采用積分勢能法求解斜齒輪嚙合剛度，研究了螺旋角對嚙合剛度的影響；MOHSEN R等[4]提出了一種斜齒行星齒輪系統嚙合剛度計算公式，并與有限元法進行了對比，發現當螺旋角小于15°時，兩種方法吻合較好；CAI Y[5]對斜齒輪嚙合剛度計算公式進行了修正，通過與實驗結果對比，驗證了計算方法的準確性；唐進元等[6]基于有限元法求解了螺旋錐齒輪的單齒、多齒綜合嚙合剛度，研究了不同載荷對嚙合剛度的影響規律；HUANGFU Y F等[7]基于切片法，提出了一種采用“偏移疊加”思想的斜齒輪嚙合剛度計算方法，并與有限元法和傳統解析法比較，發現該方法效率高、吻合性好；YU W N等[8]建立了一種時變非對稱嚙合剛度模型，分析了齒頂修形對嚙合剛度的影響；WANG J等[9]研究了直齒輪裂紋深度對其嚙合剛度的影響；貴新成等[10]基于勢能法建立了高重合度擺線內齒輪副的嚙合剛度模型，分析了不同負載轉矩下齒輪剛度的變化規律；CHENG G等[11]基于三維線性接觸混合彈流潤滑模型和粗糙表面接觸剛度計算方法，提出了一種在混合潤滑下齒輪嚙合剛度的計算方法，分析了轉速、外載荷以及粗糙度幅值對齒輪嚙合剛度的影響；HAN L等[12]將切片法與離散積分法結合，研究了輪齒缺陷對斜齒輪嚙合剛度的影響。

目前有關于雙漸開線齒輪的研究主要針對彎曲剛度、接觸剛度的方面，尚未有雙漸開線齒輪時變嚙合剛度變化規律的系統研究。

本文基于有限元法建立雙漸開線齒輪嚙合剛度計算模型，研究不同齒寬下主、從動輪齒面綜合彈性變形、單齒剛度、單齒嚙合剛度的變化規律，對比分析同參數、同工況條件下，雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪時變嚙合剛度的差異，為后續雙漸開線齒輪非線性動力學分析奠定基礎。

1 雙漸開線齒輪基本齒廓

雙漸開線齒輪是一種綜合了雙圓弧齒輪優點和漸開線齒輪優點的新型齒輪，其齒廓由兩段相錯的漸開線組成，兩段漸開線中間以一段圓弧過渡曲線連接，齒頂漸開線與齒根漸開線呈分階式布置[13]。雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪相比，齒根增厚，齒頂變薄。

雙漸開線齒輪基本齒廓如圖1所示。

圖1 雙漸開線齒輪基本齒廓αa,αd—齒頂、齒根的齒形角；齒頂、齒根切向變位系數；齒腰過渡圓弧的齒頂、齒根高度系數；ρf,ρg—齒根、齒腰過渡圓弧半徑；齒頂高系數；c*—頂系系數

2 雙漸開線齒輪嚙合剛度的計算

齒輪單齒剛度計算公式[14]為：

(1)

式中：Fn—齒面法向接觸力，N；δn—齒面綜合彈性變形，mm。

齒面綜合彈性變形一般包括赫茲接觸產生的齒面接觸變形δh、輪齒彎曲產生的彎曲變形δb以及支撐變形δf等，其計算方法為：

(2)

單齒嚙合剛度k是指一對輪齒接觸時的綜合剛度，兩個輪齒通過串聯耦合構成單齒接觸對，其計算公式為：

(3)

式中：kn1，kn2—主、從動輪單齒剛度，N·m-1。

多齒對嚙合過程中，各對輪齒之間為并聯耦合，在某一瞬時同時參與嚙合的輪齒對單齒嚙合剛度的疊加，稱為齒輪系統在該時刻的綜合嚙合剛度，齒輪副綜合嚙合剛度K計算公式為：

(4)

式中:ki—第i對齒單齒嚙合剛度，N·m-1；n—同時嚙合的齒對數。

3 雙漸開線齒輪有限元分析

根據嚙合剛度計算公式求解雙漸開線齒輪嚙合剛度，需先求得齒面接觸力Fn和齒面綜合彈性變形量δn。筆者采用Hypermesh-ABAQUS聯合仿真進行求解。

3.1 雙漸開線齒輪網格模型的建立

雙漸開線齒輪齒廓參數如表1所示。

表1 雙漸開線齒輪齒廓參數

根據表1中雙漸開線齒輪的齒廓參數，筆者采用MATLAB數值計算法，對雙漸開線齒輪端面齒廓方程進行求解，將求解的端面齒廓曲線離散為均分的數據點，把數據點坐標導入三維建模軟件SolidWorks中，建立雙漸開線齒輪三維模型。

雙漸開線齒輪三維模型如圖2所示。

圖2 雙漸開線齒輪三維模型

進行接觸動力學分析時，會存在多重迭代計算，分析齒輪全齒模型耗費時間長等情況。通過對雙漸開線齒輪重合度計算，得出重合度ε介于2～3之間，由此可知雙漸開線齒輪處于3齒對與2齒對交替嚙合狀態。同時，為避免邊緣剛體耦合作用，將雙漸開線齒輪三維模型切分為5齒對嚙合模型，并導入HyperMesh中，進行網格劃分。

雙漸開線齒輪網格模型如圖3所示。

圖3 雙漸開線齒輪網格模型

3.2 雙漸開線齒輪有限元分析前處理

將Hypermesh劃分的雙漸開線齒輪5齒對網格模型導入ABAQUS有限元軟件中進行分析。

ABAQUS有限元分析前處理步驟：

(1)材料屬性定義。設置主、從動輪密度為7 800 kg/m3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3；

(2)單元類型的選取。雙漸開線齒輪嚙合面為螺旋漸開面，在網格劃分時必將出現網格扭曲，為避免網格變形對計算結果精度的影響，選擇八節點六面體一次縮減積分單元C3D8R；

(3)分析步的設置。將齒輪齒面離散為有限單元網格，會導致在接觸區域產生微小間隙。為保證接觸收斂，本文設置兩個分析步(兩個分析步的類型均為static，general)，第1個分析步施加微小轉動量，保證齒輪齒面接觸，第2個分析步施加Moment載荷，進行靜態接觸分析；設置計算步長為0.1；

(4)接觸定義。此處定義接觸類型為面對面接觸，定義法向接觸為“硬接觸”，其他保持默認；定義切向接觸為“罰”，設置摩擦系數為0.03，定義接觸對時，應將接觸的輪齒分別定義接觸對，以避免計算不收斂；

接觸對設置如圖4所示。

圖4 接觸對設置

(5)耦合作用定義。在ABAQUS中，三維實體單元一般只有平移自由度，不具有旋轉自由度。為施加Moment載荷，在主、從動輪軸線上定義參考點，將齒輪齒圈內表面分別與兩個參考點進行耦合，以建立耦合約束；

耦合作用設置如圖5所示。

圖5 耦合作用設置

(6)載荷和邊界條件施加。在從動輪參考點上約束全部6個自由度，在主動輪參考點上約束除軸向旋轉外5個自由度；在主動輪參考點上設置Moment載荷為20 MN·m。

3.3 有限元計算結果分析

采用ABAQUS進行有限元分析，可以求出齒面接觸力分布及齒面節點綜合彈性變形。

齒面接觸力和綜合彈性變形的提取如圖6所示。

圖6 齒面接觸力和綜合彈性變形的提取

由圖6可知：齒面接觸區內各個節點的彈性變形量不同，此處對各個節點取平均值，以此作為齒輪綜合彈性變形；同時，為防止剛體轉動位移對齒輪綜合彈性變形的影響，筆者采用兩次加載的方法，以消除剛體的位移。

筆者通過旋轉輪齒可得到雙漸開線齒輪副不同嚙合位置，采用有限元分析求解齒面法向接觸力和綜合彈性變形，通過式(1～4)可求得雙漸開線齒輪單齒剛度、單齒嚙合剛度以及綜合嚙合剛度。

4 嚙合剛度計算方法驗證

為研究該計算方法的正確性，筆者根據文獻[15]所述的直齒輪齒廓參數進行建模。

直齒輪齒廓參數如表2所示。

表2 直齒輪齒廓參數

根據表2直齒輪齒廓參數，計算得到的直齒輪副嚙合剛度如圖7所示。

圖7 直齒輪副嚙合剛度

將本文計算方法求解的最大嚙合剛度、最小嚙合剛度，與已有文獻、ISO6336：2006計算結果進行對比，不同方法求解的嚙合剛度數值如表3所示。

表3 不同方法求解的嚙合剛度數值

由表3可知：采用本文所述方法計算的最大嚙合剛度、最小嚙合剛度與已有文獻近似，與ISO計算公式求解結果偏差小于6%；由此驗證了本文計算方法的正確性。

5 結果與分析

5.1 不同齒寬下主、從動齒輪綜合彈性變形規律

齒寬取40 mm、50 mm時，雙漸開線齒輪的主、從動輪綜合彈性變形規律如圖8所示。

圖8 主、從動輪綜合彈性變形規律

由圖8可知：一個嚙合周期內，主動輪綜合彈性變形逐漸增大，從動輪綜合彈性變形逐漸減小，齒寬越大，綜合彈性變形越小。

5.2 不同齒寬下主、從動輪單齒剛度、單齒嚙合剛度的變化規律

齒寬取40 mm、50 mm時，齒輪單齒剛度、單齒嚙合剛度變化規律如圖9所示。

圖9 單齒剛度、單齒嚙合剛度變化規律

由圖9(a，b)可知：主、從動輪單齒剛度先增大后減小，且單齒剛度最大值靠近齒根嚙合區；主動輪單齒剛度增大區域小于單齒剛度減小區域，從動輪單齒剛度增大區域大于單齒剛度減小區域，其原因是在嚙合周期內，從動輪齒頂先參與嚙合，嚙合點從齒頂嚙合區過渡到齒根嚙合區，綜合彈性變形隨時間的變化逐漸減小，主動輪齒根先參與嚙合，嚙合點從齒根嚙合區過渡到齒頂嚙合區，綜合彈性變形隨時間的變化逐漸增大；

主、從動輪單齒剛度、單齒嚙合剛度隨齒寬的增大而增大，原因是齒寬增大使雙漸開線齒輪軸向重合度增大，沿接觸線長度單位線載荷減小，綜合彈性變形減小，從而使嚙合剛度增大。

5.3 雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪時變嚙合剛度對比分析

筆者采用6次多項式對齒寬為50 mm的單齒嚙合剛度進行了擬合，并根據重合度對單齒嚙合剛度進行了疊加，得到了綜合嚙合剛度。

同參數、同工況條件下，雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪的單齒嚙合剛度、綜合嚙合剛度對比分析結果如圖10所示。

圖10 單齒嚙合剛度、綜合嚙合剛度對比分析

由圖10可知：

(1)在嚙入、嚙出端，雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪單齒嚙合剛度差別不大，但雙漸開線齒輪由于齒腰分階，接觸線長度變短，單位線載荷減小，導致嚙合剛度小于普通漸開線齒輪；

(2)雙漸開線齒輪綜合嚙合剛度變化規律與普通漸開線齒輪近似，均呈周期性變化；

(3)雙漸開線齒輪綜合嚙合剛度小于普通漸開線齒輪，雙漸開線齒輪的剛度波動幅值為0.972×108N·m-1,普通漸開線齒輪的剛度波動幅值為0.976×108N·m-1，雙漸開線齒輪綜合嚙合剛度波動幅值略低于普通漸開線齒輪。這個結果在一定程度上說明，雙漸開線齒輪在傳動時的減振、降噪效果優于普通漸開線齒輪。

6 結束語

筆者基于有限元法，建立了雙漸開線齒輪嚙合剛度計算模型，研究了不同齒寬下主、從動輪齒面綜合彈性變形、單齒剛度、單齒嚙合剛度的變化規律，對比分析了同參數、同工況條件下雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪時變嚙合剛度的差異。

研究得到以下結論：

(1)齒寬增大會使雙漸開線齒輪軸向重合度增大，沿接觸線長度單位線載荷減小，彈性變形減小；齒輪副嚙合過程中，主動輪齒根最先接觸，嚙合點逐步從齒根嚙合區過渡至齒頂嚙合區，主動輪曲率先增大后減小，綜合彈性變形逐漸增大，從動輪齒頂最先接觸，嚙合點從齒頂嚙合區逐步過渡至齒根嚙合區，綜合彈性變形逐漸減小；

(2)雙漸開線齒輪主、從動輪單齒剛度先增大后減小，單齒剛度最大值靠近齒根嚙合區，綜合彈性變形越小，單齒剛度和單齒嚙合剛度越大；

(3)在嚙入、嚙出端，雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪單齒嚙合剛度差別不大，雙漸開線齒輪在齒腰分階位置，接觸線變短，單位線載荷減小，雙漸開線齒輪單齒嚙合剛度、綜合嚙合剛度小于普通漸開線齒輪，雙漸開線齒輪綜合嚙合剛度波動幅值略小于普通漸開線齒輪。